高中数学-平面向量的数量积教学设计学情分析教材分析课后反思

2.4.1平面向量的数量积（教学案）

一、教学目标整合

学生通过自主学习，了解数量积的物理背景，感知向量数量积的

定义，理解两个向量的夹角和数量积的概念，了解其几何意义。

通过对定义的进一步探究，学生能够得到有关数量积的性质，让

学生初步尝试探究的过程，体验发现数学的乐趣，培养解决问题的能

力。

学生对数量积运算律的探究，体会类比、猜想、证明的探索性学

习方法；通过解题实践，体会数量积的运算方法。

二、教学重点、难点

重点：平面向量数量积的定义、性质

难点：对数量积的运算律的探究

三、教学方法

本节内容是在学习了平面向量的线性运算和基本定理及坐标表

示的基础上，学生具备了一定的基础，以自主学习、问题探究、合作

交流为主要的教学方式组织学生学习。

四、教学过程

教学

教学内容师生互动设计意图

环节

背通过物理中“功”概念由于学科进度，

景的了解，引出本节课题.（多简单介绍学生还没有掌握

引媒体展示)“功”的概念，

入仅作了解.

在边长为1的等边三角以问题的形式检根据学生的学

自形/比中，丘是边式的中点；查学生自主学习的习基础情况和课

主⑴求通•记的值；情况，通过学生做前的自主学习，

学(2)求荏・标的值；的情况，交流自主通过本题检查学

习学习的心得，引出生自主学习的情

(3)求而在元方向上的投影；

成在概念学习中的疑况，为下一步的

果惑.概念学习和性质

/\

展学生独立完成的探究奠定基

示后，教师提问，学础.

BZJ£L;AC

生交流、纠错.

教学

教学内容师生互动设计意图

环节

解1.两个向量的夹角/B把握概念的内

决已知两个非零向量瓦瓦作涵，明确向量夹

UA

疑OA=a,OB=b,^\ZAOB称作向角的含义及范

惑量。与向量很的夹角6,也概念教学，学围，理解数量积

记作。=<53>,并规定生在老师的指导下的定义与书写方

概0<0<71.理解夹角的概念，法，了解数量积

念2.数量积的定义通过对前面练习的的几何意义.能

生1aIIB18se叫做向量r和］的分析得出求向量夹运用数量积的定

成数量积（或内积），记作,石,角的方法.义来解决简单的

即小行二|1||B|cos。（，为夹角）计算问题.

规定:零向量与任一向量让学生掌握数

的数量积为0.量积（内积）的书

3.几何意义写方法和语言表

投影的定义及探究达，理解“数量”

\b\cos0叫做向量5在向含义.

量。方向上的投影.学生探究投影

的正负问题，动手

画图，学生回答相

关提问.

问题探究

问⑴展分的正负号如何确定？师生合作进行通过对概念

题问题探究内涵的深化，探

探（2））4=0,则2=0或石=。对吗？学生通过独立究概念的外延，

究那么由2石=0你能得出什么探究、合作交流，让学生通过问题

结论？在解决问题的过程探究得到数量积

得中发现新知，分享的性质，能对公

出⑶无，等于什么？解决问题的乐趣.式进行适当的变

性⑷能比较旧⑨与旧|向的大探究后小组合形来解决夹角、

质小吗？作交流，然后由学向量的模、向量

得出数量积的性质：生代表形成汇总.垂直等问题.

教学

教学内容师生互动设计意图

环节

类比实数和向量数乘的师生共同合作探究学生通过对数量

运算律，探究以下向量数量积运算律的探

积的运算律是否成立？类比、猜想后如何究，体会类比、

(Dab=h-a?证明呢？猜想、证明的探

(2)(Aa)-b—b)—a-(Ab)?索性学习方法.

(3)(a+b)-c~a-c+b-c?引导学生思考

(4)(ab)-c—a(bc)—代数法？几何法？

运

(a-c)-b?还是数形结合呢？

算

律

思维拓展

的

结合数量积的运算律，类思维拓展，

类\

比实数的平方和与平方差公/初步体会数量积

比

式，证明以下公式：ZL的运算.

探BEC

(1)(。+力2=a2+2a-b+b2

究

^(a+b)-(a-b)=a2-b2

前后呼应，

一试身手让学生能运用学

在课前检测题中，你能运到的知识的来解

用向量的方法证明AEA.BC决简单的平面几

吗？何问题.

1、辨析正误

⑴若小则向量,花的夹角为钝教师引导概念的

角.学生思考回答生成既要把

()如何辨析正握概念的内

⑵若,/不，则用名|=回出|.()误，引导学生涵，又要注

⑶若向量，在向量各方向上的投影等如何举例分重对概念外

于0,则近立()析，如何证明.延的分析，

(4)若则分=1.()通过辨析学

2、已知|a|=5,|b|=4,a和b的夹角学生独立生能明晰的

达

为60。，求a・b.完成2、3题，理解数量积

标

展示学生成的概念.

检

3、设|a|=12,|b|=9,a-b=-54V2果.

测

求a和b的夹角.让学生通过

解题实践体

课堂小练：会数量积的

1、已知AABC中，AB=a,AC=b,当运算.

a•b<0,a・b=0时,△ABC

各是什么三角形？

_,,I1LJIIl_l

2、已知|由二4|〃|=4,片力=-4.

nun0

(1)求向量上附夹角6；(2)^\a-b\.

指导学

教师引导生进行总结

自学生自我总结反思，能较

我反馈.好的把握本

反节课的重点

馈难点，能自

己对知识进

行梳理.

布课本习题2.4A组第1、2、7题

置选作题B组第1、4题

作请结合本节学习内容自己设计

业一道有关数量积的题目：

学情分析：

学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向

量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究

向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概

念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算

律。在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上，学生基本

上能类比得到数量积的含义和运算律，对于运算律不一定给全或给对,

对运算律的证明可能会存在一定的困难。

效果分析:

本节课的设计注重教学目标的明确；注重根据学生的认知规律而

科学地进行知识序列的呈现；注重调动学生参与教学活动；注重课堂

效果的实效性。高中数学教学应体现知识的来龙去脉，创设问题情景,

建立数学模型，让学生经历数学知识的形成与应用，可以更好的理解

数学概念、结论的形成过程，体会蕴含在其中的思想方法，增强学好

数学的愿望和信心。对于抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背

景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式。教师是学生

学习的引导者、组织者，教师在教学中的作用必须以确定学生主体地

位为前提，教学过程中要发扬民主，要鼓励学生质疑，提倡独立思考、

动手实践、自主探索、阅读自学等学习方式。对于教学中问题情境的

设计、教学过程的展开、练习的安排等，要尽可能地让所有学生都能

主动参与，提出各自解决问题的方案，并引导学生在与他人的交流中

选择合适的策略，使学生切实体会到自主探索数学的规律和问题解决

是学好数学的有效途径。

本节内容在全书及章节的地位：平面向量的数量积是普通高中课

程标准实验教科书《必修4》的第二章第四节内容。平面向量的数量

积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重

要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛它与解三角形、函数等

数学知识紧密相连，向量数量积还是培养学生树形结合的数学能力的

良好题材。可以说向量是高中数学重要内容之一。本节内容教材共安

排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究

数量积的坐标运算，本节课是第一课时。本节课的主要学习任务是通

过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探

究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养

学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背

景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，

既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合

点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数

量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。针

对我校实际情况，在问题的设置上要注意平缓过渡，在例题习题的选

择上要以基础题为主，要树立学生学习数学并能学好数学的信心。

课时测评

平面向量数量积的物理背景及其含义

1.若向量a,6满足|a|=|6|=La与6的夹角为60°,贝!）a•a+

a,6等于（）

A.1B.|C.1+*D.2

2.如果且aWO,那么（）

A.b=cB.b=4c

C.b±cD.b,。在a方向上的投影相等

3.若向量a,b,c,满足a〃6且a_Lc,则。・（a+2b）=（）

A.4B.3C.2D.0

4.若向量a与8的夹角为60°,|引=4,且(a+28)•(a-36)=一

72,则a的模为()

A.2B.4C.6D.12

5.已知平面向量a,6是非零向量，|a|=2,a_L(a+26),则向量8

在向量a方向上的投影为()

A.1B.-1C.2D.-2

6.已知|a|=3,|引=5,且a与6的夹角9=45°,则向量a在向

量力上的投影为.

7.已知向量a,b,其中|引=2,且(a—b)_La,贝！||2a—

b\=•

8.若非零向量a,6满足/a/=3/6/=/a+26/,则a与6夹角的余弦

值为.

9.如图2-4-1所示，在平行四边形幽力中，|荔|=4,|森|=3,Z

血件=60。.

图2-4-1

求：⑴森•比；⑵荔•而；⑶荔•法.

3

10.已知非零向量a,b满足|a|=L且(a—6),(a+Z?)=-.

⑴求㈤.

(2)当a・b=一；时，求向量a与a+26的夹角J的值.

课后反思：

①本节内容主要是概念法则的学习，不要让学生的学习变成机械的记

忆，要充分利用“功”这个物理概念，使教学贴近学生的认知，使学

习变得富有意义。

②要使学生体会力和位移是两个向量，而得到的功是一个数，功的大

小与力、位移的大小及夹角有