新教材2024版高中数学第三章空间向量与立体几何3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示3.1空间向量基本定理学生用书北师大版选择性必修第一册

3．1空间向量基本定理[教材要点]要点空间向量基本定理1．定理：假如向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间随意一个向量，那么存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________．2．基与基向量：假如三个向量a，b，c不共面，那么全部空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把______________叫作空间的一组基，a，b，c都叫作基向量．空间随意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基．状元随笔(1)若p＝xa＋yb＋zc，则xa＋yb＋zc叫做向量a，b，c的线性表达式或线性组合，或者说p可以由a，b，c线性表示．(2)对于基{a，b，c}，除了应知道a，b，c不共面外，还应明确以下三点：①基选定后，空间的全部向量均可由基唯一表示.选用不同的基，同一向量的表达式也可能不同；②由于0与随意一个非零向量共线，与随意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0；③空间的一个基是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成的；一个基向量是指基中的某个向量，二者是相关联的不同概念．[基础自测]1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基．()(2)对于三个不共面对量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.()(3)基选定后，空间的全部向量均可由基唯一表示．()(4)空间的一个基是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成的．()2．已知{a，b，c}是空间的一个基，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基的向量是()A．aB．bC．a＋2bD．a＋2c3．O、A、B、C为空间四个点，又{OA，OB，OCA．O、A、B、C四点不共线B．O、A、B、C四点共面，但不共线C．O、A、B、C四点中随意三点不共线D．O、A、B、C四点不共面4．在四面体O­ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________________(用a，b，题型一基的推断例1已知{e1，e2，e3}是空间的一个基，且OA＝e1＋2e2－e3，OB＝－3e1＋e2＋2e3，OC＝e1＋e2－e3，试推断{OA，OB，O方法归纳1．假如向量中存在零向量，则不能作为基；假如存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基．2．假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基；若无解，则不共面，能作为基．跟踪训练1[多选题]设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基，给出下列向量组，其中可以作为空间一个基的向量组是()A．{a，b，x}B．{x，y，z}C．{b，c，z}D．{x，y，a＋b＋c}题型二空间向量的表示例2(1)如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，现用基向量OA，OB，OC表示向量OG，设OG＝xOA＋yOB＋zOC，则x，yA．x＝13，y＝13，z＝13B．z＝13，y＝1C．x＝13，y＝16，z＝13D．x＝16，y＝1(2)在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，设AB＝a，AD＝b，AA'＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q是CA′上的点，且CQ∶QA′＝4∶1，用基{a，b，c①AP；②AM；③AN；④AQ.方法归纳用基中的基向量表示向量(即向量的分解)，关键是结合图形，运用三角形法则、平行四边形法则及多边形法则，逐步把待求向量转化为基向量的“代数和”．跟踪训练2(1)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD交于点M，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则B1M＝()A．－12a－12b－cB.12a＋1C.12a－12b－cD．－12a＋1(2)已知四面体ABCD中，AB＝a－2c，CD＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则EF＝________．易错辨析对基理解不清致误例3在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，试用基{解析：如图，连接A1M，A1C1，则C1M＝A1M－A1C1＝A1A＋AM－(A1B1＋A1D1)＝A1A＋12(A1B1＋A1D【易错警示】易错缘由纠错心得本题易错的地方是向量分解的不彻底，可能会得到如下错解：C1M＝A1M－A1C1＝A1A＋AM－(A1事实上，AM仍需用基表示．基可以表示空间内任一向量，用基表示向量时，最终结果应含基向量．[课堂特殊钟]1．以下四个命题中正确的是()A．基{a，b，c}中可以有零向量B．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0D．空间向量的基只能有一组2．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝OA＋OB＋OC，向量b＝OA＋OB－OC，则与a，b不能构成空间基的向量是()A．OAB．OBC．OCD．OA或OB3．下列能使向量MA，MB，MC成为空间的一个基的关系式是()A．OM＝13OA＋13OB＋13OCC．OM＝OA＋OB＋OCD．MA＝2MB－MC4．已知a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若d＝αa＋βb＋λc，则α，β，λ的值分别为________．5.如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，AB＝i，AD＝j，AP＝k，试用基{i，j，k}表示向量PG，BG.3．1空间向量基本定理新知初探·课前预习要点1．xa＋yb＋zc2．{a，b，c}[基础自测]1．(1)×(2)×(3)√(4)√2．解析：A、B、C都与向量p、q共面，只有D与p、q不共面，故选D.答案：D3．答案：D4．解析：OE＝OA＝OA+＝OA+＝1＝12a＋14b＋答案：12a＋14b＋题型探究·课堂解透例1解析：假设OA，OB，OC使OA＝xOB＋yOC成立，∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3∴y-即不存在实数x，y使得OA＝xOB＋yOC，所以OA，所以{OA，跟踪训练1解析：如图所示，令a＝AB，b＝AA1，c＝AD则x＝AB1，y＝AD1，z＝a＋b＋c＝AC1．由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c答案：BCD例2解析：(1)连接ON.∵M，N分别是对边OA，BC的中点，∴OM＝12OA，ON＝12(OB+OC)，∴OG＝OM+MG＝OM+23MN＝OM+23(2)连接AC、AC′、AD′①AP＝12(AC+AA')＝12(AB②AM＝12(AC+AD')＝12(AB＋2AD③AN＝12(AC'+AD'＝12(AB＋2AD＋2AA')＝12a④AQ＝AC+CQ＝＝15AB+15AD+45AA答案：(1)D(2)见解析跟踪训练2解析：(1)B1M＝BB1＋BM＝－c＋12BD＝－c＋12(b－a)＝－12故选D.(2)如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，则EF＝GF-GE＝12CD-12BA＝12CD+12AB＝12(5a＋6b答案：(1)D(2)3a＋3b－5c[课堂特殊钟]1．解析：运用解除法．因为零向量与随意两个非零向量都共面，故A不正确；△ABC为直角三角形并不愿定是AB·AC＝0，可能是BC·BA＝0，也可能是CA·CB＝0，故C不正确；空间基可以有多数多组，故D不正确．故选B.答案：B2．解析：∵OC＝12a－12b且a，b不共线，∴a，b，OC共面，∴OC与a，答案：C3．解析：对于选项A，由OM＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)⇔M，A，B，C四点共面知，M