新高考高中数学核心知识点全透视 空间向量及空间位置关系（训练卷解析版）

新高考高中数学核心知识点全透视

专题1L2空间向量及空间位置关系（专题训练卷）

一、单选题

1.（2021.全国高二课时练习）若平面a,4的法向量分别为2=（—1,2,4）,石=（x,-1,-2）,且a工少,

则x的值为（）

A.10B.-10

C—D——

J2U-2

【答案】B

【分析】

由aL%可得它们的法向量也互相垂直，从而可求出x的值

【详解】

解：因为a_L0,所以它们的法向量也互相垂直，

所以a-B=（一I,2,4）-（x,—I,—2）=0,

解得x=-10.

故选：B

2.（2021•全国）平面a的法向量G=（X,1,-2）,平面尸的法向量工=,己知a〃£,则x+y等于（）

A."B.

c3D

4T--1

【答案】A

【分析】

根据两个平面平行得出其法向量平行，根据向量共线定理进行计算即可.

【详解】

由题意得，因为。〃£，所以分=2。C,

2=-4

x=-2

即,1=解得卜=-；

4

x=4

15

所以1+y=4+

~4

故选:A

3.(陕西高考真题)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A8G,且C4=CG=2CB,则直线8G与

直线4耳夹角的余弦值为()

Z串

B少

L

X

A.立B.立C•亭D.|

53

【答案】A

【分析】

设04=2,则C(0,0,0),A(2,0,0),8(0,0,1),Ci(0,2,0),Bi(0,2,l),可得函=(-2,2,1),西=(0,2,-1),

由向量的夹角公式得cos〈福，：式)_厂4?「1

J4+4+1xJO+4+l加5

4.(2021•全国高二课时练习)如图，在三棱柱A3C4BG中，C4=CG=2CB,则直线BG与直线AS所成

角的余弦值为()

B.叵

A-T

3

c.平D.3

5

【答案】A

【分析】

根据题意不妨设CA=CG=2CB=2,写出福=(-2,2,l),QB=(O,-2,l),根据异面直线夹角的向量公式代入计

算即可.

【详解】

不妨设CA=CCi=2CB=2,所以3（0,0,1）,G（0,2,0）,A（2,0,0）,5（0,2,1）,

则福=（一2,2,1）,甲=（0,—2,1）,

四.祠|-4+1]=6

所以cos（AB|CS

阿.雨3x石5

所以直线BG与直线ABi所成角的余弦值为。.

故选:A

5.（2020•江苏省祁江中学高二期中）已知£为平面a的法向量，A,B是直线〃上的两点，则£・丽=0是

直线8〃a的（）条件

A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分又不必要

【答案】A

【解析】

因为向量a是平面.a的法向量，则£_10

若2.^=0，则AM/a，则向量而所在直线人平行于平面a或在平面。内，即充分性不成立,

若向量通所在直线平行于平面a或在平面a内，则通//0,

•••向量£是平面a的法向量，

a_La，

则即£.荏=o，即必要性成立,

则a.4月=0是向量而所在直线人平行于平面a的必要条件，

故选：A.

6.（2020•全国高二课时练习）对于空间任意一点。和不共线的三点A，B,C,有如下关系:

6OP^OA+2OB+3OC贝U（）

A.四点。，A，B,。必共面B.四点P,A，B,。必共面

C.四点。，P,B,C必共面D.五点O,P,A，B,C必共面

【答案】B

【解析】

因为60户=0印+20豆+30C，所以加一砺=2（万一方）+3（玄一丽），

即丽=2方+3斤,

根据共面向量基本定理，可得而，而，PQ共面，

所以，P,A.B,。四点共面.

故选：B.

7.（2020•广东揭阳市•高二期中）如图所示，E、尸分别是四面体。45c的边048c的中点，。是线段DF

的一个三等分点(靠近E点)，设厉=色丽=瓦OC=c,则而=()

二

11-1-111-111-一

A.—a+-h+—cB.-a+—b+-cC.-a+—b+—cDK.—1a-+—b+—1c

633363366636

【答案】c

【分析】

连接。尸,先求出。。=：。£+§。/，再进一步化简即得解.

【详解】

如图所示，连接OF.

,-OD=OF+FD^OF=^(OB+OC),

所以FD=(FE,FE=OE-OF，OE=^OA,

_______2___

・・・OD=OF+FD=OF+-FE

3

=OF+-(OE-OF]=-OE+-OF

3、,33

=-x-OA+-x-(OB+OC)

3232

1—.i—.1—.

=-OA^-OB+-OC

366

故选：C.

8.（2021.全国高二课时练习）如图，ABC。一EFG，是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足

Q=3而+1通+2而，则P到AB的距离为（）

423

【答案】C

【分析】

以A为坐标原点，A8,AD,4E所在直线分别为X,），，z轴建立空间直角坐标系，由题意，计算出而和正

的坐标,然后根据向量法求点到直线的距离公式4=即可求解.

【详解】

解：如图，以A为坐标原点，AB,AD,AE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

_____UUIUuuu

则AB=（1,0,0）,AD=（0,1,0）,AE=（0,0,1）,

—3—I—2—

因为=+上AO+-AE,

423

所以点P到A8的距离d=

故选：C.

二、多选题

9.（2021•全国高二单元测试）给出下列命题，其中为假命题的是（）

A.已知万为平面a的一个法向量，成为直线/的一个方向向量，若n_L历，则〃/a

B.已知力为平面a的一个法向量，所为直线/的一个方向向量，若但，疣）=等，贝V与a所成角为?

C.若三个向量a,b，C两两共面，则向量a,b，C共面

D.已知空间的三个向量1,h,c,则对于空间的任意一个向量万，总存在实数x，y，z使得力=必+防+z3

【答案】ACD

【分析】

根据直线与平面的位置关系、线面角的定义、向量共面的定理，逐一分析选项，即可得答案.

【详解】

对于A：由题意可得///a或/ua,故A错误；

对于B：

由图象可得，ZCAD=—,则ND4B=工，

33

所以NAOB=J,根据线面角的定义可得：/与a所成角为故B正确

对于c：若三个向量a,5，两两共面，但三个向量不一定共面，故c错误；

对于D：当空间的三个向量a,b,c不共面时，对于空间的任意一个向量万，总存在实数x,y,z使得

p=xa+yh+zc,故D错误.

故选：ACD

10.（2021.全国高二课时练习）下列命题中不正确的是（）.

A.若A、B、C、。是空间任意四点，则有通+而+而+丽=0

B.若|“|=历|,则人B的长度相等而方向相同或相反

C.|£|-日|=|£+向是£、/共线的充分条件

LILIlUUumimilt

D.对空间任意一点P与不共线的三点A、8、C,OP=xOA+yOB+zOC（"zwR）,则P、A、B、C四

点共面

【答案】ABD

【分析】

本题考察向量的概念与性质，需按个选项分析，A选项考察向量加法的意义，B选项考察向量的模的性质，

C选项可以两边平方计算，D选项考察四点共面的性质.

【详解】

LlimuuuUUUuuuL

A选项，AB+8C+C£>+ZM=0而不是0，故A错，

B选项，|£|=|W仅表示［与B的模相等，与方向无关，故B错,

C选项，|£|-|年|£+行|=＞同2一2同网+|5|2=H+2a.5+52,

即一2kH方卜2ab=2同.同.cos（a,6）,

即cos（&,»=-1,£与办方向相反,故C对，

D选项，空间任意一个向量而都可以用不共面的三个向量丽,0B、丽表示，

二尸、A、8、C四点不一定共面，故D错，

故选ABD.

11.（2020・大连市第二十三中学高二月考）以下说法正确的是（）

A.在四面体P-A8C中，若万.配=0，PCAB=0,则方.衣=0

B.已知空间的三个向量6,瓦c,则对于空间的任意一个向量P总存在实数X,y,z使得力=xa+yb+zc.

c.设M，5,可是空间中的一组基底，则和+'5+己"耳也是空间的一组基底

D.若筋5＜0，贝1心石）是钝角

【答案】AC

【分析】

根据空间向量数量积及运算律判断A,根据空间向量基本定理判断B、C,根据向量夹角与数量积的定义判

断D；

【详解】

解：对于A：PABC=0,PCAB=0,则丽•瓦+斤・瓦=0，

所以班反1+定.（而+画=0,所以西•觉+卮・恁+京・丽=0,所以西•萧+卮・/-无•前=0,

所以（西-1）•沅+无•蔗=0,即仄反1+无.而=0,即衣.丽+无.前=0,即近•（丽+1）=0,

所以前•丽=0，故A正确；

对于B：由空间向量基本定理，可知，只有当三个向量2,51不共面的时候，由它们做基底，才有后面的结

论，故B错误；

对于C：由｛7瓦口是空间中的一组基底，则向量反屋不共面，可得向量1+瓦5+需1+1也不共面，所以

m+5石+以万+口也是空间中的一组基底，故C正确；

对于。：若小5＜0,则＜1石＞为钝角或"，故。错误.

故选：AC

12.（2021.汕头市澄海中学高二月考）如图，在正方体ABCO-AdGR中，的=3,点M,N分别在棱AB

和B用上运动（不含端点），若RMLMN,下列命题正确的是（）

B.MV_L平面RMC

3

C.线段BN长度的最大值为:D.三棱锥酬-ARM体积不变

4

【答案】ACD

【分析】

以点。为原点，射线D4,DC,分别为x,y,z轴建立坐标系，设出动点M,N的坐标，利用空间向量

运算判断选项A,B,C,利用等体积法的思想判断选项D即可得解.

【详解】

在正方体A88-4BG4中，以点。为原点，射线D4,DC,力功分别为x,y,z轴非负半轴建立空间直

角坐标系，如图:

4(30,3),0i(0,0,3),C(0,3,0),8(3,3,0),设M(3,y,0),N(3,3,z),y,ze(0,3),

丽=(3,y,-3),丽=(0,3-y,z),而

贝ij丽•丽=y(3-y)-3z=0=z=gy(3-y),

对于A选项：舸=(0,%-3),则碇•斯=y(3-y)-3z=0=啊_L砺，MN±AtM,A正确；

对于B选项：GW'=(3,y-3,0),CM-MN=(y-3)(3-y)=-(3-y)2<0,即CM与历N不垂直，从而MN与

平面£>iMC不垂直，B不正确；

_.___13933

对于C选项：丽=(0,0,z),则线段8N长度|BN|=z=；［—(y—:;)2+当且仅当),二时取c正

32442

确；

19

对于D选项：不论点M如何移动，点M到平面AQQ的距离均为3,而％.的附=%-v>£=--3-5^q=|,

三棱锥G-AAM体积为定值，即D正确.

故选：ACD

三、填空题

13.(2021•全国高二课时练习)己知£+分=修,近,2月)，Z-B=(0,血,0),则£=,b=,ab^

【答案】(1,3,6)(1,0,73)4

【分析】

根据条件有(a+b)+(a-b)=2a,(a+b)-(a-6)=劝可分别求出向量ZN的坐标，然后由空间向量的数量积

公式可得其数量积.

【详解】

由£+后=9,灰,2石)，力=(0,&,0)

又1+/)+(：」)=2。=(2,2a,26)，所以:

1+@一1」)=2/=(2,0,26)，所以力=(1,0,6)

所以H1X1+夜xO+gx6=4

故答案为：(1,72,73)；(1,0,73)；4

14.(2021•广西玉林市•高二期中(理))已知A(-l,-2,6),3(1,2,-6),。为坐标原点，则向量丽与丽的

夹角为.

【答案】隹

【分析】

根据空间向量的坐标运算，分别求得|砺卜"T,|丽卜41,且方•砺=T1，结合向量的夹角公式，即

可求解.

【详解】

由题意，点A(-l,-2,6),8。,2,-6),可得次=(—1,—2,6),06=(1,2,-6),

则阿=J(-1)2+(-2)2+6、=屈，网=两'，且砺・丽=-41，

a.b

由向量的夹角公式得cos。=百而=-l,

又由6>e[0,]所以。=)，即向量丽与0元的夹角是打.

故答案为：兀

15.(2021♦全国高二课时练习)在A4BC中，A(l,-2,-1),8(0,—3,1),C(2,-2,1).若向量而与

平面ABC垂直，且同=万，则万的坐标为.

【答案】(一2,4,1)或(2,-4,-1)

【分析】

首先设向量A=(x,y,z),根据线面垂直关系，以及向量的模，列式求向量元的坐标

【详解】

据题意,得A方=(-1>—1>2),AC=(1>0，2).

设”=(x,y,z),与平面ABC垂直，

_rL_Z

\rn-AB=0-x-y+2z=0=2

一即〈可得<

[n-AC=0[x+2z=0

.Z-4

•・,同:42A,yjx2+y2+z2=V21，

解得y=4或y=-4.

当y=4时，x=-2,z=l；当y=T时，x=2,z=-l.

；•万的坐标为(一2,4,1)或(2,—4,—1).

故答案为：(一2,4,1)或(2,-4,-1)

16.(四川高考真题)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线

段PQ上，E、F分另I」为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为部，则百篇的最大值为一.

M

【答案】j2

【分析】

建立坐标系如图所示.设越=1,则”=（1，5,0）出夕0,0）.设〃（0,y1）（04”1）,则加=（-5，%1）,

由于异面直线所成角的范围为（0,五，

|4+ly

2(1-y)[2(1-也2_]8y+1

所以cos9=._L--------=-

万.J49+5.aV+54y2+5

8.V+1_16>1

令8y+l=r/W9,则4丁+5一一81-5，当f=l时取等号.

t

..\~2+^

2(1-y)122,八

所以COS0=]■­,；=-_\<-=x-==-,当y=0

；4/+5V5V55

°'］、'.

//»'

/FC

.V

四、解答题

17.（2021•全国高二课时练习）如图,在三棱柱ABC—AEC'中，已知殖=£,AB=b,/="，点M，N

分别是3C',8C'的中点，试用基底表示向量丽7，丽.

A

A

【答案】AM=-{a+b+c\,=a+-b+-c.

2V'22

【分析】

连接A'N,根据空间向量线性运算法则计算可得;

【详解】

解：连接A'N

所以丽7=而+；反^=^5+；网+交）

=AB+-BC+-CC

22

=丽+（西-砌+；宿

1min1uun1ULU

=-AB+-AC+-AAf

222

1-1r1-]/一r八

=-4+—力+—C=-4+0+C

2222tf

丽=前+祈=/+3（祈+苑）=府+：（而+硝=£+/+共

18.（2021•黑龙江大庆市•铁人中学高二开学考试）在平行六面体ABCD-ABCR中,

AB=4,AD=3,AA=5,ZBAD=90°,Na44'=NZM4'=6()。，点尸为8C'与B'C的交点，点E在线段AC'上,

（2）设EA=xA%+），Ab+zAA'，求x，，z的值•

【答案】（1）AC=y/S5；（2）x=—,y=z=――.

3o

【分析】

（1）AC=AB+AD+AA,＜利用数量积的运算性质即可得解；

（2）EF=EC+CF=\AC-\BC,再利用空间向量基本定理即可得出答案.

32

【详解】

接：（1）因为苑=通+而+词,

AC2=AB2+XD2+AA,2+2(Am4D+ABA8^-ADX47)=

困］=病，即AC'=府;

(2)EF=EC+CF=^AC!--BC!=^AB+Ab+AA)-^AD+AA)

1―.1—.1—.

=-AB——AD——A4'

366

11

Z=-----.

6

19.（2021•全国高二课时练习）正方体ABC。-4BCQ1中，若G是AQ的中点，点H在平面ABC。上,

且GH//BD\,试判断点H的位置.

【答案】，为线段A8的中点

【分析】

以。为原点，族反，函的方向分别为X轴，y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长

为1,H的坐标为（"?，〃，0）,计算出丽和西的坐标，乂丽〃西•，根据向量共线的坐标运算公式求出

m,"的值即可判断点H的位置.

【详解】

解:如图所示，以。为原点，万瓦反，函的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系,

8(1,1,0),Di(0,0,D.

因为6是4。的中点，所以点G的坐标为（5,0巧〉

因为点〃在平面A8CQ上，设点”的坐标为（〃，，n,0）,

因为^^=（用，〃，⑴一=（"一5'〃'一耳）‘西=（o,o,i）一（11,0）=（—1,—11），又GH〃B瓦,

11

m--n--1

所以___2=—=2＞解得m=1，〃=5，

-1T丁

所以点H的坐标为卜1,0）,所以H为线段AB的中点，

即当，为线段48的中点时，GH//BD\.

20.（2020•全国高二课时练习）如图所示，在长方体ABCO-A/CA中，AD=\，AB=AAl=2,N、

M分别是43、G。的中点•

(1)求证：NM//平面AAOA；

(2)求证：NM，平面4gM.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

证明：(1)以。为原点，on为x轴，。。为＞轴，0A为z轴，建立空间直角坐标系，

•.•在长方体ABCD-ABG。中，AD=l,AB=AAt=2,N、M分别是4B、G。的中点，

l,1),N(l,1,0),MN=(1,0,-1),

•.•平面44。。的法向量五=(0,1,0),

••MN*ri=0'

•.•仞7仁平面44。2，；.削//平面44。〃.

(2)A(l,0,2),B,(l,2,2),隔=(o,2,0),丽=(一1,1,-1),

，丽硒=0,丽丽=0，

:.MN工MN1A、M，

•：AB〕cAM=A,,

.•.NM_L平面.

21.(2021•全国高二课时练习)四棱锥尸一A8CZ)中，底面ABC力为矩形，R4_L平面ABC。，AO=2AB=4,

且与底面ABCD所成的角为45。.求点B到直线PD的距离.

【答案】2上

【分析】

由题意，根据线面角的定义有/PDA=45。，可得%=AO=4,以A为坐标原点，AB.AD,AP所在直线分

别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，假设存在点E(x,y,z),