高中数学-函数值域（最值）教学设计学情分析教材分析课后反思

方法归类助你得高分

函数值域（最值）

第一课时

授课人

课题函数值域(最值)第一课时

课型高一复习课

知识与技能：掌握各种值域求法的特征，并能准确地选择合适的方法解决具体问

题

教

学过程与方法：采用微课、投影展示等方法培养学生的归纳推理能力，提高学生用

目

标

数学结合思想解决问题、知识迁移等能力

情感态度价值观：通过小组竞赛、互助探究等方法激励学生学习数学的兴趣，培

养学生锲而不舍的求索精神

教学

值域的求法

重点

教学

知识的归纳总结与迁移应用

难点

教学

”提纲引路，学生自主学习，合作探究，教师点拨”的学习方式

方法

教具多媒体

教学学生活设计

教学内容

过程动意图

【自我检测】

1.值域定义：在函数y=/(x)中，与自变量*的值对应的y

课

的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.

前2.基本初等函数的单调性和值域

(1)一次函数y=kr+以1。0)

自

当文＞0时，函数在定义域R上单调递增，值域为R；

学当左＜0时，函数在定义域R上单调递减，值域为R。

反比例函数了=与(无。。的

案(2)0,X0)通过概

X学生利用念填空

课前时间和做题

当左＞0时，函数在(TO,0),(0,+oo)单调递增，值域为

自主学习再次回

完成，上课顾复习

｛yly《o｝；当左＜。时,函数在(-oo,o),(o,+00)单调递减,

简单点评有关概

念公式

值域为｛y|y#0｝。

等基础

知识

(3)二次函数)=。必+床+03。0)

当a>0时，函数在(-co,上]单调递减，在[单

2a2a

一力2

调递增，值域为【，+8);当。<0时，函数在

4a

单调递增，在[-2,+00)单调递减，值域为

2a2a

4ac-b2

(7,，]。

4a

(4)指数函数多=。*3>。且@>1)

当0<”1时，函数在R上单调递减，值域为(0,+oo)；

当。>1时，函数在R上单调递增，值域为(0,+8)。

(5)对数函数y=logax(a>0且

当0<”1时，函数在(0,+00)上单调递减，值域为R；

当。>1时，函数在(0,*。)上单调递增，值域为R。

3.【来自13年期中考试题】函数y=二^的值域为(A)

2x-l

33f3、

A.(-8,力5；,+<»)B.plJ*-->

C.(-oo,；)5；,+co)D.<J1•

4.若函数f(x)=/一2X,XW[—2,4],则值域为(A)

A.[-1,8]B.[-1,16]C.[-2,8]D.[-2,4]

5.函数/(x)='一",，则值域为[0,11

预习点评：学生做题情况学生展示巩固强

成果导课：本节课的复习内容是：归纳总结求函数值域的方法讲解自主化基础

展示复习：函数值域的五种求法学习成果知识和

技能

先听老师培养学

方法一：性质分析法

讲解例题生独立

然后总结思考总

【例D已知函数〃x)=Wf(x“2),求函数的值域规律找学结能

生上黑板力、知

1311做变式训识迁移

1―21-(5工+3)——]

解：(分离常数法)/(x)=——一-一或2练应用和

课5x+35x+35竞争意

识

・.,x<-2A5x+3<-7

i

<0值域为-9目)

4-5x+37'5

(反函数法)令尸前l-3y

中贝UX=

5y+2

l-3y1一3y

x<-2<-2即+2<0

5y+25y+2

・•・泰^40(5j+2)(7j+5)<0(且5y+2*0)

探

值域为-£,一()

【反思总结】性质分析法使我们可以快速地利用函数的有关性

究质得出结论，而其中的分式型函数y=丝三，若定义域为

ax+h

byc}

xeR\x^—,则值域为〈y£RIy。一卜；若则

IajI

案X■利用X(即X的有界性)求值域，公式记住可直

ay-c

接用。

变式训练：

1.求函数/(x)=—白在XG(-OO,1］上的值域。

解：令y=—^―则x=-y—xe(-oo,ll/.—^―<1/.—-<0

x+11-j'J1-j1-y

A(2y-1)(1-y)40(1-yW0)：.[ly-1)(J-1)>0(J^1)

值域为1一8,；M(1,4-00)

［nnx_i

2.函数/(x)=］00，+］,xeR上的值域为(一1,1)

先听老师强化配

方法二：配方法

讲解，然后方法中

利用微课的对称

【例2】求函数/(x)=-，+6x+8在下列区间上的值域

讲解变式轴的作

训练用，同

(1)7?(2)[4,5](3)[-2,4]

时让学

生注意

解：/(X)=-(X-3)2+17

分类讨

(1)开口朝下在R上先增论的思

想

后减值域为(-8,17]

(2)由右图可知在区间

[4,5]上单减，

“X)max=/(4)=16

/(x)min=/(5)=13

值域为[13,16]

(3)由右图可知函数在区间［-2,3］单调递增，在区间［3,4］单

调递减/(x)max=/(3)=17

①当@V0时，由图①可知〃X凹="0)=-1

②当时，由图③y

可知，/(x)1nhi=/⑷=一1一/

③当。>2时，由图④

1

可知，""加="2)=3-4。

综上所述，③

当@<0时=-1

2

当04aV2时，/(x)min=-l-a

当a〉2时，/(x)min=3-4a

方法三：换元法

利

用

圆

锥【例3】求函数y=x-Jl-2x的值域

曲

线

定

义____1

解：令J1-2x=，(t20)贝ijx=------

求

离2

心

率

]—尸1।

y=-z=--(z2+2z+l)+l=--(r+l)2+1

t20/.ye(-oo?1]

2

【反思总结】换元法可以用来解决形如y=a*+b土Jex+d类的函数

熟悉和

值域问题，通过换元令f=Jex+d再求值域，而且往往与配方法相结

强化换

合，一定要注意新元的取值范围。元法在

投影仪

变式训练：解题中

展示学

的应用

2.求函数y=6x-J1-2x的值域生的成

果

_____1/2

解：令£=J1-2x(£之0)则x=------

2

,1—/c2C1、237

j=6t=3t，+3=3(，+)+

2612

对称轴是t=-1函数在区间[0,-H»)单调递减

当£=°时，ymax=3

・,・值域是(F,3]

在教师的分析使

方法四：图象法

指导下，学学生对

【例4】已知/(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x,生积极思图象法

考,然后用有了更

'/(x),/(x)"g(x),求尸(X)的值域几何画板深刻的

F(x)=-

g(x),/(x)>g(x)演示完，成认识，

-解题过程从而重

3—2x,x^0

解:/(*)="并总结解视数形

3+2x,x<0题步骤结合法

几何画板演示解答过程

【反思总结】图象法一般用于函数图象可画类型的值域，与数

学结合鬼生想相结合。

变式训练：

2X-X2(0<X<3)=

5.函数/1(*)=〉,、的值域是(B)

x2+6x(-2<0)

A.RB.[-8,1]c.[-9,-H»)D.[-9,1]

利用教师引导进一步

方法五：单调性法

解三启发学生，熟悉定

角形【例5】求函数八口=?在［1,3］上的值域进行条件义法求

求离分析单调性

心率解题

解：任取/<与43

X］x2xtx2

•「I4/v*243r.Xj—x2<0xxx2>lf(xi)</(x2)

分析

又♦.修.•J(x)在区间［1,3］上为增函数

独立完成

/(©max=八3)=y/(X)min=/(I)=2

值域为［2,号］

【反思总结】单调性法用于函数没有明显上述特征但是单调性可用定义

法求。该方法在高一里用的较少，等高二学完导数后单调性法才能发挥

出最大的效用。

变式训练：

6.已知〃x)=2—3x,xe1—2,3]函数的最大值8最小值-7

7.函数y=a*+k）g“（x+l）在xe[O,l]上的最大值与最小值的和为

a,则a的值为（B）

11

A.-B.-C.2D.4

42

课1、性质分析法学生小结引领学

2、配方法生学会

堂3、换元法课堂总

4、图象法结

总5、单调性法

结

案

当1.y=的值域为（A）学生根据通过五

所学知识个例题

A"，-1（翱>[go）进行独立的探究

解答分析、

堂讲解，

2.求函数/（*）=五片在区间[1,3]上的值域（D）使学生

能够掌

「15][15、「15、」15-握此类

检1_27」（31）（27）!_37]问题的

解法

3.函数了="一*21€[—1,1]的值域为（C）

A.-1,—B.f—1,—C,-2,—D.（—2,一）

测L4]14；L4j14；

+2x+一

4.（选做题）已知f（x）=------------2.,xe[l,3],求函数/（x）的最

案

小值。

学生解答

课【必做题】课后巩固

提升，为下

/7V—1

后1.求函数的值域，其中。>()且“1一堂课进

a+1行铺垫

巩

函数的值域是（T,1）

固

2.已知/（x）=x2.2ax+2,若/（x）在区间［1,3］的最小值为2,求

案

实数a的值.a--

2

【选做题】

1.已知2'<256且logzxzg,求函数/（x）=log2'|,log^^/

大值和最小值.当10g?X=?,/（乩2=-；，当1。员尤=3,/（©max：

=2

1

2.设0<xW2,求函数y=4"-5一3.2，+5的值域

值域为己,日

［22）

函数值域（最值）学情分析

学生在前面已经学习了函数的基本概念，对于函数的定义域值域有了一个初步的了解,

同时后面还学习了基本初等函数，了解和掌握了他们的定义域和值域的相关知识。本节课作

为期末复习里的值域复习课，距离学生前面学习的值域的相关知识时间间隔比较长，会有知

识的遗忘，因而在课前自学案中，帮助学生积极主动的回顾值域的概念,基本初等函数值域，

并对本节课要讲解的方法进行了简单的自测，从自测的效果来看，学生的基础知识遗忘比较

厉害。

通过前面的学习对值域求法有一定的了解，但是对于题型的特点掌握不是很明确，因

而本课中每种方法结束后都帮助学生进行方法的特点归纳总结。

函数值域（最值）效果分析

本节课的设计以教学大纲为依据，在教法设计上遵循以教师为主导，学生为主体，思维

训练为主线，能力发展为主攻的原则，用多媒体教学，采用启发、引导、探究、发现等方法，

调动学生积极性，通过图形展示准确、直观、易于理解。

通过课中检测案，发现大部分学生可以掌握本节所讲的基本方法，但是在性质分析法中

分子的化简有一定的难度，再者各种方法的熟练选择和应用还欠缺准确性，需要后期进行适

当的训练。

函数值域（最值）教材分析

本节课选自人教A版必修一第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.1函数的概念里

的值域求法。本节课是复习课，是在学生学完必修一课本后进行的题型总结分析。值域在整

个函数的学习中都有着非常重要的地位，但是新课标对值域的要求又没有以往那么高，学生

只要掌握常用求值域的方法就行。因而本节主要选取常用的几种方法进行讲解:性质分析法,

配方法，换元法，图象法，单调性法。而且每个方法后面跟上相应的变式训练和方法总结，

帮助学生更快更好的学会该题型和方法，并能够熟练应用。

课前自学案

【自我检测】

1.值域定义：在函数y=/(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做，函

数值的集合叫做函数的.

2.基本初等函数的单调性和值域

(1)一次函数1y=丘+双人工0)

当左＞0时，函数在定义域R上单调—,值域为—；

当左＜0时，函数在定义域R上单调—，值域为—□

(2)反比例函数y=&(AH0,x=0)

X

当左＞0时，函数在单调—，值域为—；

当左＜0时，函数在—单调—，值域为—。

(3)二次函数1y=a/+bx+c(aH0)

当a＞0时，函数在单调递减，在单调递增，值域

为;

当。＜0时，函数在单调递增，在单调递减，值域

为。

(4)指数函数y="(a＞0且

当时，函数在R上单调—，值域为—；

当时，函数在R上单调—，值域为—。

(5)对数函数y=log“＞0且aH1)

当0＜a＜l时，函数在(0,+8)上单调,值域为

当。＞1时，函数在(0,”)上单调,值域为

3.【来自13年期中考试题】函数y=的值域为（)

2x-l

33

A.(-0o,-)u(-,+oo)B..川"-|.

22

C.(-oo,l)u(l+oo)

D.-jl-

4.若函数/（*）=/一2》,*€[-2,4],则值域为（）

A.[-1,8]B.[-1,16]C