高中数学易错点

数学概念、方法、题型、易误点总结

班级姓名

三角函数

1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置

所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角

叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为

始边，终止位置称为终边。

2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴

的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的

终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

3.终边相同的角的表示：

(1)a终边与。终边相同(a的终边在。终边所在射线

上)oa=6+2)br伙wZ),注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定

相等.

如与角-1825。的终边相同，且绝对值最小的角的度数是_____,合______弧度。

答：-25°,合乃弧度。

36

(2)a终边与。终边共线(a的终边在。终边所在直线上)

oa=0+k兀(kGZ).

(3)a终边与，终边关于x轴对称oa=-e+2hr(k£Z).

(4)a终边与。终边关于y轴对称oa=乃-。+2k万(kGZ).

(5)a终边与。终边关于原点对称u>a=乃+。+2攵%(攵GZ).

(6)a终边在光轴上的角可表示为：a=k7r,kGZ;a终边在y轴上的角可表示

rrjz-rr

为：a=k兀+—,kwZ;。终边在坐标轴上的角可表示为：a=——,keZ.

22

如。的终边与工的终边关于直线y=x对称，则a=------------o

6

答：a=---+2k7T=—+(kGz)

263v7

4、a与?的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.

如若a是第二象限角，则区是第____象限角.

2

冗

答：vIkji-\——<a<2k冗+冗kez

2

,7iaTV

・'.k兀H—v—<kjvd—

422

二.q为第一或第三象限角。

2

5.弧长公式：l=\a\R>扇形面积公式：S=^IR=^\aIR2,1弧度

(Irad)«57.3°.

如已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

左刀八/6—2r[..

解：9：0-——-------=1..\r=1=2cm.

rr

S=-lr=2cm2.

2

6、任意角的三角函数的定义：设a是任意一个角，P(x,y)是a的终边上的任

意一点(异于原点)，它与原点的距离是r=yjx2+y2>0,那么sina=—,cos6Z=—，

vxrr

tana=—,(xwO),cot2二一(ywO),seca=—(xw。)，csccr=—(y0)o三角函

xyxy

数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。

如(1)已知角a的终边经过点P(5,-12),则sina+cosa的值为---。

解：=,5?+(-121=13,则sina=K，cosa=-^.

,7

/.sina+cosa-----.

13

(2)设a是第三、四象限角，sina=2^W,则〃?的取值范围是_______

4一加

解：:a是第三、四象限的角，且sina=&^―

4-m

2m-3

v<0=mG

4-m

(3)若"in。!+f°s0=0,试判断cot(sina)•tan(cosa)的符号

sinaIcosal

解：由已知，知sina和cosa异号，故。为第二或第四象

限角.

/.cot(sin£z)•tan(cos<0.为负号.

7.三角函数线的特征是：正弦线MP”站在x轴上(起

点在x轴上)，余弦线0M“躺在x轴上(起点是原点)，

正切线AT“站在点4(1,0)处(起点是4)”.三角函数线

的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。

2

如(1)若一工<e<o,则sin夕,cos仇tan6的大小关系为-----;

答：由三角函数线有：cos>sin>tan0.

(2)若a为锐角，则a,sina,tana的大小关系为

解：如图SAOp<S扇AOP<AOT

sin。<a<tana.

(3)函数y=71+2cosx+lg(2sinx+V3)的定义域

cosx>

l+2cosx>02

解：由

2sinx+>/3>0V3

sinx>-------

2

/.xe^--+2k7r,—+2k7r\kGZ

8.特殊角的三角函数值：

30

45°60°0°90°180°270°15°75°

Xo

V6-V2C+血

叵73

sina010-144

22

V3痣276+72>/6—V2

cosa10-1044

TV2

//

迫V32-V32+V3

tanaT100

迫/

cotaV31002+V32-V3

3

9.同角三角函数的基本关系式：z

(1)平方关系:sin2a4-cos2a=1,1+tan2a=sec2a,1+cot2a=esc2a

(2)倒数关系：sinacsca=l,cosaseca=l,tanacota=l,

sinacosa

(3)商数关系:tana=-------,cota=---------

cosasina

同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角

的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的

取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不

3

重里同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，

再刷用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。

如(1)函数y=sMa+tana的值的符号为一一,

cosa+cota

加sina+tan。sin?acosa+sin2a1+cosa八

解：y=---------------=---------------------；—=tan2-a----------->0

cosa+cotasincosa+cosa1+sina

故符号为正。

(2)若0W2xW24，则使Vl-sin22x=cos2x成立的％的取值范围是

M：Vl-sin22x=cos2x,/.cos2x>0

37r

/.0<2x<—,or,——<2x<2Tl.

22

兀3万

XG(n),—U---,71

44

(3)已知sin6>cos^=-—―(―<^<^)贝［tan8

m+5m+52?

加-312+14-2m

=1

m+5JI〃?+5

sin2/9+cos2/9=l

〜>0

解：由vsin。>0n<=>m=8.

加+5

cos<0

4-2m八

--------<0

〃？+5

八加一5

tan03=--------

4-2m12

tanai】sina-3cosa

(4)已知-1,贝n1-----------------

tana—1sin二+cosa

sm~a+sinacos+2=------

M：由3no=-1得:tana=—

tana—12

sina—3cosatana-35

sina+cosatana+13

sin2a+sinacos二+2=cos2a(tan?a+tana)+2

tan?a+tana-43八

=----------------+2=-x-+2=2一.

1+tan~a545

(5)已知sin20(T=a,贝)Jtanl6(T等于

4

A、-.aB、—C、—"一优D、

);

Vl-a2Vl-tz2。Q

解：•.•a=sin200"=sin(180"+20")=-sin20",.1sin20"=-a.

-aa

tan160°=tan(180°—20°)=—tan20°r7选（B）

(6)已知/(cosx)=cos3x,则，(sin30")的值为

解：/(sin30°)=/(cos60°)=cos180。=一1.

10.三角函数诱导公式（士%+a）的本质是：奇变偶不变（对左而言，指人取

2

奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把a看成是锐角）.诱导公式的应

用是求任意角的三角函数值、化简及证明.其一般步骤：（1）负角变正角，再写成

2k万+a,0Wa<2乃；（2）转化为锐角三角函数。

9万77T

如（1）cos——+tan（----）+sin21"的值为---------；

46

7万..7T

解：cos—+tan+sin21乃=cos—+tan

44

4

(2)已块口sin(5400+a)=—M，贝Icos(a—270°)

/、444

解：sin(540°+a)=-y即-sina=sina=—

_4

cos(a-270°)=-sina

[sin(180°-<z)+cos(a-360°)]2

若a为第二象限角，则

tan(180°+<z)

解:原式=侬3组_l+sin2a_3

tanatana100

11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

sin(a±/?)=sinacos0±cosasin0-"•>sin2a=2sinacosa

5

cos(a±2)=cosacos/干sinasin(3>cos2a=cos*23a-sin2a

-2cos2a-1=1-2sin2a

)l+cos2a

ncos-a=-----------

3i=黑黑2

.21-cos2a

sin-a=-----------

2

-2tana

tan2a=----------

1-tana

如1下列各式中值为—的是

2

)

2万.21Ctan22.5°

A、sin15°cos15"B、cos-----sin—D、

1212、tan222.5°

1+cos300

答：选(C).

(2)命题P：tan(A+B)=0,命题Q:tanA-^tanB=0,贝UP是Q的()

A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要

条件;

答：当A=8=X时,Q不成立，故选（C）.

2

3.

(3)已知si〃(a-0)cosa-cos(a-B)sina，那么cos2/7的值为

解：由已知得：sin|^（asin/3--.

cos2£=l_2sin2/7=l—2(—喂.

1

(4)的值是——_________________________

sin100sin800

初后④cosl0°-V3sinl0°2cos(60。+10。)

解:原式二.sindcosl。厂一

2

⑸已知12皿10°=〃，求tan50°的值（用a表示）甲求得的结果是“一.，乙

1+

6

-2

求得的结果是,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是

2a

解：vtanl10"=a;

tan1100-tan60°G-y/3

tan50°=tan(110,,-60,))

1+tan1100tan60°1+y/3ci

l-tan21100_1-g2

又tan50°=cot(270°-50°)=cot220°

2tanl10°2a

所以甲乙都正确。

12.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结

构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函

数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的

结构特点。基本的技巧有：

(1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角

的变换、两角与其和差角的变换.如a=(a+£)-£=(a-£)+£,

2a=(a+/?)+(&-/7),2a=(77+a)—(£-a),a+£=2.a：),

年=("外除司等)，

277,I冗一

如(1)已知tan(a+/?)=—,tan(Z?----)=—,那么tan(a+—)的值是-----

'5444

21

5一4二3

解：tan[a+wJ=tan(a+y9)-l

(2)已知0(万v/ca，且cos(o-=,sin(=9求

cos(a+/3)的值；

A.7J71Ct7171q门九0,、兀

斛：・.・一<一<—,——<-/7<0----<--<0,—<6Z<7T

4222422

TVa7i八.••王＜二一2〈肛又

n<—Xsinly-y?l>0

42

cos(a-fJ<0

.八。A乃.(a亚

22(.2J3

7

.万B.，⑶臧

..-<cc<1，sinex------

22L2)9

cos=cos"一

=cos(a—yjcos^y-/)+sin(a--y^sin(晟一Q

(n6厢2

I9393

(3)已知a,£为锐角,sina=x,cosJ3=y,cos(a+〃)=-《，则y与x的函

数关系为______；

解：y=cos0=cos[(a+/?)-a]=cos(a+/?)cosa+sin(a+0sina

3A_T4

-------\Jl-x+—x

55

47CI7V

*:-<a-\-/3<--\-acos(cr+^)>cosly+cr

3日.3(3

/.——>-sincrsina>—./.xG-,1

55(5

(2)三角函数名互化(切割化弦)，

如(1)求值$也50°(1+7§\a1110°);

2sin50°f1、

解：sin50。(1+Gtan10。)---------T—COS10°+—sin10°

cos10°227

2sin50°sin80°

sin40°1.

cos100cos10°

(2)已知朝经2丝=l,tan(a-尸)=一2,求tan(力一2a)的值;

l-cos2a3

左刀sinacosasinacosa.1

除---------=1=>---------------=1=tana=—.

l-cos26z2sina2

tan(夕一2。)=-tan(26z-/7)=—tan[o+(2-/)]

8

⑶公式变形使用(tana土tan/?=tan(cif±^)(1+tan«tano

如(1)已知A、B为锐角，且满足tanAtan5=tanA+tan8+1,贝可cos(A+8)

解•:tanAtanB=tanA+tan8+1,/.tan(A+B)=-l

后

,.,()<A+B<乃,「.cos(A+B)=—

(2)设AA8C中，tanA+tanB+V3=V3tanAtanB,sinAcosA=,则此三

4

角形是一―三角形；

M：:tanA+tan8+百二百tanAtanB

tanA+tanB=-A/3(1-tanAtan5)Rl7tan(A+6)=一百

..・A+8=120°,C=60°.

XsinAcosA=—,/.sin2A=—则2A=60。.A=30。；

42

或2A=120°,A=60°.

vA=30°0fB=90°,tanB,故A=B=C=60°,ABC为正三角形。

⑷三角函数次数的降升（降赛公式：214s2.21-cos2aL.

cosa=^^,sin-a=----------与

2

升赛公式:1+cos2a=2cos2a，1-cos2a=2sin?a)。

如(1)若a)，化简、工+LjWos2a为

2y22Y22

sin—>0.

2

H+Lp+\°s2a=、1+1由

\22V22V22

'11.a.a

------cosa=.sin"—=sin—.

22V22

(2)函数/(x)=5sinxcosx-56cos2x+g6(xwR)的单调递增区间为

9

角聿：/(x)=5sin^cosx-5>/3cos2X+-1A/3

2x)+1V3

5sin(2x--1-

由2&乃一三W2x-—<2&»+工得:

232

_.71_25.7t.5

2k兀<2x<2k兀+—)K7U-----<X<K7V-1-----71.

661212

.71.5

k兀-----,k7UT-----冗.（kez）为函数的单调递增区间。

1212

⑸式子结构的转化（对角、函数名、式子结构化同）。

n

如（1）化简1@11。90$。一$也。）+s'°+忸11a；

cota+esca

sin2a(cosa+1)

解：原式=tana(cosa-sin二)+

cosa(cosa+1)

tana(cossina+sina

tana-cosa=sina.

।a

1+tan

(2)求证：上.a2.

[a

l-2sin2-1-tan

22

2

a.a

cos—+sin—

…口I2

]正明：--1-+--s-in--a-=-1-+--s-i-n-a2

22a.2。

l-2sin^cosacos-----sirr-

222

a.a1a

cos—+sin—14-tan—

22__2

a.a，a

cos------sin—1-tan—

222

1

2cos4x-2cos2XH—

(3):化简--------------2

c/1\,2/乃\

2tan(-----X)sm-(一+x)

44

io

fcos2j-cos22x]

解:原式=--------r------7------r-=-^—7--------7=—COS2x.

(71\.71\\.7U2

cot一+xsin2一+x—sin—+2x

UJuJ212J

(6)常值变换主要指“1”的变换(l=sin2x+cos2x=sec2x-tan2x=tanx-cotx

=tan£=sin弓=…等),

如已知tan。=2,求sin2。+sinacosa-3cos2a.

解：原式=seco(tan?a+tana—3)

=(1+tan2Q)(tan?a+tana-3)

=(l+4)(4+l-3)

=10.

(7)正余弦“三兄妹一sinx±cosx、sinxssx”的内存联系--“知一求二”，

如(1)若sinx±cosx=t,贝Usinxcosx=特另4提醒：这里，£[-亚,0];

解：若sinx士cosx=入贝Il±2sinxcosx=Z2

.t2-\

sinxcosx=±------JGV2,V2J.

2

(2)若aE(0,7r),sina+cosa=4，求tana的值。；

143乃]

解:sina+cosa—.ae（0,乃）.1.二^

2)

_32tana

平方得：sin2a又sin2a•—

~~41+tan2a

3_2tana

变形得:3tan2a+8tana+3=0

4l+tan2a

-8±V28-4±V7

/.tana=------------（舍正号）.

63

(3)已女口,in2a+2sina=：(工＜＜工),试用上表示sina-cosa的值。

1+tana42

_sin2a+2sin2a_2sincrcoscr(sin(7+cosa

解:K——2sinacosa.

1+tanasina+cosa

7171

设・・则V=I—k^.\t—y/l—k.

1=sina-cosa,.aeI'Dr＞0.

13、辅助角公式中辅助角的确定：asinx+bcosx=\ja2+/?2sin（x+e）（其中。角

ii

h

所在的象限由a,A的符号确定，。角的值由tan，=—确定）在求最值、化简时起着

a

重要作用。

如（1）若方程sinx-6cosx=c有实数解，则c的取值范围是------------;

解：由sinx-Gcosx=c得：sinx=—.

I32

由-14,41得:cw[-2,2].

(2)当函数3?=2。。5》-35山；1取得最大值时，柩〃》的值是——

__23

解:y=2cosx-3sinx=V13cos(x+^)cos^=-y=,sin^=-T=.

713713

则x+0=2Z;r(%£z)即x=2攵乃一。时，y取得最大值JT工此时

tanx=tan(2&)一0)=一tan°=.

(3)如果/(%)=$指(%+夕)+2(：00(1+9)是奇函数，则tane=：

解:/(x)=sin(x+0)+2cos(x+。)=&sin(x+0+a)是奇函数，

「・/(-x)=-/(%)即V5sin(-x+^+6Z)=-石sin(x+°+a)

sin(-x+0+a)+sin(x+0+a)=0

2sin(°+a)cosx=0恒成立.

而sine=2,cosa=1

sin(0+a)=0即sin(/>cosa+cos(/)sina=0

tan0=—tana=-2.

31

(4)求值:+64sin220°

sin220°cos2200

原式"+修虑1

解:+64sin220°

cos20°

(Gcos200+sin20°)(73cos20°-sin200)

+32(l-cos40°)

-sin240°

4

16sin80°sin40°“人..\

---------------------+32(1-cos400)

sin240°I*47

=32cos400+32（1-cos40°）

=32.

14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx图象

12

的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0,工，肛红,2万的五点，再用光滑的曲

22

线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

15、正弦函数^=sinx(xwR)、余弦函数^=cosx(xeR)的性质：

(1)定义域：都是Ro

(2)值域：都是[-1,1],对/=5血1、，当x=24万+'1■(*eZ)时，y取最大值1;

37r

当x=+EZ)时，y取最小值-1;对y=cosx,当x=2&乃(k£Z)时，y取

最大值1,当x=2攵)+%(攵eZ)时，y取最小值-1。

-JTQ1

如(1)若函数y=〃-Z?sin(3x+—)的最大值为一，最小值为——，则。=一，b=

622

3

a+b1

a--

解:显然bwO,若/?〉0贝I:2

a-bb=l

~2

,3

a-b=—1

2a=—

若b<0则:=><2.

,1

a+b=——b=—l

2

(2)函数/(x)=sinx+6cosx(xe[-y,^])的值域是---

兀

解：/(x)=sinx+V3cosx=2sin+

兀兀Tl,7，5万

VXG-----<x-\——<——.

636

sinx+-\&-11/(x)e[-l,2].

I32'

(3)若2&+£=万，则y=cosJ3-6sina的最大值和最小值分别是---

解：・.・2a+£=兀,：.。=九一2a

.・.y=cos£-6sina=cos(万一2a)-6sina

=-cos2cr-6sin=-(1-2sin2a)-6sin。

(311

2sina+一

I21

13

当sina=-l时，外山二一5;当sina=l时，ymax=7.

(4)函数/(x)=2cosxsin(x+工)一百sin?x+sinxcosx的最小值是-----

Mx=；

解：/(x)=sinl2x+yl+siny-V3------------+—y—

=2sin(2x+g)

/./(x),=-2.由2x+'=2%%一£得：x-k7v-—Ake

J—mm3212V7

(5)己知sinacos/?=!，求£=sin£cosa的变化范围；

1

sinacos/?=gn方+一sin(a+力)-l<r+-<l

22

解：4=><

cosasin/3=t--t=sinQ-Q)

12

-2<r<l

22

=>/6

1322

(6)若sin2a+2sin2/=2coso,求y=sin?a+sin?"的最大、最小值。特别

提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？

M：sin2cr+2sin2(3=2cosa,/.2sin2p=2cosa-sin2a

v0<2sin2y5<2,0<2coscr-sin2a<2

Z.V2-1<cosa<\.

y=sin24-sin2°=sin2a+cosa-gsin2a

=——1cos2a+cosa+—1=——1/(cosa-\i]\2+11

222V7

・•.当cosa=l时：ymax=1;当cosa=J^—1时：ymin=-2+2\/2.

(3)周期性：①y=sinx、y=cosx的最小正周期都是2乃；②

2乃

f(x)=Asin(s+o)和/(x)=Acos(^x+^)的最小正周期都是T=——。

\co\

如⑴若〃吁鸣’则/⑴+/(2)+/⑶+…+八皿)=

14

用/：v/(x)=sin—T=6.

又/⑴呼，〃2)=奈〃3)=0J(4)=一冬〃5)=岑〃6)=0.

.•./(1)+/(2)+/(3)+-+/(2003)

=〃1)+〃2)+〃3)+…+〃5)

=0.

(2)函数/(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x的最小正周期为——

-5

解：f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x-sin2x)(cos?x-f-sin2xj-sin2x

=cos2x-sin2x=V2cos2x+—:,T=兀.

I4；

jrrr

(3)设函数/(x)=2sin(5X+《)，若对任意xcR都有/(为)W/(x)二/(乙)成

立，贝4I玉一乙।的最小值为--___________________________--；

解：/(x)=2sin^x+^,T=^=4

2

•巾-x21nlM=g=2.

(4)奇偶性与对称性：正弦函数y=sinx(x£R)是奇函数，对称中心是

(攵肛0)(攵eZ),对称轴是直线x=kTr+—^kGZ);余弦函数y=cosx(xGR)是偶函

数，对称中心是，万+工,o［仅eZ),对称轴是直线x=Jbr(AwZ)(正(余)弦型函

数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交

点)。

如(1)函数y=s山(卷一2x)的奇彳禺，性是______；

解：y=sin~=cos2x故为偶函数.

(2)已知函数/(x)=ax+力si/?x+1(a,/?为常数)，且/(5)=7,则

，(-5)=------；

解：1己8(1)=0¥+/?5皿3元,贝48(%)为奇函数。

〃5)=g(5)+l=7,.・.g⑸=6,g(-5)=-6.

贝I"-5)=g(—5)+l=-5.

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(3)函数y=2cosx(sinx+cosx)的图象的对称中心和对称轴分别是

解：y=2cosx(sinx+cosx)=2sinxcosx4-2cos2x

=sin2x+l+cos2x=V2sin2x+—+1

I4j

由2x+二=Z乃得：x=—故对称中心为(红一工,［；

428I28J

由2%+工=左万+工得：x-—+—,故对称轴为直线％=豆+巴.化ez

422828v

(4)已知/(“=++为偶函数，求。的值。

解：/(x)=sin(x+9)+Wcos(x+e)=2cos|x+0-—}

当e—工=女肛即e=左乃+看(%wz)时，f(x)为偶函数。

也可由〃r)=/(x)求得。

(5)单调性：

y=sinx在2卜1-三,2卜兀+%{kGZ)上单调递增，在

24乃+^,2攵乃+与(ZwZ)单调递减;

y=cosx在［2%肛2丘+句(％EZ)上单调递

减，在［2%1+1,2左；7+24］(女£Z)上单调递增。特别提醒，别忘了&wZ!

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