高中数学：直线方程中的对称问题

高中数学：直线方程中的对称问题

在高中数学必修二的第三章“直线方程”中，可

以有一个小专题为直线中的“对称问题”。这主

要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关

于点对称；直线关于直线对称。

一、对称问题的求解方法

1、点关于点的对称

【例1】已知点A(—2,3),求关于点P(1,

1)的对称点Bo

分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用

中点坐标公式求解。

解：设点A(-2,3)关于点P(1,1)的对称点为.

-2+m_।

B(m,n),则由中点坐标公式得2'解得扪二%

3+n_[(n=-1

:2一射

所以点A关于点P(1,1)的对称点为B(4,-l)o.

2、直线关于点的对称

【例2】求直线3x-y-4=0关于点P(2,-1)

对称的直线I的方程。

分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平

行，所以可设所求直线方程为3x-y+b=0。

解：由直线1与3x-y-4=0平行，故设直线1方程

为3x-y+b=0。由已知可得，点P到两条直线.

|6+1-4||6+l+b|

距离相等'得

解得b=-10,或b=-4(舍)。.

因此直线1的方程为3x-y-10=0..

说明：充分利用直线关于点对称的特性：对称直

线与已知直线平行且点P到两条直线的距离相

等。几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一

些简捷途径。此题还可在直线3x-y-4=0上取两

个特殊点，并分别求其关于点P(2,-1)的对

称点，这两个对称点的连线即为所求直线。

3、点关于直线的对称

【例3】求点A(2,2)关于直线2x-4y+9=0

的对称的点的坐标。

分析：利用点关于直线对称的性质求解。

解：(相关点法)：设B(a,b)是A(2,2)关于直

线2x-4y+9=0的对称点，根据直线AB与I垂直，.

线段AB中点在直线2x-4y+9=0上…

1b-21

则有｛2b,2解得a=l,b=4…

2•2士1-4•+9=0,

I22

・•・所求对称点的坐标为(1,4)。.

4、直线关于直线的对称

【例4】求直线li：x-y-2=0关于直线，

12：3x-y+3=0对称的直线l的方程。.

分析：设所求直线1上任一点为P(x',y'),利用“相

关点法”求其对称点坐标，并将其对称点坐标代入直线L

方程进行求解。(许兴华数学

解：设所求直线】上任意一点P(x',y')(P任%).

关于k的对称点为Q(X],y])，“

'X|+X，力+y'[-4x'+3y'-9

22I5

则y-y解得3x，+4y，+3，

--=Ty1=-----------

lx-Xl5

又因为点Q在h上运动，则乂1-丫1-2=0。.

_4x，:3匕9_3x：++3_2=o,解得7x'+y'+22=0。

即直线1的方程为7x+y+22=0。.

二、关于对称常见的几种题型

1、角平分线问题

已知的一顶点A的坐标为(xo,yo),NB、ZC的内角平分线分

别为直线Aix+Biy+Ci=O与A2x+B2y+C2=0,求边BC所在的直线

方程。

根据角平分线的性质，点A分别关于NB、NC的内角平分线

分别为直线Aix+Biy+Ci=O与A2x+B2y+C2=0的对称点P、D均

在直线BC上,所以只要分别计算出P、D的坐标，再由两点式方

程即可得BC所在直线方程。

例1：已知^ABC的顶点A(-1,-4),内角B、C的平分线

所在直线分别为工：y+l=O,2：x+y+l=O,求BC边所在的直

线方程。

2、入射光线和反射光线问题

关于过点A(xo,yo),入射光线遇直线Aix+Biy+Ci=O的反射光

线经过点B(xi,yi),求反射线所在直线方程的有关问题。

根据光学性质，点A关于直线Aix+Biy+Ci=0的对称点C在反

射光线所在的直线上.因此，只要求出A点关于直线

Aix+Biy+Ci=O的对称点C的坐标。这样，就知道了反射光线BD

上两点的坐标，由两点式就得到反射线所在直线方程。

例2：光线从点M(—2,3)射到x轴上一点P(l,0)后被x轴

反射，求反射光线所在的直线的方程.

3、线段之和最小问题

J(x+3)2+(X_3)2+_1)2+(X_5、

例3求Y-的最小值

大自然中有很多精妙之处，比如蜂巢的结构可以使得蜜蜂用最少的材料造

出最大的空间，比如光总是沿直线传播，即使在物体表面反射后，所走路

线仍然是最短的.在数学中，最短距离问题往往可以通过某种对称，转化

为两点之间的距离最短的问题.比如从初中开始，我们就很熟悉的这样的

问题：已知点4(2,2)和点8(—3,8)

,在H轴上求一点

M，使得取最小值.

我们只需要作/关于/轴的对称点，由

\AM\+\BM\=\A!M\+\BM\》\AfB\

便可得到当4'，"，B三点共线时，有最小值.从而得到

M(1,O).在光线反射问题中，因为光总是走最短距离的，所以将

入射光线上的点关于反射面作对称，得到的点一定在反射光线上.

例，(1)在直角坐标平面/°沙内，一条光线从点⑵4)射出，经直

线力+g—1=0।反射后，经过点(3,2),则反射光线的方

程为；

(2)如图所示，已知4(4,0),B(0,4),从点尸(2,0)射出

的光线经直线4B反射后，再射到直线08上,最后经直线08反

射后又回到尸点，则光线所经过的路程是.

分析：（1）点（2,4）关于直线优+y—1=°的对称点在反射

光线所在的直线上，由上一招可以直接写出对称点坐标为

(一3,—1)所以反射光线的方程为

52=出2+1(1),

x—2y+l=0

整理得

（2）由光线反射的性质知，点尸关于48的对称点C,与点尸关于

08的对称点°都在第一次反射后的光线上，如图：

4B的方程为为+J—4=0,故。(4,2),而

。(—2,0)，光线所经过的路程就是CO的长，故为2、

说明：入射光线与反射光线是相对的，如果光线反过来，从反射光线方向

射入，则原来的入射光线就会变成反射光线，在处理光线相关问题时注意

灵活转化.

例2:已知P是直线？/=劣+1上一点，M，N分别是圆

：Q+4产+(g—4产=4与圆

2

。2：(N—3)2+y—1上的动点，则

IPM—|PN|的最大值为.

分析：因为N是相对独立的，要想\PM\-\PN\^

尽量小.设尸为圆O外

最大值，我们希望尽量大,|PN|

的一点，M为圆上一点

，我们来研究\PM\的最大值与最小值，如

图：

我们有

\PM\W\PO\+\OM\=|PB|,

\PN\?\P0\-\0N\=\PA\,

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