高中数学：线性回归方程

高中数学：线性回归方程

线性回归是利用数理统计中的回归分析来确定两种或两

种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方

法，是变量间的相关关系中最重要的一部分，主要考查

概率与统计知识，考察学生的阅读能力、数据处理能力

及运算能力，题目难度中等，应用广泛.

线性回归方程公式

人AA

设所求回归方程为y=/?x+〃，其中“，0是待定参数.

n——n------

■-A-)(V；-y)zA-v,-nxy

b=-----------=--------

n-n一2

-x)2Ex；一nx

i=li=l

A"""

<7=v-bx.

其中，4是回归方程的斜率，a是截距.

规律总结

(1)回!人1在线y=bx+a必过朴本的中心点(1,y).

(2)相关系数与线性相关性：

f(x,.-A)(y;-y)

相关系数r=

IH_n一

V<=>J=IJ

①当r>0时，表明两个变量正相关；

当rvO时，表明两个变量负相关.

②当MG[O.75,1]时，表明两个变量相关性很强：

当卜|日0.3(),0.75)时，表明两个变量相关性•般；

当Me10,0.25)时，表明两个变量相关性较弱.

(3)回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主要

用来解决：

①确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们

之间贴近的数学表达式；

②根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的

变化趋势；

③求线性回归方程.

目

线性回归方程的求法

例1

例1.某5名学生的总成绩和数学成绩（单位：分）如

卜♦表所示：

学生ABCDE

总成绩（X）482383421364362

数学成绩（y）7865716461

（1）求数学成绩），对总成绩x的回归方程：

（2）如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学

生的数学成绩.

」7利用公式求出6,A即可.

【解】（1）根据表中数据可得，嚏=竿，7=..

L5xv-5x―v137760-52x0^1^2x—339

所以/；=W-=------------%导-*0.132,

Xxr-5x'819794-5x（^^）2

（=i5

-"一3392012

—-0.132x^^«14.683.

55

所以回归方程为y=0.132.v+14.683.

(2)当x=45()时，y«74.

即当.个学牛的总成绩为45()分时，他的数学成绩约为

74分.

【点评】解决这类问题，要准确理解公式中每部分表示

的意义，正确代入数据并认真计算.注意求得回归方程

的书写形式，如本题，要写成»=().132x+14.683,而

不能写成y=0.132x+l4.683，因为求出的函数值是估

计值，而不是精确值.

四

线性回归方程的应用

例2

例2.给出下列说法:

①线性回归方程尸&+a必过点丘,y）：

②相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱；

③相关指数正越接近1,表明回归的效果越好：

④设有•个线性回归方程y=3-5），则变量x增加一个

单位时，y平均增加5个单位.

其中正确的说法有（填序号）.

【解析】对于②，应该是相关系数/■的绝对值越小，衣

明两个变量的相关性越弱.所以②错误；对于④，应该

是变最x增加一个单位时，y平均减少5个单位.故答

案为①③.

「］匿

例3

例3.某同学在只听课不做作业的情况下，数学总不及

格.后来他终于卜.定决心要改变这一切，他以一个月为

周期，每天都做一定量的题，看每次月考的数学成绩，

得到5个月数据如下表：

一个月内每天做题数X58647

数学月考成绩y8287848186

根据上表得到回归直线方程y=L6x+“，若该同学数

学想达到90分，则估计他每天至少要做的数学题数为

（）

A.8B.9C.10D.11

I】住已知线性回归方程中的一个参数值时，

可利用线性回！）I方程必过样本中心点（弘）'）来快速求得

另一个参数值.

【射析】由题意可得：1=6,y=

代入»=1.6x+”，可得84=9.6+。，解得4=74.4.

.\y=1.6x+74.4.

则$，=90时，即90=1.6x+74.4,

解得工。10,故选C.

[1C

例4

例4.已知x与y之间的几组数据如下表:

X123456

y021334

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为

y=bx+a.若某同学根据上表中的前两组数据（1,0）

和（2,2）求得的直线方程为），=/加+",则以卜结论

正确的是（）

A.b>b',a>a'B.b>br,a<ci

C.b<b',a>a'D.b<b',a<ar

【「，】先由已知条件分别求出〃，"的值，再由

/；,方的计算公式分别求得A,力的值，即可作出比较.

【侬j析】由数据（1,0）和（2,2）可求得〃=2,

利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得

6____713

SA;V.-6Ay58-6x-x—

f=i26

6—2

LA,--6A"9I-6x-

«-i

——菽=»上1

67

所以〃<Z/,a>a'.

C

例5

例5.已知x与y之间的一组数据如卜\且它们之间存

在较好的线性关系，

X0246

y12/7/+12~m3—〃/

则y与1的回归直线方程£=几十”必过定点

【解析】因为），与工的回归直线方程*=/»+”必过定

点(月头,

•.•T=；(0+2+4+6)=3,

17

y=—(l+2w+l+2-w7+3-m)=—,

A（7>

即丫与工的刚值线方程$，=/*+〃必过定点3,-.

14；

(7、

(13,-

I4)

例6

例6.某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程

中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对

应数据如表所示.若根据表中数据得出的线性回归方程

为y=0.7x+0.35,则表中空格处〃的值为.

X3456

y2.534a

【解机】由题意可知：产量x的平均值为

A-=1(3+4+5+6)=4.5.

•.•线性回归方程为v=0.7x+0.35，且线性回归方程过

样本中心点(工力.

/._v=0.7x4.5+0.35=3.5.

n=4x3.5-2.5-3-4=4.5.

[]4.5

推导2个样本点的线性回归方程

例7设有两个点A(x1,y1),B(x2,y2)，用最

小二乘法推导其线性回归方程并进行分析。

解：由最小二乘法，设了=&,则样本点到该直线

的"距离之和"为

22

d=[y1-(a+bx1)]+[y2-(a+bx2)]

=2a2-2b&+x2)a+y「+y2?-b2(x：+x,)-2yi(a+bxi)-2y2(a+bx2)

二g-四/一三•b)F+……

.—+丫2x1+x2

从而可知：当22时，b有最小值。将

x+x

.yi+y2i2

一22b代入〃距离和"计算式中，视其为关于

b=^21

b的二次函数，再用配方法,可知：Af

此时直线方程为：

y=a+bx=y「y2.x+%+y2—%—y2.X|+X2

Xj-x22xt-x22

设AB中点为M（x°,y。），则上述线性回归方程为

=Y1>2

y-y0--（x-x0）

Xl-X2

可以看出，由两个样本点推导的线性回归方程即为过这

两点的直线方程。这和我们的认识是一致的：对两个样

本点，最好的拟合直线就是过这两点的直线。

上面我们是用最小二乘法对有两个样本点的线性回归直

线方程进行了直接推导，主要是分别对关于a和b的二

次函数进行研究，由配方法求其最值及所需条件。实际

上,由线性回归系数计算公式：

22

b_8-B）+（马一工）。-3）_力一。

（工]—X）2+（马-Xj-12

a=]—旋=打土&-91.91

2Xj—均2

可得到线性回归方程为

y=a+bx=ycJi.x+yiiy2_yIz^.^2

Xi-x22X]-X22

设AB中点为MS，,),则上述线性回归方程为

yiy

y-y0=.Il.(X-x0)

X「X2„

求回归直线方程

例8在硝酸钠的溶解试验中，测得在不同温度4©

下，溶解于100份水中的硝酸钠份数说勺数据如下

Xi0410152129365168

166.7九。76.380.6|85.792.999.4113.6125.1

描出散点图并求其回归直线方程.

解：建立坐标系，绘出散点图如下：

由散点图可以看出：两组数据呈线性相关性。设回归直

线方程为：y="bx

由回归系数计算公式：

b=⑶-X)@1-y)+(X2-x)@2-y)++(X：-X)(yn-丫)

222

(X1-X)+(X2-X)+……+(xn-X)

_X]%+x2y2++xnyn-nxy

2,2,,2一2

X]+x2+...+xn-nx

n

Z(xji-xy)

=_________

i=l

a=y-bx

x=26,7=90.14^X7=2343.76,X2=676^x,3=10144,^=24628.6

可求得：b=0.87,a=67.52,从而回归直线方程为：

y=0.87x+67.52。

三、综合应用

例3、假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费