高中数学必修二第八章第六节《空间直线、平面的垂直》解答题提高训练 (二十七)

必修二第八章第六节《空间直线'平面的垂直》解答题提高训练(27)

1.三棱柱ABC-AB©被平面&B1C截去一部分后得到如图所示几何体，BB]，平面ABC,

^ABC=90°,BC=BB],E为棱&C上的动点(不包含端点)，平面ABE交41c于点F.

(I)求证：AB1平面为BC；

(II)求证：EF//AB-,

(III)试问是否存在点E,使得平面ABE1平面&%C?并说明理由.

2.如图，在三棱柱ABC-A/iCi中，平面力遇CCi1底面=BC=2,AACB=30。,4cle8=

60°,BCrl.ArC,E为AC的中点，侧棱CC1=2.

(1)求证：4cl平面GEB；

(2)求直线CG与平面ABC所成角的余弦值.

3.如图1所示，在直角梯形ABC。中，乙40c=90。，AB//CD,AD=CD=^AB=2,E为AC的

中点，将AACD沿AC折起，使折起后的平面4C£＞与平面48c垂直，得到如图2所示的几何体

D-ABC.

(1)求证：BC1平面ACQ；

(2)点尸在棱CO上，且满足AD〃平面BEF,求几何体f-BCE的体积.

4.如图，在四棱锥P-ABCD^,PA_L平面ABCD,AC1CD,PA=2,

AB=1,BC=a,CD=娓,PC与平而ABC。所成的角为45。，

(1)求证：平面PAB_L平面尸BC；

(2)若CM_LPC于M,N为AO的中点，求三棱锥P-CMN的体积.

5.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为

4祖。1，/.BAC=90°,AiAJ•平面ABC,ArA=阴，AB=AC=2,

,尸,BD_i

—1，DC~2-

(I)证明：平面4遇01平面BCQB］；

(口)求二面角4一。6-3的正切值.

6.如图，长方体4BCD—4声传12中，AC=A&=1,AB=m,点M是棱C£＞的中点.

(1)求异面直线aC与4G所成的角的大小；

(2)是否存在实数相，使得直线4cl与平面BMDi垂直？说明理由；

(3)设P是线段4G上的一点(不含端点)，满足某=九求；I的值，使得三棱锥当-CDiG与三棱锥为-

CD1P的体积相等.

7.如图，在四棱台力BCD—4BiGDi中，底面A8CQ是菱形,44]==^AB=1,乙4BC=60°,

AA!I5?®ABCD,点E是棱BC上一点.

(1)若E是BC中点，求证：平面ADiE平面CCiAC；

(2)设二面角E-AD1一。的平面角为。，且|cos0|=/求线段CE的长.

8.在边长为4的正方形ABCQ中，点E、F分别为边AB、A。的中点，以CE,CF为折痕将AOFG和

△BCE折起，使点B、。重合于点P,连结PA,得到如图所示的四棱锥P-4EF.

(1)求证：EF1PC；

(2)求直线PA与平面PEC所成角的正弦值.

9.在正方体4BCD-48停1。1中，已知E,F,G分别CCi，BC,CD

的中点，

(1)求证：ABJ/GE；

(2)求证：&G1平面EFD；

(3)求二面角B-ArC-。的余弦值.

10.如图所示，已知四边形A8C。为矩形，AD1¥®ABP,AP=PB=

BC=2,M为CP的中点，且BM_L平面ACP,AC与BD交于N点.

(1)证明：API平面BCP；

(2)求三棱锥C—BNM的体积.

11.直三棱柱4BC-&B1Q中，AA1=AB=AC=1,E,尸分别是CQ,

BC的中点，AELAiBi，力为棱&Bi上的点.

(1)证明：ABA.AC；

(2)证明：DFLAE；

(3)是否存在一点。，使得平面OEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值

为豆？若存在，说明点。的位置，若不存在，说明理由.

14

12.如图，在三棱锥S-4BC中，BC1平面S4C.已知S4=4C,点”，E,F分别为SC,AB,BC的

中点.

(1)求证：EF〃平面SAC；

(2)求证：AH1平面SBC.

13.如图，在四棱锥P-4BCD中，平面PAD_L底面A8CD,其中底面A8C。为等腰梯形，AD//BC,

PA=AB=BC=CD,PA1PD,/.PAD=60°,Q为尸。的中点.

P

(1)证明：CQ〃平面PA8；

(2)求二面角P-AQ-。的余弦值.

14.如图，在长方体4BC。一4/口5中，AB=AD=1,AAr=2,点尸为。。i的中点.

(1)求证：直线BQ〃平面PAC；

(2)求证：平面PAC_L平面BO%；

(3)求直线PG与平面A4C的夹角.

15.已知斜四棱柱平面48co-&勺。［。］的各棱长均为2,/.A^AD=60°,/.BAD=90°,平面

A1ADD1_L平面ABCD,

(1)求直线BO】与平面A8C。所成的角的正弦值；

(2)若E为CCi中点，在线段AD上是否存在一点M,使得MB】_L平面BED］，若存在求出AM长度,

若不存在，请说明理由.

16.如图，在直四棱柱4BC。一公8道1。1中，底面ABCO是菱形，且4B=

\AAr=1,E是棱44的中点，EC=V3.

(1)求证：平面DiEC_L平面EDC；

(2)求二面角5-EC-B］的大小.

17.如图，在四棱锥P—ABCD中，AB//CD,AB=1,CD=3,AP=2,

DP=2V3rZ.PAD=60°,ABI5]2®PAD,点M在棱PC上.

(I)求证：平面PABJ■平面PCD；

(II)若直线PA〃平面MBD,求此时直线BP与平面MBD所成角的正弦值.

18.如图所示，已知四棱锥P—4BCD中，底面A8CO为菱形，PA1平面A8C。，乙4BC=60.,E,

尸分别是BC,PC的中点，AB=PA=2.

(/)求证：AE1PD；

(11)设平面2。。。平面248=1,试判断直线/与直线A8的位置关系，并证明;

(HI)求二面角E-AF-C的余弦值.

19.如图，在四棱锥P-4BCD中，底面ABC。为平行四边形，AP=AB=AC=a,AD=V2a,PA1

底面ABCD.

(1)求证：平面PCD1•平面PAC；

(2)在棱PC上是否存在一点E,使得四棱锥E-ABCD的体积为等？若存在，求出；1=繇的值？若

不存在，说明理由.

D

20.如图，四棱锥P-ABC。中，底面ABC。中，BC//AD,CDJ.AD,P在底

面的射影0在4。上，PA=PD,O,E分别为A£>,PC的中点，且P0=AD=

2BC=2CD.

(1)求证：AB1DE；

(2)求二面角4-PE-。的余弦值.

【答案与解析】

1.答案：解：(I)因为BBiJ.平面A3C,ABU平面ABC，所以

因为乙4BC=90。，所以BC14B.

因为=4BU平面3田。，3厂(1平面3声「，

所以平面

(11)在三棱柱48。-418住1中，AB

因为ABC平面ABQ,4归1C平面4BC，

所以平面AK.

因为4BU平面ABEF,平面4BEFC平面ABiC=EF,

所以EF//AB.

(HI)存在点E,当点E为BiC中点时，平面ABE_L平面A|3|C'.

因为BC=BB「E为&C的中点，所以8EJ.B1C,

因为.AB1平面BEC平面BBL,所以AB1BE,

因为AB〃4Bi，所以BEJ.4

因为nB]C=Bi，A\B\.B[CC平面出场。，

所以BE_L平面.山区「.

因为BEU平面ABE,所以平面ABE_L平面

解析：本题考查立体几何的相关定理，考查线面垂直、面面垂直，考查线线平行、线面平行，属于

中档题.

(I)结合题目条件以及线面垂直的判定定理进行证明即可；

(口)利用线面平行的判定定理进行证明；

(ID)证明面面垂直过程中，找到线面垂直是关键，再由线面垂直推出面面垂直.

2.答案：(1)证明：如图：

■：AB=BC,E为AC的中点，.iBElAC,

•.•平面44CC11平面ABC,平面44CGD平面力BC=AC,BEu平面ABC,

BE，平面4遇CCi，

VAXCU平面41ACG，BE141c.

又BC1J_4C,BECBG=B,BE,BC】u平面6EB,

•••41c1平面GEB.

（2）解：•••平面4iACG_L平面ABC,.'Ci在面ABC上的射影H在AC上,

•••为直线CW与面A8C所成的角.

过H作1BC于M,连,

vCrH1BC,MHCO1H=H,MH,C】Hu平面MC】H,

BC_L平面MG”.「MJu平面MG”,•••BC1MCr,

在Rt△C]CM中，CM=CCJCOSZ.CJCM=2cos60°=1.

2y/3

在RtACMH中，CH=CM

CQSZ-ACB3

CHp/3V3

・・・在/?%。107中，coszCiCH____—£___—__

CC1-2-3

・•・直线C1C与面A8C所成的角的余弦值为号.

解析：本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

(1)证明BEJ■平面414CG，可得BEJLAiC,即可证明：41cl平面GEB；

(2)判断NGC4为直线GC与面ABC所成的角.过H作HM1BC于M,连GM,即可求直线CC】与平

面A8C所成角的余弦值.

3.答案：（1）证明：由图1可知4c=BC=2V2>

所以AC2+B（?2=AB2,所以AC_LBC,

取AC中点E,连接。E,则DEIAC,又平面4CD_L平面ABC,

又平面4coe平面ABC=AC,DEu平面ACT）,所以EO_L平面ABC,

而BCu平面ABC,所以EDJ.BC,又ACJ.BC,ACCtED=E,

所以BC1平面AC£)；

(2)解：取。C中点F,连接EF,BF,因为E是AC的中点，所以E/7/AD,

又EFu平面BEF,ADC平面BEF,所以平面BEF,

由(1)知I,BC为三棱锥B-ACD的高，

因为三棱锥F-BCE的高九=|BC=V2,SABCE=|5Ai4CD=]x：x2x2=l,

所以三棱锥F—BCE的体积/_BCE=，SABCE,h=：X1XV2=*.

解析：⑴利用勾股定理可证得4CLBC,取AC中点E,连接。E,则DE1AC,从而证得ED，平面

ABC,由此能证明BC1平面ACO；

（2）取0c中点F,连接EF,BF,则EF〃/1D,三棱锥F-BCE的高％=S^BCE=^S^ACD,由

此能求出三棱锥尸-BCE的体积.

本题主要考查了线面垂直的证明，以及三棱锥的体积计算，同时考查了空间想象能力和转化的思想,

属于中档题.

4.答案：解：（1）证明：PAABCD,外

可得PC与平面A8CZ）所成的角为NPC4=45°,

可得4C=PA=2,川

/

由48=1,BC=曲，AC2=AB2+BC2,即有BC_L力B,

由P41BC,可得BC_L平面PAB,BCu平面P8C,-L

可得平面PAB_L平面PBC；C

（2）由PA1平面ABCD,可得P41CD,

又CD1AC,可得CD1平面PAC,

即有CD1PC,在直角三角形PC。中，CD=#,PC=2V2,

由CM1PD,可得PM-PD=PC2=8,DM-PD=DC2=6,

可得型==PM=-PD,

'DM37

可得Vp_CND=[PA.SACND=32-，，2.乃=苧，

即有Vp-CNM—；Vp-CND=竽.

解析：（1）由线面角的定义可得4PCA=45。，AC=PA=2,由线面垂直的判定定理可得BC1平面

PAB,再由面面垂直的判定定理即可得证；

（2）运用线面垂直的判定和性质可得CD1PC,在直角三角形PC。中，运用射影定理可得PM=；PD,

再由三棱锥的体积公式，计算可得所求值.

本题考查面面垂直的判定定理，考查棱锥的体积求法，注意运用线面垂直的判定定理和转化思想，

考查推理能力，属于中档题.

5.答案：证明：（I）r4p4_L平面ABC,BCu平面ABC,

・••AtA1BC.

在RtzMBC中，AB=®AC=2,

••・BC=V6»

・・・BD：DC=1：2,

・•・BD——9

3

-riBD_y/3_AB

AB3BC

•••△DBA-AABC,

^ADB=^BAC=90°,即/W1BC.

又4i4n4D=4,ArA,4£><=平面4遇。，

BC，平面4遇0,

•••BCu平面BCCiBi，

平面力_L平面BCC$i.

(II)如图，作力E_LQC交CiC于E点，连接BE,

由己知得AB1平面4CC14.

4E是BE在面ACC14内的射影.

由三垂线定理知BE1CG，

N4EB为二面角4-CG-B的平面角.

过G作C/14c交AC于F点,

则CF=AC-AF=1,GF=ATA=百，

4cleF=60°.

在Rt△力EC中，AE=4Csin60°=2x—=V3.

2

在RtZkBAE中，tazMEB=再=*=渔，

AEW3

即二面角4-CG-B的正切值为当

解析：本题主要考查平面与平面垂直的判定，以及二面角的平面角的度量，同时考查了空间想象能

力，计算能力和推理能力，以及转化与划归的思想，属于中档题.

（I）欲证平面44。，平面BCGB1，根据面面垂直的判定定理可知在平面BCG以内一直线与平面

垂直，根据线面垂直的性质可知4遇J_BC,AD1BC,又4404。=/1,根据线面垂直的判定

定理可知BC_L平面4遇D,而BCu平面BCG/,满足定理所需条件；

（口）作4后1C1C交GC于E点,连接BE,由三垂线定理知BE1CC1,从而乙4EB为二面角A-CCr-B

的平面角，过G作C/J.4C交AC于尸点，在RtABAE中，求出二面角4一CQ-B的正切值即可.

6.答案：解：（1）连接BCi，由四边形BCG当为正方形，可得

B[C1BQ

5LABCD-43传1。1为长方体，可得ZB1B】C,而ABnBCX=

B,

■■B、C_L平面力而4Gu平面ABC1，二BXC14Q,

即异面直线与AR所成的角的大小为90。；

（2）存在实数m=V2.使得直线AC1与平面BMD1垂直.

事实上'当m=a时，CM=-，

ADD('-

■：BC=1,=V2,则RtAABORMBCM,

则4a4B=乙MBC,

•••Z.CAB+AACB=90°,•••AMBC+/.ACB=90°,即4clBM,

又CQ1BM,ACnCCr=C,二1平面4CG，贝IJBM14G，

同理可证力G1D1M,

又％Mn8M=M,.•.直线AG1平面8MD1；

(3)Vci-BjCDj=5X5X1x1X771=%,

..yymmmmm

V_=1X1Xm---------------=—

ARrn66663

设4cl与平面B1CD1的斜足为0,贝1」4。=2。6,

•••在线段4G上取一点P,要使三棱锥为-C5G与三棱锥当-CD/的体积相等,

AP1

则尸为AO的中点，即k=2=

解析：（1）连接BC]，可得当CLBC1，再由ZBCD-AiBiCiCi为长方体，可得4BJ.B1C,得8传1平

面力则BiClACi，可得异面直线BiC与AC1所成的角的大小为90。；

(2)当m=及时，CM=字利用三角形相似可得皿B=乙MBC,结合皿B+乙4cB=90°,得

ZMBC+£.ACB=90°,BMC1BM,同理可证AGJ.D1M,再由线面垂直的判定可得直线AC1，平

面BMDi；

(3)利用等体积法求解各=4=［时，三棱锥当-CDiG与三棱锥/-CAP的体积相等.

本题考查异面直线所成角的求法，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利

用等积法求多面体的体积，是中档题.

7.答案:(1)证明:取BC中点M,连接AM,

•••四边形ABC。是菱形，乙4BC=60。，

：.△ABC是等边三角形，二4M±BC,

•••AM1AD,

乂ZZi，平面ABCD,

AM,AD,44］两两垂直，

•.,四棱台4"。一公8由。1，二四边形

48cos四边形4出6。1，

二四边形是菱形，4也==1,

以A为原点，以AM,AD,44］为坐标轴建立空间直角坐标系4一xyz,如图所示,

则4(0,0,0),0(0,2,0),C(⑸，0),5(0,1,1),

若E为2c得中点，则E(旧,0,0),

AE=(V3.0,0),而=(0,1,1),CD=(-V3.1.0),函*=(0,-1,1),

设平面gE的法向量为记=(如月㈤,则情条；°o,即｛£%二。，

令Zi=1可得沅=(0,-14)，

设平面CDDiG的法向量为方=(%2,y2,z2),则E'祟2,即『8x2+力：0,

(n-DDi-0(.-y2+Z2=0

令小=1可得记=(1,V3,V3),

in-n=0—V3+V3=0)•-mLn,

••・平面平面ADiE1平面CGDiD

(2)解：设E(H〃，0),-1<m<1,则荏=(旧〃，0),

设平面Em的法向量为五=。3，为浮3)，则｛三,窘L°o,即｛f%：鹫=°

令心=巾可得元=(m,-V3,V5),

•••AM1平面沱=(1,0,0)为平面ADD1的一个法向量,

___,—＞、n7njmm

・・・cosvni，的＞==[.+6x1=

-*•\cos0\==也解得?n=±—，

V7n2+632

又CM=1,CE=1+—.

-2

解析：⑴取BC中点M,证明AM140,建立空间直角坐标系4-xyz,求出平面4。花和平面CC/i。

的法向量，证明法向量垂直得出两平面垂直；

(2)设E(次"，0),求出平面4。止的法向量4和平面4。。出的法向量河令际＜用式＞|=：计

算“从而得出CE的长.

本题考查了面面垂直的判定，考查空间向量与空间位置关系、空间角的计算，属于中档题.

8.答案：解：（1）连接AC,BD,EF,设EFnAC=。，连接

OP.

•••PCLPE,PCLPF,PEQPF=P,

：.PCJL平面PEF,PC1.EF.

•••四边形ABC。是正方形，4CJ.BD,

•••E,F分别是A8,A。的中点,

•••EF//BD,

：.EF1AC,又PCnAC=C,

•••EF，平面PAC,又PCu平面PAC,

・••EF1PC.

（2）由（1）可知EF_L平面PAC,PCl5FjSlPEF.

■:OC—~AC—3^21PC—4,.0.PO-VOC2-PC2=V2,

4

・•・sinZ-PCA==pcos乙PCA=—,

OC33

***S&PAC=£x4x4^2x—=—.PA—J16+32-2x4x4^2x~~~=

又OE=^EF=0,

..18>/2/7T16

・••^E-PAC=3X-Xv2=Y*

又SAPCE=|X2X4=4,设A到平面PCE的距离为h,

1竺4

得

解

九

4九

=-XX==-

P，

-CE393

直线PA与平面PEC所成角的正弦值为2=巨

PA3

解析：⑴连接AC,BD,EF,通过证明PC1平面尸EF得出PC1EF,根据中位线定理得出EFJLHC,

故而可得EF_L平面PAC,于是EF_LPC；

(2)根据/_PAC=匕.PCE计算A到平面PCE的距离，再计算线面角的正弦值;

本题考查了线面垂直的判定与性质，考查直线与平面所成角的计算，属于中档题.

9.答案：解：(1)证明：连结G。，在正方体4BC。一

41B1GA中,ABJ/CM

在平面QD/Ci中，；E,F,G分别CG，BC,CD的中

点，

AC^Df/GE..-.ABr//GE

(2)证明：设正方体ABCD-4B1C1D1中棱长为1,

以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，为z轴，建

立空间直角坐标系，

则Ai(O,O,l),Bi(l,O,l),D(0,l,0),E(Ll,》，F(iq,0),

G(|,l,0),

=DF=(1,-i,O),DE=(1,0)

•••A^G-DE=0>A^G-DF=0,

**•41G.LDFiA^G.LDE,

vDEC\DF=D,ArG_L平面EFD.

(3)解：8(1,0,0),C(l,l,0),

BC=(04>0),BAl=(-1,0,1),DC=(1,0,0),西=(0,—1,1),

设平面8c4的法向量有=(%,y,z),

则g•££=、=°,取彳=1,得元=(i,o,1),

设平面0力1。的法向量沅=(a/，c),

^fm-DC=a=0取b=l,得沅=(0,1,1),

(rn-DAX=-b+c=0

设二面角B-AC-。的平面角为。.由图知。为钝角，

二面角B-&C-D的余弦值为一宗

解析：(1)连结G。，推导出4BJ/GD，GD〃GE.由此能证明4BJ/GE

(2)设正方体ABC。-AiBiGDi中棱长为1,以A为原点，A8为x轴，A。为y轴，人必为z轴，建立

空间直角坐标系，利用向量法能证明&G，平面EFD

(3)求出平面BC&的法向量和平面D&C的法向量，利用向量法能求出二面角B-&C-。的余弦值.

本题考查线线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关

系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题.

10.答案：解：(1)证明：平面ACP,APu平面ACP,“酝--------------刁°

•••1AP,

M

乂4。工平面4BP,BC//2D,彳7\|

BC_L平面ABP,APu平面ACP,\"\,

BCLAP,「

又BMCBC=B,BMu平面8c尸，BCu平面8cP,

AP1平面BCP.

(2)vM.N分别为PC、AC的中点，

MN//AP,MN=^AP=1,

由(1)知，4P_L平面8CP,

MN_L平面BCP,MN为三棱锥N-BCM的高，

三棱锥C一B/VM的体积为：

V-：棱锥C-BNM=V-：楂卿-BCM=|'S^BCM'MN=^X|X2X2X|X1=|'

解析：(1)推导出BM_L4P,BCLAP,由此能证明4PJ■平面BCP.

(2)推导出MN，平面BCP,MN为三棱锥N-BCM的高，三棱锥C-BNM的体积为匕/律C-B/VM=

V三棱锥N-BCM，由此能求出结果.

本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系

等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

1L答案：(1)证明：・・・4ElA/i，A^J/AB,^AElABf

XvAAr1AB,AA±C\AE=A,AAB

又•・•u面AiACCi，AAB1AC,

(2)以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系4-xyz,

则有4(0,0,0),E(O,1,》/C0),4(0,0,l),Bi(l,0,1),

设。(x,y,z),砸=44B；且AG(0,1),

即®»z-1)=A(l,0,0),则。(4,0,1),.-.DF=(i-A,p-l),

•1•AE=(0,1,1),DF-=|-i=0,所以DF1AE；

(3)结论：存在一点。，使得平面OE尸与平面48C所成锐二面角的余弦值为答，理由如下:

由题可知面A8C的法向量祠=(0,0,1),设面。EF的法向量为元=(%,y,z),

贝晦嚅U

•••丽=(-£39=(»桔,-1)，

.(-lX+b+lZ=0即「二出？

[(--A)x+-y-z=o|/=罚2

令z=2(l-a),则元=(3,1+2尢2(1—Q).

••・平面OE尸与平面ABC所成锐二面角的余弦值为曹,

••・加保，元＞1=需V14

14

即|2(1T)|=叵

、79+(l+2A)2+4(l-A)2—玄，

解得；1=;或；1=;(舍),

所以当。为中点时满足要求.

解析：(1)根据线面垂直的性质定理证明481面AiACCr即可.

(2)建立空间坐标系，求出直线对应的向量，利用向量垂直的关系进行证明.

(3)求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可.

本题考查的知识点是空间直线的垂直的判断以及空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角

问题转化为向量夹角问题，是解答的关键.考查学生的运算和推理能力.

12.答案：证明：（l）；E,F分别为AB,2C的中点，S尽

•••EF//AC,/iVK

又ACu平面SAC,EF<t平面SAC,/I\X.

EF//平面SAC；k

（2）vBC1平面SAC,AHu平面SAC.\\[!"

BC1AH,/

・；S4=AC,点H分别为SC的中点，

••MHISC,

又；BCnSC=C,

■.AH_L平面SBC.

解析：（1）由已知可证EF〃/IC,利用线面平行的判定定理即可证明EF〃平面SAC；

（2）由线面垂直的性质可证BC14”，由等腰三角形的性质可证AH_LSC,利用线面垂直的判定定理

即可证明AH1平面SBC.

本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质和判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，

属于中档题.

13.答案：（1）证明：取PA中点M连接QN,BN,

vQ,N是PD,PA的中点，QN〃4D,

且QN="。，

vPA1PD,/.PAD=60°,PA=^AD,

2

：.BC=-AD,

2

:.QN=BC,5LAD//BC,•••QN//BC,

••.BCQN为平行四边形，［BN〃CQ,

又BNu平面PAB,且CQ仁平面PAB,

•••CQ〃平面PAB;

(2)解：取A。中点M,连接BM,取AM的中点O,

连接BO,PO,设24=2,

由(1)得PA=AM=PM=2,

•••△4PM为等边三角形，:POLAM,

同理，BO1AM,

•••平面PAD，平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,

POu平面PAD,PO1平面ABCD,

以O为坐标原点，分别以。8,OD,。尸所在直线为x轴，y轴，z轴,

建立空间直角坐标系，

则4(0,-1,0),C(V3,2,0),P(0,0,V3).Q(0,|,日)，

前=(低3,0)，而=(0,|,当)，

设平面ACQ的法向量沅=(%y,z),

m-AC=y/3x+3y=0

则｛一一►5V3'

m-AQ=-y+y=0

取丫=_b，得窃=(3,-6,5),

平面24。的法向量针二(1。0),

由图得二面角P-/Q-。的平面角为钝角，

・•・二面角P-AQ-C的余弦值为一双亘.

37

解析：本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

(1)取PA中点N,连接QMBN,推导出BCQN为平行四边形，仄而BN//CQ,由此能证明CQ〃平

面PAB.

(2)取AO中点M,连接8M,取AM的中点O,连接B。，PO,推导出P。LAM,BO1AM,从而PO1

平面ABCZ),以。为坐标原点，分别以。8,OD,OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角

坐标系，利用向量法求二面角P-4Q-C的余弦值.

14.答案：（1）证明：连接8。，交AC于。则。为BO中点，连接0P,

•••P为期的中点，•••OP//BD1,

...opu平面PAC,BD、C,平面PAC,BO】//平面PAC；

(2)证明：长方体aBCD-AiBiGDi中，AB=AD=1,底面ABCQ是正方形，则4clBD,

又。。i1面ABCD,ACcffiABCD,则叫1AC.

•••BDu平面BOD[，D]Du平面BCQ,BDnDrD=D,

：.AC1面BOD】，vACu平面PAC,

二平面PACJ■平面BOD1；

(3)解：连接PBi，由(2)知，平面P4C_L平面30%,

•••4B】PO即为PBi与平面PAC的夹角，

在长方体4BCD中，

vAB=AD=1,AAt=2,

在AOPBi中，COS4B1P0=（丫3尸+（、）2,工）2=0.

2xV3X—

••・直线PBi与平面PAC的夹角为最

解析：本题考查线面平行与面面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了线面角的求法，

是中档题.

（1）连接BD,交AC于O,则。为8。中点，连接OP,可得OP〃BDi，再由线面平行的判定可得BDJ/

平面PAC；

⑵由已知长方体可得力C_L8D,且DD11面ABC。,则DD1_LAC.由线面垂直的判定可得AC1面BDD「

进一步得到平面P4C，平面BDDi；

(3)连接PBi，由(2)知，平面P4C_1_平面8。。1，则48记。即为PS】与平面PAC的夹角，然后求解三

角形得答案.

15.答案：解：(1)：延长AQ,过久作。/14。于H,连接84,

因为平面4p4DDiJ■平面ABCD,平面AiADOin平面4BC0=AD,%Hu平面

所以么“1平面ABCD,即2”为8么在平面ABCZ)内的射影，

所以4D1BH为直线BO1与平面A8CO所成的角，

因为Di"=2sin600=V3,DH=2cos60。—1,

BH=>JAB2+AH2=V13.D1B=V3+13=4,

所以sin/OiB"=y,

(2)取AD中点O,

•••四棱柱平面SBC。-4道也1。1的各棱长均为2,

Z-A^AD=60°>•••A101AD.

又•.•平面4遇0。11平面A8C£>,平面人4叫n平面4BCD=4D,4。u平面”叫,

Ar01平面ABCD.

故如图建立空间直角坐标系。-xyz,

则0(0,0,0),4(1,0,0),Di(-2,0,V5),

C(—1,1>0),G(—2,1,V3)(Bi(0,1,V3)>

0),E(—1,1,泉，

设M(x,0,0).则砥=(一％,1,遮)，西=(―3,—1,遮)，丽=(一|,0,日)，

要使得MB「平面BE八则|骅•蔡ROTI=。0，5—+三1+=3(=)0，方程组无解.

在线段4,上不存在一点M,使得MB】平面BED.

解析：本题考查了空间线面角的求解，动点存在性问题，属于中档题.

(1)延长AO,过。［作。避1AD于H,连接B”，可得4。道开为直线8历与平面A8CD所成的角,

(2)取A。中点O,即可证明为。1平面4BCD.故如图建立空间直角坐标系0-xyz.要使得MB】JL平面

-BD：=0(3x-1+3=0

BED1,则[需"_0，^x+-=0，方程组无解.

即在线段上不存在一点M,使得MB】J_平面BED1

16.答案：解：(1)证明：・••点E是441的中点，••.AE=1,

•••AD=1,:.在Rt△EAD中，DE=V2,

由题可知EC=V3.DC=1,

则+DE2=EC2t...DE1CD,

•••直四棱柱4BC0-4B1GO1中，CD_L平面4皿%,二CD1EDr,

ED=V2>ED1=V2.DD[=2,D1E1ED,

,:DrE1ED,

CDClED=D,DrEJL平面ECD,

,：%Eu平面/EC,.♦.平面DiEC1平面CDE.

(2)解：由(1)可知D4、DC、。。1两两互相垂直,

以点。为坐标原点，以。A、DC、DDi所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

则0式0,0,2),E(l,0，1)，C(0,l,0),当(1,1,2),

~ED[=(-1,0,1),EC=(-1,1--1)>函=(0,1，1)，

设平面[EC的法向量为元=(x,y,z),

n•ED1=—x+z=0人，e[一〜八

――>,令x=l,则九=(1,2,1)，

{n-EC="%4-y—z=0

设平面当EC的法向量记=(21，-1),

则|cos(记，元＞|=黯=]

•••二面角D1-EC-Bl为锐角，.•.二面角Di—EC—/的大小为品

解析：(1)推导出DE_LCD,CD1EDr,DrE1ED,DrE1ED,从而QE1平面ECQ,由此能证明

平面AEC_L平面CDE.

(2)以点力为坐标原点，以D4、DC、所在直线分别为x,»z轴，建立空间直角坐标系，利用

向量法能求出二面角Di-EC—/的大小.

本题考查面面垂直的证明，考查二面角的大小的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系

等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

17.答案:解：(I)证明：•••AB1平面PAD,：.AB1

DP,

vDP=2V3,AP=2,/.PAD=60°,

由=PA,可得sin/PD力=

s\n/.PADs\nz.PDA2

乙PDA=30°,

•••AAPD=90°,DPA.AP,

vABC\AP=A,DP1平面PAB,

DPu平面PC£),.•.平面P4B1平面PCD；

(n)以A为原点，在平面APO中过A作A。的垂线为x轴，AO为)，轴，A8为z轴,

建立空间直角坐标系，

则力(0,0,0),C(0,4,3),D(0,4，0),P(⑸，0),B(0,0,1),

连结AC,与BD交于点、N,连结用N,

vP4〃平面MBD,MN为平面PAC与平面MBD的交线,

NC

PA//MN,=NA9

在四边形45co中，•••/B//CD,•••△A8N〜ZkCDN,

NCCDMC..1八八

—=—=o3,—=3o,PnM=-PC,

NAABMP4

•••”(23》，

BP=(⑸，一1)，BD=(0,4,-1)＞的“电,一力

设平面MBD的法向量元=(x,y,z)，

n-BD=4y—z=0

则,取y=l,得五=(一更,1,4),

元丽=1岳+2*03

设直线BP与平面MBD所成角为。,

则S讥。=繇=誓

|FP|,|?l|65

・•・直线BP与平面”8。所成角的正弦值为蜜.

解析：本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系，考查运算求解能力，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.

(I)推导出AB_LDP,DPLAP,从而DPI平面PA8,由此能证明平面R4B_L平面PCD

(口)以A为原点，在平面AP。中过4作A力的垂线为x轴，AO为y轴，AB为z轴，建立空间直角

坐标系，利用向量法能求出直线8尸与平面用8。所成角的正弦值.

18.答案：(I)证明：•••底面ABC。为菱形，418c=60,

.•.△ABC是等边三角形，又E是8c的中点,

AE1BC,AE1AD,

•:PA1平面ABCD,PA1AE,又PAn40=4,

AE_L平面PAD,

•••AE1PD.

(D)解：AB//1,

证明如下:

,:AB"CD,AB仁平面ACD,CDu平面ACD,

AB//平面尸8,又ABu平面PAB,平面PABC平面PCD=/,

AAB//1.

(DI)解：以A为原点，以AE,AD,AP为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示:

则4(0,0,0),E(V3,0,0),C(⑸，0),P(0,0,2),.•.喈］,1),

AF=(y.pl)>AE=(V3,o,0),AC=(V3,h0),

设平面AE/7的法向量为记=平面ACT7的法向量为元=(%2，丫2以2)，

贝Ijj沆•竺=0,伊•"=0,即+/1+Z1=0,+5%+Z2=0,

m=

,4E=0m-AC=0、V3%1=0V3x24-y20

令Zi=1可得记=(0,-2,1),