高中数学-综合试卷-新人教A版必修2

立体几何测试题（二）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出

的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.点A在直线/上，/在平面a外，用符号表示正确的是（）

A.Aw/,/史aB.Ae1,1TaC.Aul」.aD.Aul,lea

2.以下四个结论：

①若aua,bu0,则。，匕为异面直线；

②若aua力则为异面直线；③没有公共点的两条直线是

平行直线；

④两条不平行的直线就一定相交。其中正确答案的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

3.已知P为△A3C所在平面a外一点，PA=PB=PC,则P点在平面a内

的射影一定是△ABC的（）

4、内心B、外心C、垂心D、重心

4.下面叙述正确的是（）

A.过平面外一点只能作一条直线与这个平面平行；

B.过直线外一点只能作一个平面与这条直线平行；

C.过平面外一点只能作一个平面与这个平面垂直；

D.过直线外一点只能作一个平面与这条直线垂直.

5.（如右图）正方体A5CQ—AiSGQ中，AC与5。所成的角为（)

A、兀B、-

~64"f

6.一条直线和两异面直线b,c都相交，则它们可以确

定（）

A.一个平面B.两个平面C.三个平面D.

四个平面

7.直线Q与平面e所成的角为30°,直线人在平面a内，若直线。与b所

成的角为*，则（）

A.0°<^<30°B.0O<^<90°C.30°<^<90°

D.30°<^<180°

8.一个简单多面体的各面都是三角形，且

有6个顶点，则此简单多面体的面数是

（）

A.4B.6C.8

D.10

9.有共同底边的等边三角形48C和BCD所在

平面互相垂直，则异面直线A3和CD所成

角的余弦值为（）

A.1B.1C.皂n*

344

10.（理）在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°,

则甲、乙两地的球面距离为（设地球半径为R）（）

A.旦成B.tRC.±RD.&

4323

（文）已知三个平面OAB、OBC、OAC相交于点。，且

N4OB=N8OC=NAOC=60。，则交线。4与平面OBC所成的角的余弦值

是（）

A.f3TC.坐

11.一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面

积与底面面积之比为1：2,则此棱锥的高被分成

两段之比（自上而下）为（）

A.1：2B.1：4C.1：（V2+1）D.1：（V2-1）

12.正方体AG中截面A6C和截面46c所成的二面角

的余弦值大小为（）

[2Ai

A.45°B.60°C.arccos——

2

D•arccos^-

3

二.填空题（本大题4小题，每小题5分，共20A

At

分）

13.（理）球的两个平行截面面积分别为5互和8兀，且在球心的同侧,

这两个截面间的距离等于1,则球的半径为

（文）在长方体ABCD—AiBiGD]中，AB=BC

=3,AAi=4,则异面直线AB1与A]D

所成的角的余弦值为;

14.正四面体V—ABC的棱长为2a,E,F,G,

H分别是VA,VB,

BC,AC的中点，则四边形EFGH面积是

15.如图，ABCD是边长为2的正方形，MA和P8都与平面ABC。垂直，且

P8=2M4=2,设平面PMO与平面"CO所成二面角为a,贝1Jsina=;

P

M

A

B

DC

16.已知根、〃是不同的直线，a、6是不重合的平面，给出下列

命题：

①若a〃/?，机uu尸，贝1J机〃〃；②若m,nua,m//尸,n//£,贝（Ja〃万；

③若mJ_a,n,贝！Ja///?;④机、〃是一■对异面直线且m_Ln,若

m//a,m/0,n//a,n//夕，贝Ua///?,其中，真命题的编号是.

三、解答题：（6个小题，共70分）

17.（本小题满分10分）已知A3CO是正方

形，B4_L平面ABCD,且PA=AB=2,E、F

是侧棱尸。、PC的中点。\V\^

（1）求证：EF//平面B43;/UF\

（2）求直线PC与底面4BCD所成角e的正,/V-/

切值。F------------------V

p

18、(本小题满分12分)已知P为△A3C所

在平面外的一点，PCLAB,PC=AB=2,

£、产分别为雨和8C的中点；

(1)求石尸与PC所成的角；

(2)求线段石方的长

19.(本小题满分12分)已知：如图，

四边形ABCD,EADM和MDCF是个三

边长为a的全等的正方形，点P、Q分别

是ED和AC的中点。

求：(1)PQ与AD所成的角的大小；

(2)平面EBF与平面ABCD所成

锐二面角的正切值；

(3)多面体EFM-ABCD的体积。

20.(本题满分12分)以等腰直角三角形ABC(Z4CB=90°)的斜边AB

上的高CD为棱折成一个60。的二面角，使B到9的位置，已知斜边

c

AB=2,求：(1)C到平面力的距离；

(2)A到平面C的距离；

B'

21.（本小题满分12分）如图，在

A

RtZ\406中，/OAB」,斜边

6

AB=4.Rt/XAOC可以通过RtZ\AOB以直

线A0为轴旋转得到，且二面角

8-A。-C是直二面角.动点。在斜边”

上.

（文、理）（1）求证：平面COD_L平面A08;

（文、理）（2）当。为AB的中点时，求

异面直

线A0与CD所成角的大

C

小；

（理）（3）求8与平面AOB所成角的最大值.

22.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD—A}B\CXD},中,AD=AA}=1,

A3=2,点E在棱A3上移动.

（文、理）（1）证明：DiElAiD;

（文、理）（2）当£为A8的中点时，求点石到面ACQi的距离；

（理）（3）当AE等于何值时，二面角。i—。的大小为々

4

A

答案

一、选择题：BABDDBCCBBDD

二、填空题：

13、（理）3；（文）314.115.216.③④

253

三、解答题：

17、解：证明：（1）

E是尸。中点]、

3dl=EF//CD、

产是PC中点八“AnEF/!AB1

AB//CD

EF<Z平面PA8[=>EF//平面PA8

ABu平面PA8

证明：（2）连结AC,因为PA_L平面ABCD,所

以NPG4就为直线PC与平面ABCD所成的角6。

即。=ZPCA

又因为正方形ABCD的边长为2,所以

AC=25/2,

所以tan6=tanPCA=

AC2V22

18、解：设PB的中点为G,连接FG,EG,

则FG〃PC且FG=；PC,EG〃AB且EG=〈AB

故NGFE为EF与PC所成的角，ZEGF为PC与AB所成的角

PC1AB

NEGF=90°又EG=GF=1

Z.ZGFE=45°EF=V2

19.解：(1)~BD,=BA+AAi+A^Dl^b+c-a.......2分

---*2-2—2——————c/l

・

|BD1\"=b+c+a+2bc-2。•。-2c=3。“...2分

\BD]\=43a.......2分

(2)AC•BO1=(a+1)•(右+c-q)=-a?.........2分

—7；2

AC•BD]—aV61

cos<AC,BDX>=.­.=—j=------j=-=..................1勿

IAC||BD,|J2axj3a6

••・异面直线AC与曲所成的角的余弦值是哙。……1分

20.(1)以短⑦皿，它们的位置关系在折叠前后不变，二侬平面朋，

CD的长就是C到平面加。的距离，CD=1；

(2)过点A作加婚。交笈。于E,「aa平面加，平面朋。平面次2.•在，

平面9。，.・.AE的长为点A到平面的距离，AE=g

(3)连CE,•.座_L平面8⑦，CE为AC在平面86上的射影，.24为攵与

平面所成的角，在用甩E中，易求得皿=反?

4

21.(1)略；(2)arctan；(3)arctan

33

,

22、解法一(1)•/AE_L平面AAQD1，A1D±AD1,..D1E±A1D.

(2)设点E到面ACDi的距离为h,在AACDi中，AC=CDi=K,

AD1—V2,

5凶℃二彳，而=—S—x1=—xA,.,.A=—.

SMCE=VQ-AEC=,DD}MD)C

(3)过D作DHLCE于H,连D|H、DE,贝ljD[HJ_CE,ZDHDi

为二面角Di—EC—D的平面角.设AE=%,则BE=2—%,

在中,；ZDHD}=?,.♦.DH=\.-：在RfAAOE中,£>E=Jl+Y,在RfAOHE中,EH=x,

在RfAOHC中CH=V3,在R/ACBE中CE=y/x2-4x+5.r.x+百=y/x2-4x+5=x=2—6.

AE=2-6时,二面角R-EC-O的大小为?.

解法二以D为坐标原点，直线DA,DC,DD)分别为x,y,z轴，建立空间

直角坐标系，设AE=%,则Ai(l,0,1),Di(0,0,1),E(1,x,0),

A(1,0,0)C(0,2,0)

(1)因为的，方石=(i,o,