新教材高中数学必修第一册4 .5 .3 函数模型的应用

4.5.3函数模型的应用

【学习目标】1.能利用已知函数模型求解实际问题2能自建确定性函数模型解决实际问题.

3.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性.

知识梳理梳理教材夯实基础

--------------------------%-------

知识点一几类已知函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型J（x）=cix+b（a96为常数，a#0）

Kx）=，+b（k,b为常数且k¥0）

反比例函数模型

二次函数模型y（x）=ajc+hx+c（a,b,c为常数，〃W0）

指数型函数模型fix）=ba+c（a,b,c为常数，bWO,〃>0且〃Hl）

对数型函数模型flx）=b\ogax+c（a9b>c为常数,b乎0,且

基函数型模型J（x）=axn+b（a,匕为常数，a20）

知识点二应用函数模型解决问题的基本过程

1.审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；

2.建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相

应的数学模型；

3.求模——求解数学模型，得出数学模型；

4.还原——将数学结论还原为实际问题.

■思考辨析判断正误

1.在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.（X）

2.利用函数模型求实际应用问题的最值时，要特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否

相符.（V）

3.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了.（X）

题型探究探究重点素养提升

-------------------------------------------------------------------N--------------------

一、指数型函数模型

例1目前某县有100万人，经过x年后为y万人.如果年平均增长率是1.2%,请回答下列

问题：（已知:1.012i°31.1267,1.012”g1.1402,1g1.2^0.079,1g1.012^0.005）

⑴写出y关于x的函数解析式；

⑵计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；

(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年).

解⑴当x=l时,100+100X1.2%=100(1+1.2%)；

当x=2时，y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)X1.2%=100(1+1.2%)2；

当x=3时，y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)2X1.2%=100(1+1.2%)3；

故y关于x的函数解析式为y=100(1+1.2%)*(xGN*).

⑵当x=10时，>>=100X(1+1.2%)|0=100X1.01210=«112.7.

故10年后该县约有112.7万人.

(3)设x年后该县的人口总数为120万，

即100X(1+1.2%/=120,

120

解得x=logi,oi2而F6.

故大约16年后该县的人口总数将达到120万.

反思感悟在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数

型函数模型表示，通常可以表示为y=N(l+p)*(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的

形式.

跟踪训练1一种放射性元素，最初的质量为500g,按每年10%衰减.(已知：1g0.5七0.3010,

1g0.9心0.0458)

(1)求f年后，这种射放性元素的质量。的表达式；

(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1).

解(1)最初的质量为500g.

经过1年，co-500(1-10%)=500X0.9；

经过2年，s=500X0.92；

所以f年后，3=500X0.9'.

⑵由题意得500X0.9'=250,即

0.9'=0.5,两边取以10为底的对数，得

lg0.9'=1g0.5,即/1g0.9=lg0.5,

所以片㈱

即这种放射性元素的半衰期为6.6年.

二、对数型函数模型

例2我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕

子的飞行速度可以表示为函数。=51og2书，单位是m/s,其中O表示燕子的耗氧量.

(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？

(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？

解(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度。=0,代入题中公式，可得0=5k>g2^,解得。

=10个单位.

(2)将耗氧量。=80代入题中公式，得o=51og21|=51og28=15(m/s).

反思感悟有关对数型函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数

关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据值回答其

实际意义.

跟踪训练2“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数r=-1441g(l一箭

中，f表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数.则当N=40

时，/=.(已知1g5比0.699,1g3g0.477)

答案36.72

解析当N=40时，-1441g(l=-1441g|=-144(lg5-21g3)^36.72.

三、建立拟合函数模型解决实际问题

例3某纪念章从2019年1月6日起开始上市.通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价

y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：

上市时间X天41036

市场价y元905190

(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与

上市时间x的变化关系并说明理由：®y=ax+h；②y=G?+/>x+c；③了="1(吆小；

(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.

解(1),.♦随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y=or+6和y=alog环

显然都是单调函数，不满足题意，

用函数y=a^+bx+c描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系.

(2)把点(4,90),(10,51),(36,90)分别代入)，=62+法+。中，

1

116a+4〃+c=90,〃=不

得1100a+10b+c=51,

解得,/?=-10,

U2964+366+c=90,

lc=126,

11

.•.)=产92—10x+126=4(x-2°9)+26.

...当x=20时，y有最小值26.

故该纪念章市场价最低时的上市天数为20天，最低的价格为26元.

反思感悟建立函数模型应遵循的三个原则

(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、

较简便的模型.

(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正

确结论.

(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能,

能回到具体问题中解决问题.

跟踪训练3芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又

可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场，栽培芦

荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本。(单位：元/10kg)与上

市时间f(单位：天)的数据情况如表：

t50110250

Q150108150

(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本。与上市时间，的变化关系:

Q=at+b,Q=aP+ht+c,Q=ah',Q=a\ogbt,并说明理由；

(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.

解(1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本。与上市时间f的变化关系的函数不可能是

常数函数，若用函数Q=c"+8,Q—ab',Q=ak)g”中的任意一个来反映时都应有aWO,且

上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q="P+

加+c进行描述.将表格所提供的三组数据分别代入函数Q=a『+初+c,可得：

150=2500a+506+c,

708=12lOOa+HOb+c,

.150=62500a+250/>+c,

.13425

a=200,b=­亍c=~2~-

3

-+

所以，刻画芦荟种植成本。与上市时间，的变化关系的函数。=志/24225

3

_

一2

—天)时，芦荟种植成本最低为

2X150(

20

2=六*15（）2一|x150+竿=100（元/10kg）.

随堂演练基础巩固学以致用

1.一辆汽车在某段路途中的行驶路程S关于时间r变化的图象如图所示，那么图象所对应的

函数模型是（）

A.分段函数B.二次函数

C.指数型函数D.对数型函数

考点函数拟合问题

题点函数拟合问题

答案A

2.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表:

X123…

y138…

则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是（）

A.y—2x—\B.y—x^—\

C.y=2v-1D.y=1.5f—2.5X+2

考点函数拟合问题

题点函数拟合问题

答案D

3.国内邮寄I000g以内的包裹的邮资标准如下表：

运送距离x（km）0<x^500500<x^l0001000315001500VxW2000…

邮资y（元）5.006.007.008.00•••

如果某人在西安要邮寄800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他应付的邮资是（）

A.5.007GB.6.00元C.7.00元D.8.00元

答案C

4.据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）与时间M年）近似满足关系），=

Hog3（x+2）,观测发现2013年冬（作为第1年）有越冬白鹤3000只，估计到2019年冬有越冬

白鹤（）

A.4000只B.5000只C.6000只D.7000只

考点函数模型应用

题点指数、对数函数模型的应用

答案c

解析当x=l时，由3000=alog3（l+2）,得a=3000,所以到2019年冬，

即第7年，y=3000Xlog3（7+2）=6000.故选C.

5.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不超过0.1%,若初始时含杂质2%,每过

滤一次可使杂质含量减少/至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（1g2比0.3010,

1g3-0.4771）

解每过滤一次可使杂质含量减少/

则每过滤一次杂质含量将降为原来的东2

设过滤〃次后杂质含量不超过0.1%,

则有2%x0y^o.i%,

l+lg2

即心七7.4,

1g3-1g2

又“WN*,故〃》8,

即至少应过滤8次，才能使产品达到市场要求.

-课堂小结

1.知识清单：

（1）指数型函数模型.

（2）对数型函数模型.

2.方法归纳：把实际问题转化为数学问题.

3.常见误区：实际应用题易忘定义域和作答.

课时对点练--------注--重-双-息强、-化-落-实-

X基础巩固

1.某研究小组在一项实验中获得一组关于y,r的数据，将其整理得到如图所示的图形.下

列函数中，最能近似刻画v与f之间关系的是（）

O123456789101112131415161718

A.y=2'B.y=2t2

C.D.y=log2f

答案D

2.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩留量为y,则达

y的函数关系是()

X

A.y=0.9576荷

B.y=(0.9576)叽

一(0.9576\.

Cy={100)

X

D.y=1-0.0424

考点函数模型的应用

题点指数、对数函数模型的应用

答案A

3.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是4(℃),空气的温度是心)(℃),以经过

，分钟后物体的温度7TC)可由公式T=n+(Z—4把一°.求得.把温度是900c的物体，放在

10°C的空气中冷却f分钟后，物体的温度是50℃,那么r的值约等于(参考数据：In3^1.099,

In2%(1693)()

A.1.78B.2.77C.2.89D.4.40

答案B

4.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.

加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)

2018年5月1日1235000

2018年5月15日4835600

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.

在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为()

A.8升B.6升

C.4升D.10升

考点建立函数模型解决实际问题

题点建立函数模型解决实际问题

答案A

解析由表知：汽车行驶路程为35600-35000=600(千米)，耗油量为48升，...每100千米

耗油量为8升.

5.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中

的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()

X1.992345.156.126

y1.5174.04187.51218.01

A.y=2x—2B.y=^(x2—1)

C.y=:log2XD.

考点函数模型的应用

题点一次、二次函数模型的应用

答案B

解析由题中表格可知函数在(0,+8)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越

快，分析选项可知B符合，故选B.

6.计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低;，现在价格为8100元的计算机9年

后的价格为元.

答案2400

解析依题意得，所求价格为8100义(1-。3=8IOOX(|)3=24OO(元).

7.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度。米/秒和燃料的质量用千克、火箭(除燃料

外)的质量m千克的函数关系式是。=2000.ln(l+知.当燃料质量是火箭质量的倍时，

火箭的最大速度可达12千米/秒.

答案e6-l

解析当0=12000时，2000」11。+朗=12000,

8.现测得(x,y)的两组对应值分别为(1,2),(2,5),现有两个待选模型，甲：＞•=/+1,乙：y

=3x—1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用作为函数模型.

答案甲

解析将x=3分别代入y=f+l及y=3x—l中，得y=3?+1=10,y=3*3—1=8.由于10

更接近10.2,所以选用甲模型.

9.某家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买一张全票，其余人

可享受半票优惠.”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价的三分之二优惠.”这两家

旅行社的原价是一样的，根据该家庭中孩子数的不同，分别建立表达式，计算两家旅行社的

收费，并讨论哪家旅行社更优惠.

解设该家庭中孩子数为x(x2l,XWN*),旅行社的收费为y,旅行社的原价为。

甲旅行社收费：y=a+1(x+l)a=1(x+3)iz；

2

乙旅行社收费：y=)(x+2)a.

211

因为］(x+2)a—1(x+3)a=4(x—1)〃，

所以当x=l时，两家旅行社收费相等；

当X>1时，甲旅行社更优惠.

10.某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又

不高于80元/件.经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)的关系可近似看作一次

函数丫=日+以如图所示).

01020304050607080》

(1)根据图象，求一次函数y=fcc+〃的解析式；

(2)设公司获得的利润为5(元)(利润=销售总价一成本总价，销售总价=销售单价X销售量,

成本总价=成本单价X销售量).

①试用销售单价x表示利润S；

②当销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少?

40=60%+仇k=-l,

解(1)由图象可知,解得，

30=70k+b,6=100,

所以y=—x+100(50WxW80).

(2)①由(1)知，S=xy—50)=(—x+100)(x—50)

=一/+150x-5OOO(5OWxW8O).

②由①可知，S=-(X-75)2+625,

其图象开口向下，对称轴为x=75,

所以当x=75时，5max=625,

即该公司可获得的最大利润为625元，

此时相应的销售单价为75元/件，销售量为25件.

营综合运用

11.某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一

分钟增收0.10元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费()

A.I.OOTGB.0.90元

C.1.20元D.0.80元

答案B

解析y=0.2+0.1X（[x]—3）（国是不小于x的最小整数，x>0）,令》=得表

故国=10,则y=0.9.故选B.

12.某新品牌电视投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400

台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量M台）与投放市场的月数x之间

的关系的是（）

A.y=100xB.y=50?-50x+100

C.y=50X2*D.y=1001og2x+100

答案C

13.衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为“，经过t天后体

积丫与天数f的关系式为：^=〃七一”已知新丸经过50天后，体积变为凉.若一个新丸体积变

为枭，则需经过的天数为.

答案75

1

解析由已知,得东=0屋5叱.『=0°.

Q

设经过八天后，一个新丸体积变为务/,

则枭=。e,

•令…=75.

14.某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年

检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%（即这辆车每年减少它的价值的

10%）,则大约使用年后，用在该车上的费用（含折旧费）达到14.4万元.

答案4

解析设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，

依题意可得，14.4（1-0.1）*+2击=14.4,化简得x-6X0.9*=0.

令式x）=x-6X0.9。易得人x）为单调递增函数，

又式3）=—1.374<0,^4）=0.0634>0,

所以函数外）在（3,4）上有一个零点.

故大约使用4年后，用在该车上