高中数学必修五：-不等式全章复习总结与巩固

高中数学必修四：《不等式》全章复习与巩固

【学习目标】

1.能正确的记忆和灵活运用不等式的性质；

2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型和二元一次不等式组，提高数学建模能力；

3.掌握一元二次方程，二次函数，一元二次不等式，这三个“二次”的联系，会解一元二次不等式；

4.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一

些简单的二元线性规划问题，并能加以解决：

5.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，注意基本不等式适用的条件.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一：不等式的主要性质

(1)对称性：a>b<^>b<a

(2)传递性：a>b,b>c=>a>c

(3)加法法则：a>b=>a+c>h+c；

a>b,c>d=>a+c>b+d

(4)乘法法则：a>b,c>0=>ac>be；

a>b,c<Q^>ac<bc,

a>b>0,c>d>0=>ac>bd

(5)乘方法则：a>b>0=>a">b"TV*Jin>1)

(6)开方法则：(n^N*且n>l)

要点诠释：不等式性质中要注意等价双向推出和单向推出关系的不同.

要点二：三个“二次”的关系

一元二次不等式ox?+bx+c>0或ax'?+bx+c<0(a>0)的解集:

设相应的一元二次方程以2+bx+c=0(a>0)的两根为和马且玉《/，△=〃—4ac,则不等

式的解的各种情况如下表：

A>0A=0A<0

二次函数廿

y=ax2+bx+c

(a>0)的图象j2

一元二次方程

有两相异实根有两相等实根

ax2+bx+c=0b无实根

%2((<x2)X="一丁

(a>0的根

ax2+/?x+c>0b

口尤〈七或x>％}<xx^---R

3>o)的解集2a

ax2+/?x+c<0

<x<x2]00

(a>0)的解集

解一元二次不等式的步骤

(1)先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：A=ax2+bx+c(a>0)

(2)计算判别式A,分析不等式的解的情况：

①A>0时，求根玉,々(注意灵活运用因式分解和配方法)；

②△=()时，求根王=工2=---；

2a

③A<0时，方程无解

(3)写出解集.

要点诠释：若。<0,可以转化为。〉0的情形解决.

要点三：线性规划

用二元一次不等式(组)表示平面区域

二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区

域.(虚线表示区域不包括边界直线)

二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax+By+C=O同一侧的所有点（X,y）,把它的坐标（%》）代入人*+8丫+<2,所得到实数的

符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取-特殊点（xo,yo），从Axo+Byo+C的正负即可判断Ax+By+C>

0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C加时，常把原点作为此特殊点）

线性规划的有关概念：

①线性约束条件：

如果两个变量x、y满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量x、y的约束条件，这组约束条件

都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件.

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=ax+by（a,b《R）是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性

目标函数.

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.

④可行解、可行域和最优解：

在线性规划问题中，满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.

要点诠释：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤

（1）设变量，建立线性约束条件及线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）求出线性目标函数在可行域内的最值（即最优解）；

（4）作答.

要点四：基本不等式

两个重要不等式

①a,0eR,a2+b2>lab（当且仅当a=8时取等号"=”）

②基本不等式：如果a/是正数，那么竺茄（当且仅当a=b时取等号“="）.

2

算术平均数和几何平均数

算术平均数：幺也称为a,b的算术平均数；

2

几何平均数：必称为a,b的几何平均数.

因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

基本不等式的应用

x,ye（0,+8）,且个=P（定值），那么当x=y时，x+y有最小值2万；

x,ye（0,+co）,且x+y=S（定值），那么当x=y时，肛有最大值」SL

4

要点诠释：在用基本不等式求函数的最值时，应具备的三个条件：

①一正：函数的解析式中，各项均为正数；

②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值：

③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值

【典型例题】

类型一：不等式的性质

例1.若a<人<0,则下列不等关系中不能成立的是()

1111.।.,.9I?

A.—>—B.------>—C.|ci>b|D.ci~>b~

aba-ba

【思路点拨】利用不等式的性质，逐项进行判断.

［解析】6/</?<0,—a>—h>0.

1111.—

由---<---，—>—,••A项成乂.

-a-bab

由a<。v0,|a|C项成立.

由一a>—h>0,(-a)~>(-/?)",Q?>D项成立.

a—b<0,a<a—h<0f—a>h—a>0,

1111.e-

----<-----------,—>-------,••B项不成乂・

-a-(a-b)aa-b

故应选B

【总结升华】运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些

错误.

举一反三：

【变式】已知则，>!成立的一个充要条件是()

mn

A.m>0>nB.n>m>0C.mn(m-n)<0D.m<<0

【答案】C

例2.如果30vxv42,16<y<24,则

x

(l)x—2y的取值范围是；(2)土的取值范围是.

y

【思路点拨】利用不等式性质运算时，注意不等式成立的条件.

521

【答案】(1)(-18,10)；(2)(^y).

【解析】(1)16<y<24,.\-48<—2y<—32,又30<x<42,

利用不等式的性质a>b,c>d=>a+c>h+d可得:

-18<x-2y<10.

(2)16<y<24,—<一<—,30<x<42，

24yl6

利用不等式的性质a>b>0,c>d>0=>ac>bd可得：

5x21

—<—<一.

4y8

【总结升华】注意同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化的正确应用.

举一反三：

【变式】如果30<x<42,16<y<24,则

(1)x+y的取值范围是；(2)肛的取值范围是

【答案】(1)(46,66)；(2)(480,1008)

例3.已知函数/(x)=ax2_c,满足-4</(1)〈一，-1W/⑵<5,那么/(3)的取值范围

是.

【思路点拨】将/(3)用/(I)及/(2)表示出来，再利用不等式性质求得正确的范围.

【解析】

解法一：方程思想(换元)：

«=1[/(2)-/(1)]

a—c-f(l)

由♦八,求得

4«-c=/(2)41

c=--/(D+-/(2)

■5-5"、/20久840

又一《——/(I)<——,——<-/(2)<—

333333

CQ

-1<-|/(1)+|/(2)<20,

即一1W/⑶<20.

解法二：待定系数法

设f(3)=9a-c=mf(1)+nf(2)=m(a-c)+n(4a-c)

5

m=—一

m+4/2=93(下略)

n<=><

-m-n--1o

n——

3

解法三：数形结合(线性规划)

-4</(I)<-1J-4<«-c<-1

<-l</(2)<51-l<4«-c<5

所确定区域如图：

设z=9。-c,将边界点(0,1)(3,7)代入即求出.

【总结升华】利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题

要注意：“同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多

次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知

范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途

径.

举一反三：

【变式】已知一lWa+Z?W5,-l<a-b<3,求3a—2b的取值范围.

【答案】[-3,10]

类型二：不等式的求解

例4.设4={犬|炉-以+3<0},B={x|x2-2x+a-8<0},且求”的取值范围.

【解析】令/(x)=Y—2x+a-8由A=及二次函数图象的性质可得

/(1)<0l-2+a-840

,解之得一9<。45.

/(3)<09—6+a—840

因此”的取值范围是-94a45.

【总结升华】正确求解不等式，弄清楚两个集合对应二次函数图象之间的关系是解决本题的关键.

举一反三：

【变式1】若不等式(x+a)(x+l)20的解集为Goo,」]U[2,+oo)，求实数a的值

【答案】由题设知x=2为方程f(x)=O的根，.•.f(2)=0=a=-2

.•.所求实数a=-2

【变式2】不等式ax2+bx+12>0的解集为｛xH<x<2｝,则a=,b=.

【答案】由不等式的解集为｛xH<x<2｝知a<0,且方程ax2+bx+12=0的两根为-1,2.

——=—1+2=1

由根与系数关系得《a

11=(—1)x2=-2

a

解得a=-6,b=6.

【变式3］已知关于x的方程(k-l)x2+(k+l)x+k+l=0有两个相异实根，求实数k的取值范围

【答案】Are(-1,1)

例5.若关于元的不等式(相一1)/一(2根+1比+加一220的解集为一切实数R,求加的取值范围.

【解析】当机=1时，原不等式为：—3x—120,不符合题意.

当机<1时，原不等式为一元二次不等式，显然不符合题意

当机〉1时，只需△<(),

f(2/«+l)2-4(m-l)(/«-2)<0屹俎〃

即<，解得me0,

m>1

综上，阳的取值范围为相£0.

【总结升华】①在含参不等式问题中，二次不等式恒成立的充要条件的理论依据:

ax2+bx+c>0对任何xGR恒成立<=>a>0且A=b2-4ac<0；

ax2+bx+c<0对任何xeR恒成立<=>a<0且A=b2-4ac<0.

②与不等式恒成立相互依存，相互支撑与相互转化的最值命题：

NVf(x)恒成立Vf(x)的最小值

卜i>f(x)恒成立=p>f(x)的最大值

举一反三：

【变式】若对于任意XER恒有3x2+2x+2>m(x2+x+l)(>£4),求111的值

【答案】对任意x£R有3x2+2x+2>m(x2+x+1)恒成立

O对任意XER恒(3-m)x2+(2-m)x+(2-m)>0成立

3-m>0

・.△=(2-m)2-4(3-m)(2-m)<0

m<3

3-100m<2

m<2或m>—

I3

又因meN",/.m=1

类型三：二元一次方程（组）与平面区域

例6.设集合A=｛（x,y）|x,y,l—x—y是三角形的三边长｝,则A所表示的平面区域（不含边界的阴影部

分）是（）

【解析】利用三角形的三边关系得:

1

+y7

2-

+y>x-y1

-y<x-y<-

-x-2，表示的平面区域为A选项.

X<y1

<-

2，

【总结升华】注意本例中三角形本身的性质.

举一反三:

2）'4所表示的平面区域为（）

【变式1】不等式组《

2x-3y<6

【答案】选B

x-y〉O

x+y>0

【变式2】不等式组〈“在孙平面上的解的集合为（)

0<x<l

0<y<1

A.四边形内部B.三角形内部CL点D.空集

【答案】不等式组所表示的平面区域图形如下,

，交集为三角形内部，选B.

类型四：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解

例7.（2015陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每

天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可

获得最大利润为（）

A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元

甲乙原料限额

A（吨）3212

B（吨）128

【思路点拨】设每天生产甲乙两种产品分别为x,y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得

到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值。

【答案】D

【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，则利润z=3x+4y

3x+2y<12

由题意可列《x+2y<8，其表示如图阴影部分区域:

x>0

y>0

当直线3x+4y—z=0过点A(2.3)时，z取得最大值，所以Zmax=3X2+4X3=18.

故选：D.

【总结升华】本题主要考察线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题

的关键。

举一反三：

x+y-7<0

【变式1](2015新课标II)设x,y满足约束条件<x—3y+140,则z=2x—y的最大值为()

3JC-y-5>0

A.10B.8C.3D.2

【答案】作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分ABC).

由z=2x—y得y=2x—z,

平移直线y=2x—z,

由图象可知当直线y=2x-z经过点C时，直线y=2x—z的截距最小,

此时z最大.

x+y-7=0[x=5

中＜解得《，即C(5,2)

[x-3y+l=0[y=2

代入目标函数z=2x—y,

得z=2x5-2=8.

故选：B.

2x-y+l>0,

【变式2】(2016新课标HI文)若满足约束条件<x—2y—1<0,则z=2x+3y—5的最大值为

x<l,

【答案】

作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知当目标函数z=2x+3y-5经过点A(—1,-1)时取

得最小值，即Zmm=2x(-l)+3x(-l)-5=-10.

类型五：均值不等式求最值及应用

y=3f+一代,

例8.求函数2+x的最小值.

161

3/+

【思路点拨】2+犬是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.而2+f可与炉+2相

16

y—3x2+6+-6

约，即其积为定积1,因此可以先添、减项6,即.2+x1,再用均值不等式.

【解析】炉+2>0,

=3/+6+-^--6

X2+2

=3(f+2)+-4^-—6

x+2

>2^3(.r2+2)--^-6

=86-6

当且仅当3(犬+2)=孚-,即必=速一2时，等号成立.所以丁的最小值是8百-6.

X2+23

【总结升华】为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧；为了保证式子的值不变,

添项后一定要再减去同一项.

举一反三：

【变式1】求y=2x（3-x）（0<x<3）的最大值.

【答案】0Vx<3,.•.3-xX）且为常数

_i_3—x93

・・.y=2x（3-x）W2・（-r-------）2=-（当且仅当x=3-x,即x=一时取等号）

222

39

，当尤=一2时，，Znmaax=一2.

【变式2]已知x>O,y〉O,且满足3x+2y=12,求Igx+lgy的最大值.

【答案】x>O,y>O,lgx+lgy=lg（肛）=坨皂3«怛口（必答）2]=lgd（?）2]=lg6

66262

当且仅当3x=2y,即x=2,y=3时等号成立。所以Igx+lgy的最大值为lg6.

例9.某厂有一面长14米的旧墙，现在准备用这面墙的一段为一边，建造平面图形为矩形且面积为

126平方米的厂房（不考虑墙高），修1米旧墙的费用是造I米新墙费用的25%,用拆去旧墙所得的材料建1

米墙的费用是建1米新墙费用的50%（拆旧墙的材料损失忽略不计）.问：如何利用旧墙才能使建墙费用最

少？（建门窗的费用与建新墙的费用相同，可以不考虑）.

【思路点拨】设出保留旧墙的长度，表示出新建墙的长度，然后根据题意表示出费用函数，并根据函数

解析式的特征拼凑常数，正确应用均值不等式求最值.

【解析】设保留的旧墙长为x米，则拆去的旧墙为（14-x）米，用这部分旧墙的材料建墙，另外还应建新

墙2x------F%—(14—x)米.设每米新墙造价为1个单位，则建墙的总造价

x

y=+或(14-)+252c，八7252一日,7252=一

+2x—14=-xH---------7>2.1-x--------7=35.

100100x4x4九

当且仅当上=生，即x=12时，ymin=35.

4x

故保留旧墙12米时，能使建墙费用最少.

【总结升华】利用不等式的性质解决实际应用题，首先，要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确

定是求什么量的最值（即题中的y）；其次，分析题目中给出的条件，建立y与x的函数关系式y=/（x）（x

一般为题目中最后所要求的量）；最后，利用不等式的有关知识解题.

举一反三：

【变式1】一批救灾物资随26辆汽车从某市以xkm/h的速度匀速开往400km处的灾区.为安全起见,

Y

每两辆汽车的前后间距不得小于—km,问这批物资全部到达灾区，最少要多少小时？

【答案】设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知，f相当于：最后一辆车行驶了25个

X\km+400km所用的时间，

20

2

25x

20A2x*10.

因此，t=-----

Xxx

25r400

当且仅当三=空？，即x=80时取

400x

故这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少要10小时.

【变式2］建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方

米120元和80元，那么水池的最低造价为元.

【答案】1760

4

【解析】设水池池底的一边长为xm,则另一边长为一〃2,则总造价y为：

x

y=480+80x(2%+2--)x2=480+320(%+-)

XX

>480+320xC^=480+320x2x2=1760(元)

4

当且仅当光=一即x=2时，y取最小值为1760.

X

所以水池的最低造价为1760元.

【巩固练习】

一、选择题

1.(2015山东)己知集合4={刈》2_4》+3<0},8={幻2<%<4},则AAB=

A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)

2.若(1=也加=币-64=#>-6,则a,b,c的大小顺序是()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>c>a

3.(2015河南模拟改编）已知必不0,则下列不等式中：①层>/；②LL③

ab

@a2+b2>2ab,恒成立的不等式的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

4.当xGR时，不等式仙2一履+1>0恒成立，则大的取值范围是（）

A.(0,+oo)B.[0,+oo)

C.[0,4）D.（0,4）

5.满足不等式y2—f加的点（x,y）的集合（用阴影表示）是（）

6.已知x,y为正实数,且x+4y=l,则母的最大值为（）

11

A.-B.-

48

11

C.—D.―

1632

x-”0,

7.（2015山东）已知x,y满足约束条件，x+y«2,若z=ax+y的最大值为4,则a=

”0.

A.3B.2C.-2D.-3

填空题

8.设“VO,—1</?<0,则〃、“6、%从小到大的顺序为.

14

9.（2016乌鲁木齐模拟改编）已知苍y都是正数，且孙=1,则一+一的最小值为—

xy

10.若,<!<(),已知下列不等式：

ab

①②|。|>创；③a<b；@——>2；

ah

⑤/>庐；®2a>2h.

其中正确的不等式的序号为.

x+y—220

11.不等式组<x+2y-4<0表示的平面区域的面积为.

x+3y-2>0

解答题

12.已知0<加<1,解关于x的不等式/巴>1.

x-3

13.求函数/(x)=—!一+x的值域.

x-2

14.若不等式d+ar+l20对任意恒成立，求a的最小值.

15.某城建公司承包旧城拆迁工程，按合同规定要在4个月内完成，若提前完成，每提前一天可获得2

千元奖金，但要追加投入费用，追加投入费用按以下关系计算：6x+'7空84-118(单位：千元)，其

x+3

中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益=所获奖金-

追加投入费用)

【答案与解析】

【答案】C

【解析】

A={M攵-4x-3<j0g尤|1〈九卜3

.1.A{石2<无«4{=%|2<@

故选C

2.【答案】B

【解析】由b=币一6=一七七l,c=屈一叵=厂4厂，a=0=厂4厂得

V7+>/3V6+V2V2+V2

b<c<a,故选B

3.【答案】B

【解析】①取斫一1,b=~2,则不成立；

②取a=2,b--1.则'<■；

ab

③考函数y=x3在R单调递增，成立：

a>b,.,.a2+b2—2ab(a—b)2>0,.,.a2+b2>2ab

综上可得：恒成立的不等式有两个，故选：B。

4.【答案】C

【解析】(1)当％=0时，不等式变为1>0成立；

(2)当后0时，不等式fee2—Ax+1>0恒成立，

伍〉0

则<,

△=一女2一4女<0

即0V4V4,所以0%<4.

5.【答案】B

【解析】取测试点(0,1)可知C,D错；再取测试点(0,—1)可知A错，故选B.

6.【答案】C

【解析】Vx,y为正实数,

当且仅当x=4y即x=',>=—时取等号.

28

7.【答案】B

x-y>0

【解析】不等式组(x+y<2在直角坐标平面内所

y>Q

X

表示的平面区域如右图中的阴影部分所示若设—

z=ax+y的最大值为4,则最优解为x=l,y=l=2

或者是x=2,y=0,经检验知x=2,y=0符合题意，此时a=2,x=y=l不合题意，故选B

8.【答案】ab>ab2>a

2

【解析】方法一：ab—ab=ab(\—b)>0f

2

alr—a=a(b—\)>0f

/.ab>alr>a.

方法二(特值法)：取。=-1,b=_；,

易得〃=-1,ab=—,cib2=—,

24

ah>ah2>a.

9