统考版2024高考数学二轮专题复习课时作业4平面向量算法初步理

课时作业4平面对量、算法初步1．[2024·陕西省咸阳市高三二模]巴塞尔问题是一个闻名的级数问题，这个问题首先由皮耶特罗·门戈利在1644年提出，由莱昂哈德·欧拉在1735年解决．欧拉通过推导得出：1＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,9)＋…＋eq\f(1,n2)＋…＝eq\f(π2,6).某同学为了验证欧拉的结论，设计了如图的算法，计算1＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,9)＋…＋eq\f(1,20242)的值来估算，则推断框填入的是()A．n>2024?B．n≥2024?C．n≤2024?D．n<2024?2.[2024·湖南省怀化市高三二模]如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则eq\o(EA,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))的最小值为()A．eq\f(21,16)B．eq\f(3,2)C．eq\f(3,4)D．23．[2024·山东省枣庄市高三二模]已知a，b，c是同一平面内两两不共线的单位向量，下列结论可能成立的是()A．b·(a＋c)＝2B．(a＋b)∥(a－b)C．存在不全为0的实数λ，μ，使λa＋μb＝0D．若a＋b＋c＝0，则|a－b|＝eq\r(3)4．[2024·安徽省泗县第一中学模拟]执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是()A．2B．3C．4D．75．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(AE,\s\up6(→))，则eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(CE,\s\up6(→))的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．135°6．[2024·贵州省毕节市高三检测]已知曲线C1：x2＋y2－|x|－|y|＝0，曲线C2：|x|＋|y|＝1，直线y＝y0与曲线C1的交点记为M1，与曲线C2的交点记为M2.执行如图的程序框图，当y0取遍[－1，eq\f(\r(2)＋1,2)]上全部实数时，输出的点构成曲线C，则曲线C围成的区域面积为()A．eq\f(4＋π,2)B．eq\f(2＋π,2)C．eq\f(4＋π,4)D．eq\f(2＋π,4)7．如图在△ABC中，∠ABC＝90°，F为AB中点，CE＝3，CB＝8，AB＝12，则eq\o(EA,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))＝()A．－15B．－13C．13D．158．下图的算法语句输出的结果S为()A．17B．19C．21D．239．已知P是△ABC的外心，且3eq\o(PA,\s\up6(→))＋4eq\o(PB,\s\up6(→))－2eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，则cosC＝()A．－eq\f(\r(15),4)B．－eq\f(1,4)C．eq\f(\r(15),4)或－eq\f(\r(15),4)D．eq\f(1,4)或－eq\f(1,4)10.[2024·陕西省铜川市高三二模]如图，在△ABC的边AB，AC上分别取点M，N，使eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，BN与CM交于点P，若eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(PN,\s\up6(→))，eq\o(PM,\s\up6(→))＝μeq\o(CP,\s\up6(→))，则eq\f(λ,μ)的值为()A．eq\f(8,3)B．eq\f(3,8)C．eq\f(1,6)D．611．[2024·黑龙江大庆试验中学检测]如图，在△ABC中，D是线段BC上的一点，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝4eq\o(BD,\s\up6(→))，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ>0，μ>0)，则λ－eq\f(1,μ)的最小值是()A．2eq\r(3)－2B．2eq\r(3)＋4C．2eq\r(3)－4D．2eq\r(3)＋212．[2024·广东大埔县虎山中学模拟]已知△ABC是边长为a的等边三角形，P为平面ABC内一点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值是()A．－2a2B．－eq\f(3,8)a2C．－eq\f(4,3)a2D．－a213．[2024·四川省高三检测]为迎接大运盛会，全力争创全国文明典范城市，全面提升城市文明程度和市民文明素养．某社区随机选取了10名市民走访，并对其回答状况评分，结果分别记为x1＝95，x2＝93，x3＝91，x4＝96，x5＝98，x6＝94，x7＝97，x8＝100，x9＝96，x10＝95.则按如图的程序框图运行，输出的n为________．14．[2024·西藏林芝市高三二模]如图是一个算法流程，则输出S的值为________．15．[2024·江西省赣州市高三二模]在平行四边形ABCD中，点E，F分别满意eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(DE,\s\up6(→))＝4eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(BG,\s\up6(→))，若eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AG,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________．16．[2024·安徽省滁州市高三质检]已知平面对量a，b满意|a|＝1，|2a－b|＝2，则(a＋b)·b的最大值为________．课时作业4平面对量、算法初步1．解析：由程序框图可知，因为输出的结果是1＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,9)＋…＋eq\f(1,20242)，则推断框填入的是n<2024？.故选D.答案：D2．解析：由于AB⊥BC，AD⊥CD，如图，以D为坐标原点，以DA，DC为x，y轴建立直角坐标系，连接AC，由于AB＝AD＝1，则△ADC≌△ABC，而∠BAD＝120°，故∠CAD＝∠CAB＝60°，则∠BAx＝60°，则D（0，0），A（1，0），B（eq\f(3,2)，eq\f(\r(3),2)），C（0，eq\r(3)），设E（0，y），0≤y≤eq\r(3)，则eq\o(EA,\s\up6(→))＝（1，－y），eq\o(EB,\s\up6(→))＝（eq\f(3,2)，eq\f(\r(3),2)－y），故eq\o(EA,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)＋y2－eq\f(\r(3),2)y＝（y－eq\f(\r(3),4)）2＋eq\f(21,16)，当y＝eq\f(\r(3),4)时，eq\o(EA,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))有最小值eq\f(21,16).故选A.答案：A3．解析：对于A，由b·（a＋c）＝2可得|b||a|cos〈a，b〉＋|b||c|cos〈c，b〉＝cos〈a，b〉＋cos〈c，b〉＝2，因为cos〈a，b〉∈[－1，1]，cos〈c，b〉∈[－1，1]，所以cos〈a，b〉＝cos〈c，b〉＝1，故a，b共线，b，c共线，故A不正确；对于B，若（a＋b）∥（a－b），则a＋b＝λ（a－b），则（1－λ）a＋（1＋λ）b＝0，由向量共线定理可知，a，b共线，故B不正确；对于C，存在不全为0的实数λ，μ，使λa＋μb＝0，由向量共线定理可得a，b共线，不满意a，b是不共线的向量，故C不正确；对于D，由a＋b＋c＝0可得a＋b＝－c，两边同时平方，则（a＋b）2＝（－c）2，1＋1＋2cos〈a，b〉＝1⇒cos〈a，b〉＝－eq\f(1,2)，则〈a，b〉＝120°，同理可得〈a，c〉＝120°，〈b，c〉＝120°，所以|a－b|＝eq\r(a2＋b2－2|a|·|b|·cos〈a，b〉)＝eq\r(2－2cos〈a，b〉)＝eq\r(2＋1)＝eq\r(3)，故D正确．故选D.答案：D4．解析：i＝1，s＝1→s＝1＋（1－1）＝1，i＝2→s＝1＋（2－1）＝2，i＝3→s＝2＋（3－1）＝4，i＝4→输出s.故选C.答案：C5．解析：如图：以A为原点，建立如图的平面直角坐标系，因为四边形ABCD是矩形，AB＝3，AD＝1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(AE,\s\up6(→))，则B（3，0），D（0，1），C（3，1），E（1，0），则eq\o(BD,\s\up6(→))＝（－3，1），eq\o(CE,\s\up6(→))＝（－2，－1），故cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BD,\s\up6(→))·\o(CE,\s\up6(→)),|\o(BD,\s\up6(→))|·|\o(CE,\s\up6(→))\o(|,\s\up6(,)))＝eq\f(6－1,\r(5)×\r(10))＝eq\f(\r(2),2)，因为0°≤〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))〉≤180°，所以〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))〉＝45°，故选B.答案：B6．解析：当y>0时，曲线C1：x2＋y2－|x|－y＝0，即（|x|－eq\f(1,2)）2＋（y－eq\f(1,2)）2＝eq\f(1,2)，（y>0）.当y<0时，曲线C2：|x|－y＝1，即y＝|x|－1，（y<0）.由程序框图可知，点M1在C1：（|x|－eq\f(1,2)）2＋（y－eq\f(1,2)）2＝eq\f(1,2)，（y>0）上，点M2在y＝|x|－1，（y<0）上，则曲线C的轨迹如图所示：则曲线C围成的区域面积为πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋2（2×1×eq\f(1,2)）＝eq\f(4＋π,2).故选A.答案：A7．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则A（12，0），B（0，0），C（0，8），F（6，0），又CE＝3，CB＝8，AB＝12，则CF＝eq\r(CB2＋BF2)＝10，即CE＝eq\f(3,10)FC，即FE＝eq\f(7,10)FC，则eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\f(7,10)eq\o(FC,\s\up6(→))＝（6，0）＋eq\f(7,10)（－6，8）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)，\f(28,5)))，则eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(51,5)，－\f(28,5)))，eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，－\f(28,5)))，则eq\o(EA,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\f(51,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(28,5)))2＝13.故选C.答案：C8．解析：由题不妨设I0＝1，则S1＝2I0＋3＝5，I1＝I0＋2＝3；S2＝2I1＋3＝9，I2＝I1＋2＝5；S3＝2I2＋3＝13，I3＝I2＋2＝7；S4＝2I3＋3＝17，I4＝I3＋2＝9；9≤8不成立，输出S4＝17.故选A.答案：A9．解析：因为P是△ABC的外心，所以|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|，由题知2eq\o(PC,\s\up6(→))＝3eq\o(PA,\s\up6(→))＋4eq\o(PB,\s\up6(→))，两边平方得4|eq\o(PC,\s\up6(→))|2＝9|eq\o(PA,\s\up6(→))|2＋16|eq\o(PB,\s\up6(→))|2＋24eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))，即4|eq\o(PC,\s\up6(→))|2＝9|eq\o(PA,\s\up6(→))|2＋16|eq\o(PB,\s\up6(→))|2＋24|eq\o(PA,\s\up6(→))|·|eq\o(PB,\s\up6(→))|cos2C，即4＝9＋16＋24cos2C，所以－eq\f(21,24)＝cos2C＝2cos2C－1，则cosC＝±eq\f(1,4)，又由2eq\o(PC,\s\up6(→))＝3eq\o(PA,\s\up6(→))＋4eq\o(PB,\s\up6(→))＝3eq\o(PC,\s\up6(→))＋3eq\o(CA,\s\up6(→))＋4eq\o(PC,\s\up6(→))＋4eq\o(CB,\s\up6(→))，得eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(BC,\s\up6(→))，因为eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)>1，则C与外心P在AB的异侧，即C在劣弧上，所以C为钝角，即cosC＝－eq\f(1,4).故选B.答案：B10．解析：由题意eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(μ,1＋μ)eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3＋3μ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(μ,1＋μ)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(NB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(NP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,1＋λ)eq\o(NB,\s\up6(→))＝eq\f(1,1＋λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2＋2λ)eq\o(AC,\s\up6(→))，依据平面对量基本定理，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋λ)＝\f(1,3＋3μ),\f(μ,1＋μ)＝\f(λ,2＋2λ)))，∴μ＝eq\f(2,3)，λ＝4，∴eq\f(λ,μ)＝eq\f(4,\f(2,3))＝6.故选D.答案：D11．解析：由条件可得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)（eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))）＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝μeq\o(AC,\s\up6(→))，λ>0，μ>0，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3,4λ)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(1,4μ)eq\o(AN,\s\up6(→))，∵M，D，N三点共线，∴eq\f(3,4λ)＋eq\f(1,4μ)＝1，∴eq\f(1,μ)＝4－eq\f(3,λ)，∵λ>0，μ>0，eq\f(1,μ)＝4－eq\f(3,λ)>0，∴λ>eq\f(3,4)，则λ－eq\f(1,μ)＝λ－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(3,λ)))＝λ＋eq\f(3,λ)－4≥2eq\r(3)－4；当且仅当λ＝eq\f(3,λ)，即λ＝eq\r(3)时取等号，故λ－eq\f(1,μ)的最小值是2eq\r(3)－4.故选C.答案：C12．解析：以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)a))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a，0))，设P（x，y），则eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x，\f(\r(3),2)a－y))，eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a－x，－y))，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－x，－y))，所以eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝（－2x，－2y），所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(PB,\s\up6(→))＋\o(PC,\s\up6(→))))＝－x·（－2x）＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a－y))·（－2y）＝2x2－eq\r(3)ay＋2y2＝2x2＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),4)a))2－eq\f(3,8)a2；所以当x＝0，y＝eq\f(\r(3),4)a时，eq\o(PA,\s\up6(→))·（eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))）取得最小值是－eq\f(3,8)a2.故选B.答案：B13．解析：依据程序框图可知，是统计这10个评分中大于或等于95分的个数，则有7个，所以输出的n为7.答案：714．解析：由流程图中的循环结构和条件语句可知，S＝sineq\f(π,4)＋sineq\f(2π,4)＋…＋sineq\f(2027π,4)，函数y＝sineq\f(πx,4)最小正周期为8，依据诱导公式和特别角的函数值，有sineq\f(π,4)＋sineq\f(2π,4)＋…＋sineq\f(8π,4)＝0，2027＝253×8＋3，所以S＝sineq\f(π,4)＋sineq\f(2π,4)＋…＋sineq\f(2027π,4)＝sineq\f(π,4)＋sineq\f(2π,4)＋sineq\f(3π,4)＝eq\r(2)＋1.答案：eq\r(2)＋115．解析：以{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))}为基底向量，则可得：eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq