2024年高中数学专题10-4重难点题型培优检测事件的相互独立性教师版新人教A版必修第二册

专题10.4事务的相互独立性一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2024春·湖南长沙·高一期末）若事务A，B相互独立，它们发生的概率分别为p1，p2，则事务A，A．1−p1p2 B．(1−【解题思路】由独立事务与对立事务的概率公式计算．【解答过程】由事务A与事务B相互独立,可得A与B相互独立,所以P(AB)=P(A⋅B故选：B.2．（3分）（2024秋·陕西汉中·高一期末）对于事务A，B，下列命题不正确的是（

）A．若A，B互斥，则PB．若A，B对立，则PC．若A，B独立，则PD．若A，B独立，则P【解题思路】依据对立事务，独立事务和互斥事务的性质，分别进行推断即可.【解答过程】因为A，B互斥，互斥事务概率和在(0,1]区间，所以PA+PB因为A，B对立，对立事务概率和为1，所以PA+PB因为A，B独立，则A,B也相互独立，所以PAPB因为A，B独立，由独立事务的性质可知：二者同时发生的概率P(AB)=P(A)P(B)，由概率大于零可知：PA+PB所以命题不正确的是D，故选：D.3．（3分）（2024春·江苏苏州·高二期中）九连环是中国传统的有代表性的智力玩具，凝合着中国传统文化，具有极强的趣味性.九连环能既练脑又练手，对于开发人的逻辑思维实力及活动手指筋骨大有好处.现有甲、乙两人独立地挑战破解“九连环”智力扣，已知两人能破解的概率分别为12，13，则（A．两人都成功破解的概率为56 B．两人都成功破解的概率为C．智力扣被成功破解的概率为34 D．智力扣被成功破解的概率为【解题思路】依据独立事务同时发生的概率公式计算即可.【解答过程】由题意知两人都成功破解的概率P=1智力扣被成功破解，说明甲乙至少一人能破解，依据对立事务的概率可知P=1−1故C错误D正确.故选：D.4．（3分）（2024秋·上海松江·高二期末）设A,B为两个随机事务，以下命题错误的为（

）A．若A,B是独立事务，PA=13B．若A,B是对立事务，则PC．若A,B是互斥事务，PA=13D．若PA=13，PB【解题思路】利用互斥公式、独立公式、对立公式满足的条件可以一一推断.【解答过程】对于A：当A,B是独立事务时，A,B也是独立事务，∴P对于B：当A,B是对立事务时，PA∪B对于C：当A,B是互斥事务，P(A)=13，P(B)=1对于D：∵PB=14,∴PB=故选：C.5．（3分）（2024春·福建福州·高一期末）抛掷一颗匀整骰子两次，E表示事务“第一次是奇数点”，F表示事务“其次次是3点”，G表示事务“两次点数之和是9”，H表示事务“两次点数之和是10”，则（

）A．E与G相互独立 B．E与H相互独立C．F与G相互独立 D．G与H相互独立【解题思路】先依据古典概型的概率公式分别求出四个事务的概率，再利用独立事务的定义P(AB)=P(A)P(B)推断个选项的正误.【解答过程】解：由题意得：P(E)=1836=12，对于选项A：P(EG)=236=118，P(E)P(G)=12对于选项B：P(EH)=136，P(E)P(H)=12×112对于选项C：P(FG)=136，P(F)P(G)=16×19对于选项D：P(GH)=0，P(G)P(H)=19×112=1故选：A.6．（3分）（2024春·湖北鄂州·高二期末）“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这句口头禅体现了集体才智的强大.假设李某实力较强，他独自一人解决项目M的概率为P1=0.9；同时，有n个水平相同的人组成的团队也在探讨项目M，团队成员各自独立地解决项目M的概率都是0.4.假如这个n人的团队解决项目M的概率为P2，且P2≥A．4 B．5 C．6 D．7【解题思路】由独立事务同时发生的概率公式先求出团队成员都不能解决项目M的概率，再由对立事务的概率求出P2【解答过程】由题意，这n个人组成的团队不能解决项目M的概率为P=(1−0.4)所以P2由P2≥P1可得两边取常用对数可得：nlg35解得n≥4.55，又n∈N∗，所以故选：A.7．（3分）（2024·山西太原·统考二模）某产品须要通过两类质量检验才能出货．已知该产品第一类检验单独通过率为34其次类检验单独通过率为p0<p<1，规定：第一类检验不通过则不能进入其次类检验，每类检验未通过可修复后再检验一次，修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次，且各类检验间相互独立．若该产品能出货的概率为56．则p=A．25 B．12 C．2【解题思路】利用独立事务和互斥事务概率计算公式干脆求解．【解答过程】解：设Ai表示第i次通过第一类检验，Bi表示第i次通过其次类检验由题意得P(A即34解得p=23或p=4故选：C．8．（3分）（2024春·广东·高三阶段练习）若正整数a的全部真因数（即不是自身的因数）之和等于b，正整数b的全部真因数之和等于a，则称a和b是一对“亲和数”.约两千五百年前，古希腊数学家毕达哥拉斯发觉第一对亲和数：284和220.220的全部真因数为1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110;284的全部真因数为1,2,4,71,142.若分别从284和220的全部真因数中各随机抽取一个数，则取出的两个数的和为奇数的概率是（

）A．1255 B．1455 C．26【解题思路】分别计算出从284和220的全部真因数中随机抽取一个数为奇数和偶数的概率，再利用概率的加法公式即可求得结果.【解答过程】由题意可知，从220的11个真因数中取出一个奇数的概率为411，取出一个偶数的概率为7从280的5个真因数中取出一个奇数的概率为25，取出一个偶数的概率为3若取出的两个数的和为奇数，则取出的两个数为一奇一偶，所以取出的两个数的和为奇数的概率P=4故选：C.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2024秋·广东佛山·高二阶段练习）甲､乙两各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（

）A．事务“甲投得5点”与事务“甲投得4点”是互斥事务B．事务“甲投得6点”与事务“乙投得5点”是相互独立事务C．事务“甲､乙都投得6点”与事务“甲､乙都没有投得6点”是对立事务D．事务“至少有1人投得6点”与事务“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事务【解题思路】依据互斥事务，相互独立事务以及对立事务的定义即可依据选项逐一推断.【解答过程】在A中，甲､乙两各投掷一枚骰子，“甲投得5点”与“甲投得4点”两个事务不行能同时发生，二者是互斥事务；在B中，甲、乙各投掷一枚骰子，“甲投得6点”发生与否对事务“乙投得5点”的概率没有影响，二者是相互独立事务；在C中，甲，乙各投掷一枚骰子，“甲､乙都投得6点”与事务“甲､乙都没有投得6点”不行能同时发生，二者是互斥事务，“甲､乙都投得6点”的对立事务为“至少有一个人没有投得6点”，故“甲､乙都没有投得6点”不是“甲､乙都投得6点”的对立事务；在D中，设“至少有1人投得6点”为事务A，则事务A包括只有甲一人投得6点，或者只有乙一个人投得6点，以及甲乙两人都投得6点，而“甲投得6点且乙没投得6点”为事务B，则AB=B，故A、B不独立，故选：AB.10．（4分）（2024·全国·高一专题练习）某社区开展“防疫学问竞赛”，甲､乙两人荣获一等奖的概率分别为p和q，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为（

）A．p(1−q)+q(1−p)+pq B．p+q C．pq D．1−(1−p)(1−q)【解题思路】令P(A)=p,P(B)=q且A、B相互独立，从正反两个角度，利用事务的关系及含义表示出两人中至少有一人获得一等奖，进而求出其概率即可.【解答过程】记A为“甲获得一等奖”，B为“乙获得一等奖”，则P(A)=p,P(B)=q且A、B相互独立.从正面考虑，甲､乙两人中至少有一人获得一等奖为AB所以P(AB从反面考虑，事务“甲､乙两人中至少有一人获得一等奖”的对立事务是“甲､乙两人都没获得一等奖”，即事务AB，易得P(所以“这两人中至少有一人获得一等奖”的概率为1−P(A综上，A、D正确.故选：AD.11．（4分）（2024秋·湖北黄冈·高二期末）连续抛掷一枚质地匀整的骰子两次，记录每次的点数，设事务A=“第一次出现3点”，B=“其次次的点数小于5点”，C=“两次点数之和为奇数”，D=“两次点数之和为10”，则下列说法正确的有（

）A．A与B不互斥且相互独立 B．A与D互斥且不相互独立C．B与C不互斥且相互独立 D．B与D互斥且不相互独立【解题思路】依据给定条件，求出事务A，B，C，D的概率，再利用互斥事务、相互独立事务的定义推断作答.【解答过程】连续抛掷一枚质地匀整的骰子两次的试验结果有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)，(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)，(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)，(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共36个不同结果，事务A所含的结果有：(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)，共6个，事务B所含的结果有24个，事务C所含的结果有18个，事务D所含的结果有：(4,6),(5,5),(6,4)，共3个，因此P(A)=6对于A，事务A与B都含有(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)，共4个结果，即事务A与B可以同时发生，而P(AB)=436=19对于B，事务A与D不能同时发生，P(AD)=0≠P(A)P(D)，A与D互斥且不相互独立，B正确；对于C，事务B与C都含有(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),(5,2),(5,4),(6,1),(6,3)，共12个结果，即事务B与C可以同时发生，P(BC)=1236=13对于D，事务B与D都含有(6,4)，即B与D可以同时发生，P(BD)=1因此B与D不互斥且不相互独立，D错误.故选：ABC.12．（4分）（2024春·江苏南京·高三开学考试）甲乙两人准备买一部手机，购买国产手机的概率分别为0.6，0.5，购买白色手机的概率分别为0.4，0.6，若甲乙两人购买哪款手机相互独立，则（

）A．恰有一人购买国产手机的概率为0.5B．两人都没购买白色手机的概率为0.52C．甲购买国产白色手机的概率为0.48D．甲乙至少一位购买国产白色手机的概率为0.468【解题思路】运用互斥事务概率加法公式和相互独立事务概率乘法公式进行计算即可.【解答过程】由已知，甲乙两人购买哪款手机相互独立，“甲购买国产手机”记为事务A，PA=0.6；“乙购买国产手机”记为事务B，“甲购买白色手机”记为事务C，PC=0.4；“乙购买白色手机”记为事务D，对于选项A，恰有一人购买国产手机的概率为PA故选项A正确；对于选项B，两人都没购买白色手机的概率为PC对于选项C，“甲购买国产白色手机”记为事务E，其概率为PE对于选项D，“乙购买国产白色手机”记为事务F，其概率为PF结合选项C的推断，甲乙至少一位购买国产白色手机的概率为PEF∪E（也可以用1−PE故选：AD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2024·高二课时练习）假如事务A与B独立，则下列几组事务也独立的是（1）（2）（3）.（1）A与B；（2）A与B；（3）A与B.【解题思路】利用独立事务的概念即得.【解答过程】∵事务A与B独立，∴A与B，A与B，A与B，也是独立事务.故答案为：（1）（2）（3）.14．（4分）（2024·高一单元测试）对于独立事务A、B，若PA=34，PB=【解题思路】依据相互独立事务和对立事务的概率计算即可求解.【解答过程】因为PA=3又因为PB=2因为A，B为独立事务，所以A与B相互独立，则有PA故答案为：11215．（4分）（2024春·江苏淮安·高二期末）甲、乙两名同学进行乒乓球竞赛，每局竞赛没有平局且相互独立，每局竞赛甲胜的概率为p，若竞赛实行5局3胜制，甲仅用3局就赢得竞赛的概率为827，则p=23【解题思路】利用相互独立事务的乘法公式即可求解.【解答过程】设“甲仅用3局就赢得竞赛”的事务为A，则P(A)=p3=所以p=2故答案为：2316．（4分）（2024·全国·高一专题练习）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的运用寿命（单位：小时）超过1000小时的概率都是0.5，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的运用寿命超过1000小时的概率为38【解题思路】依据题意，求出超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常和元件3正常的概率，再利用独立事务的概率公式求解即可.【解答过程】因为三个电子元件的运用寿命（单位：小时）超过1000小时的概率都是0.5，即p=1记事务A:超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常，事务B:超过1000小时时，元件3正常，事务C:该部件的运用寿命超过1000小时，则PA=1−1−p因为事务A,B为相互独立事务，事务C为A,B同时发生的事务，所以PC故答案为：38四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2024·全国·高三专题练习）设A与B相互独立，且P(A∪B)=45，P(A)=2【解题思路】由事务相互独立有P(AB)=P(A)P(B)，结合P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)及已知条件即可得结果.【解答过程】因为A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)．又P(AB)=P(A)+P(B)−P(A∪B)，P(A∪B)=45，设P(B)=x，则P(B)=P(AB)−P(A)+P(A∪B)，即x=23x−2318．（6分）（2024·高一课时练习）一个匀整的正四面体，其第一面染成红色，其次面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色．现以A、B、C分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事务，问事务A、B、C是否两两相互独立？【解题思路】依据独立事务的定义推断可得出结论.【解答过程】解：由题意可得PA则事务AB、BC、AC均为“第四面朝下”，故PAB所以，PAB=PAPB所以，事务A、B、C两两相互独立.19．（8分）（2024·高一单元测试）已知战士A射击的命中率为60%，战士B的命中率为65%，且两人的射击互不影响，求：(1)两人同时击中目标的概率；(2)目标被击中的概率．【解题思路】（1）利用相互独立事务概率乘法公式能求出两人同时击中目标的概率；（2）目标被击中的对立事务是两人都没有击中目标，利用对立事务和相互独立事务概率公式求解即可．【解答过程】（1）战士A射击的命中率为60%，战士B的命中率为65%，两人的射击相互独立，设事务A表示“战士A命中”，事务B表示“战士A命中”，则P(A)=0.6,P(B)=0.65，则两人同时击中目标的概率为：P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.65=0.39.（2）目标被击中的对立事务是两人都没有击中目标，所以目标被击中的概率为：P=1−P(A20．（8分）（2024秋·上海静安·高二期末）如图所示为M、N两点间的电路，在时间T内不同元件发生故障的事务是相互独立的，他们发生故障的概率如下表所示:元件KKLLL概率0.60.50.40.50.7(1)求在时间T内，K1与K(2)求在时间T内，K1，K(3)求在时间T内，电路不通的概率.【解题思路】（1）设Ai表示Ki(i=1,2)发生故障，利用相互独立事务概率乘法公式能求出单位时间T内，K（2）利用互斥事务概率计算公式能求出在时间T内，由于K1与K（3）设Bi表示Li(i=1【解答过程】（1）解：设Ai表示Ki(i=1,2)在时间T内K1与K2同时发生故障的概率（2）解：在时间T内，K1与KP2（3）解：设Bi表示Li(1,2,3)在时间T内，电路不通的概率P321．（8分）（2024春·湖南衡阳·高一期末）甲，乙两人进行围棋竞赛，实行积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则竞赛最终打平．假设在每局竞赛中，甲胜的概率为12，负的概率为1(1)求第三局结束时乙获胜的概率；(2)求甲获胜的概率．【解题思路】（1）对乙来说共有两种状况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,依据独立事务的乘法公式即可求解.（2）以竞赛结束时的场数进行分类，在每一类中依据相互独立事务的乘法公式即可求解.【解答过程】(1)设事务A为“第三局结束乙获胜”由题意知，乙每局获胜的概率为13，不获胜的概率为23若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种状况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．

故P(2)设事务B为“甲获胜”．若其次局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率P1=若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种状况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．

此时的概率P2=若第四局结束甲以积