新教材高中数学必修第一册第5章 函数

5.6函数y=4sin®x+（p）

5.6.1匀速圆周运动的数学模型

5.6.2函数y=4sin®x+（p）的图象

第一课时函数y=4sin（3x+<p）的图象

课标要求素养要求

1.会用“五点法”画出y=Asin（ox+9）

的图象.

2.理解参数A,69,9对函数y=Asin（ox通过整体代换和图象的变换提升学生的

+9）的图象的影响.直观想象、逻辑推理和数学抽象素养.

3.能用图象变换画y=Asin（s;+9）的简

图.

课前预习知识探究

教材知识探究

A情境引入

在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与

时间%的关系等都是形如y=Asin（0x+0）的函数.如图（1）所示是某次实验测得的

交流电的电流y随时间x变化的图象.

将测得的图象放大如图⑵所示，可以看出它和正弦曲线很相似.那么函数y=

Asin（（yx+s）与函数y=sinx有什么关系呢？

问题1.函数尸Asin(ox+夕)的周期、取值分别受哪些量的影响？

2.如何做出函数丁=而111((«%+夕)的图象？

提示1.在函数丁=仄皿(0x+0)中最值受A的影响，最大值为|川，周期受①的影

,2兀

响/=扃

2.方法一：五点作图法.方法二：图象的变换.

A新知梳理

1.9对函数y=sin(x+0),xGR的图象的影响

{♦>()时向主卜［平移।，平移变换-----------

)=sinX_二;上个单.—sin建+股)的图象

’的图象.

卜<0时向一［［长度)

2.①(0>0)对函数y=sin(t«x+e)图象的影响

T3乂时缩

y=sin(n+中)的图象

—［()<3<i时伸长到『周

上所有点的横坐标期

变

换

产sin(3x+<p)的图象卜-------原来的意倍.,______

纵坐标耒变「

3.A(A>0)对y=Asin(0x+0)的图象的影响

TA>I时伸^T)—

伸

TO<A<1时缩短到卜缩

变

换

____原来的A倍.［

、横坐标不变「一

函数y=Asin(c«x+夕)的值域是［―A,A］(A>0),最大值为A，最小值为一A

9影响了图象的左右平移、0影响了函数的周期，A影响了函数的最值

教材拓展补遗

［微判断］

1.把函数丁=5由大的图象向右平移2个单位得到函数y=5垣(》+2)的图象.(X)

提示应得到y=sin(x—2)的图象.

2.把函数丁=5皿%的图象向左平移2兀个单位后得到的图象与原图象重合.(♦)

3.函数y=3cos(2x+§的最大值为3.(V)

［微训练］

1.为了得到y=sin4x,x©R的图象，只需把正弦曲线上所有点的()

A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变

B.横坐标缩短到原来的去纵坐标不变

C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变

D.纵坐标缩短到原来的去横坐标不变

解析①=4>1,因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标

不变.

答案B

2.把函数y=2sin3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来

的3倍，得到的图象.

3

答案y=6si吁

3.将函数y=cos2x的图象向右平移,个单位长度，所得图象对应的解析式为

解析由题意得所得图象对应的解析式为y=cos2(x-1)=cos(2x-y).

答案y=cos(2x-专)

［微思考］

1.由y=sin①x(①>0)的图象得到y=sin(5：+9)的图象是如何平移的呢？

•y=sin(69X(p)—

sin4十方,

由y=sinox的图象向左(右)平移个单位.

2.由y=sinx的图象，得至Uy=Asin((yx+e)(0>0)的图象是否还有其他的变换方

法？

提示sinx

各点横坐标变为原来的」-

3

纵坐标不变

y=sin（ftAZ）

左（右）平移9个单位

|3|

y-sin（ttxz+a）

各点的横坐标不变,纵坐

标变为原来的A信

y=Asin（＜o«r+0

课堂互动题型剖析

题型一“五点法”作函数尸Asin（0x+e）的图象

五点指三个零点，两个最值点

【例1】已知函数尸singx+"

利用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的简图.

Ox

-1

解下面用“五点法”画函数尸sin0+1）在一个周期T=4兀内的图象.

令X=g+5，则x=2X—?

先列表，后描点并画图.

匹3兀

X0兀2兀

2T

匹2兀5兀8兀1171

X-3TTT亍

y010-10

-y

规律方法用“五点法”作函数y=以由（口工+9）的图象关键是抓住五个关键点，

即三个“平衡点”（即cox+（p分别取0,兀，2兀时%所对应的点）、一“波峰

点”（即0x+9取押x所对应的点）、一个“波谷

点”（即①x+夕取|兀时x所对应的点）.同时也要注意“五点法”的逆用，即由y=

Asin（①x+夕）的图象反过来确定cox+（p的值.

1JT

【训练11请用“五点法”画出函数尸点in（2x—前的图象.

解函数y=；sin（2x一的周期T=y=7r,先用“五点法”作它在长度为一个周

7T

期上的图象，令X=2x—不则x变化时，y的值如下表：

713兀

X兀2兀

02T

71717兀5兀1371

X

12312~6~12

1

000

y2~2

描点画图:

]-12-豆12

2

利用该函数的周期性，把它在一个周期上的图象向左、向右平移即得y=gin（2x

一奇的图象（图略）.

题型二三角函数图象的平移变换

【例2】（1）将函数y=2sin（2x+1）的图象向右平移;个周期后，所得图象对应的

函数为（）

A.y=2sin（2x+j）

B.y=2sin（2x+§

C.y=2sin（2x—孑）

D.y=2sin（2x—§

(2)要得到y=cos12x-5的图象，只要将y=sin2x的图象()

不同名称的，利用诱导公式化同名

A.向左平移得个单位

B.向右平移卷个单位

c.向左平移1个单位

D.向右平移点个单位

解析(1)函数y=2sin(2x+1)的周期为7=啰=兀，向右平移:个周期，即向右平

移;后，得到图象对应的函数为尸2sin[2(x—=2sin(2x—,故选D.

(2)y=sin2x=cos&-2x)=cos(2x-舒

=cos[2(x—矶=3艮一小楙.

若设_/(x)=sin2x=cos[21一目一彳,

则'+*cos(2x-^,

•••向左平移/个单位.

O

答案(1)D(2)A

规律方法三角函数图象平移变换问题的分类及策略

(1)确定函数y=sinx的图象经过变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移

的方向，按“左加右减”的原则进行.

(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名

三角函数形式，然后再确定平移方向和平移距离.

【训练2】将函数y=^cos(2x+§的图象向左平移当个单位长度，则所得图象

的解析式为.

解析将函数y=Wcos(2x+各的图象向左平移当个单位长度，所得图象对应的函

数为y=gcos[2(尤+$+克=啦COS(2X+TT)=—啦cos2x.

答案y=—&cos2x

题型三三角函数图象的伸缩变换

先平移后伸缩，先伸缩后平移

_JI

[例3]说明y=2sin(2x+w)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得

到.

解法一把y=sinx的图象上所有的点向左平移W个单位长度，得到y=

sin(x+§的图象；再把y=sinQ+§的图象上所有点的横坐标缩短到原来的；倍

(纵坐标不变)，得到y=sin(2x+§的图象；最后把y=sin(2x+§的图象上所有点

的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y=2sin(2x+§的图象.

法二将丁=5由工的图象上所有点的横坐标缩短为原来的3倍(纵坐标不变)，得到

JT

y=sinlx的图象；再将y=sin2x的图象向左平移4个单位长度，得到y=

sin[[+聿)]=sin(2x+§的图象；再将y=sin(2x+§的图象上所有点的纵坐标伸

长到原来的2倍(横坐标不变)，即得到y=2sin(2x+§的图象.

规律方法三角函数图象变换的法一(先平移后伸缩)和法二(先伸缩后平移)需要

注意以下两点：

(1)两种变换中平移的单位长度不同，分别是附和,但平移方向是一致的.

(2)虽然两种平移单位长度不同，但平移时平移的对象已有变化，所以得到的结

果是一致的.

【训练3](1)为了得到函数尸sin(3x一目的图象，需将函数尸sin(x—施图

象()

A.纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变

B.横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变

C.横坐标变为原来的小纵坐标不变

D.纵坐标变为原来的小横坐标不变

(2)已知曲线G：尸cosx,。2：y=sin(2x+第，则下面结论正确的是()

A.把Q上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右

平移聿个单位长度，得到曲线C2

B.把Ci上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左

平移自个单位长度，得到曲线C2

C.把Q上各点的横坐标缩短到原来的3倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平

移聿个单位长度，得到曲线C2

D.把Q上各点的横坐标缩短到原来的:倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平

移专个单位长度，得到曲线C2

解析⑴只需将函数尸sin(x—§的图象横坐标变为原来的g,纵坐标不变，便

得到函数尸sin(3x—§的图象，故选C.

(2)Ci：y=cosx=sin(x_h

c,上各点横坐标缩短为原来；倍

即ysin(a、T)---------------------

向左平移得个单位长度

1y=sin(2a，H--=sin2卜++)------------------------------------*

y=sin21九十W十万J=sin21x+2J-

答案(1)C(2)D

核心素养■川llllllllllllllll邮IIIIIIIIIIIWIIIIIIIIIIIIIIIIIWIII全面提升删唧

一'素养落地

1.通过本节课的学习，重点提升直观想象、逻辑推理、数学抽象素养.

2.由y=sinx的图象，通过变换可得到函数y=Asin(0x+0)(A>0,0>0)的图象，

其变化途径有两种：

小.相位变换.，,、周期变换

(l)y=sinx------>y=sin(x十夕)-----

y=sin(0x+=Asin(0x+0)；

(2)y—sinx—sina)x——

.~4,、振幅变换

y-sina»l%-rI=sin(0x十夕)------

y=Asin(cwx+9).

注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同，这是易出错的地方,

应特别注意.

二、素养训练

1.要得到函数y=cos(2x+l)的图象，只要将函数y=cos2x的图象()

A.向左平移1个单位长度

B.向右平移1个单位长度

C.向左平移3个单位长度

D.向右平移g个单位长度

解析y=cos(2x+l)=cos21+；),因此由y=cos2x向左平移;个单位，故选C.

答案C

2.要得到尸sin2x的图象，只需将函数产sin(2x+：|的图象()

A.向左平移彳个单位B.向右平移;个单位

C.向左平移得个单位D.向右平移卷个单位

OO

解析尸sin(2x+g)=sin五壬多产sin21，故选D.

71个单位

答案D

3.函数y=cosx图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图

象的解析式为y=coscox,则CD的值为()

1

2B-

A.2

C.4D.1

解析由题意可知得到图象的解析式为y=cos5,所以。=去

答案B

4.将函数y=2sin(x+§的图象向左平移侬心0)个单位长度后，所得图象对应的

函数为偶函数，则机的最小值为()

兀c兀

A•适B6

C.TD普

3o

解析因为函数y=2sin(x+目的图象向左平移加个单位长度，所得图象对应的

(兀、冗7T7T

函数为y=2sin[x+1+"zJ,所以)+加=也+],左GZ,即m=左兀+不左@Z.又机>0,

所以机的最小值为器故选B.

答案B

5.要得到函数尸sin(—x+8的图象，可把函数尸sin(—x)的图象向

个单位.

解析y=sin(—%)—>y=sin(—'1+目

=sin—(x-§,可把y=sin(-x)的图象向右平移当个单位.

答案右平移方

课后作业巩固提息]

基础达标

一、选择题

1.将函数Hx）=sin[2x一厅的图象向左平移1个单位长度，再将图象上各点的横坐

标缩短到原来的上纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（）

A.y=sinxB.y=sin（4x+§

乙2哈（

C.y=sin（4x一D.y=sin（x十

解析将函数加尸sin（2x—§的图象向左平移全个单位长度后，得到函数尸

sin艮+4一,=sin（2x+§的图象，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的（

（纵坐标不变），得到函数尸sin,+4的图象，故选B.

答案B

2.把函数y=cos2x+l的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不

变）,然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度,得到的图象是（）

解析把函数y=cos2x+l的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标

不变），得到函数y=cosx+l的图象，然后把所得函数图象向左平移1个单位长

度，再向下平移1个单位长度，得到函数丁=85。+1）的图象，故选A.

答案A

3.有下列四种变换方式：

①向左平移;个单位长度，再将横坐标变为原来的去纵坐标不变）；

②横坐标变为原来的上纵坐标不变），再向左平移得个单位长度；

Zo

③横坐标变为原来的支1纵坐标不.变），再向左平移々7T个单位长度；

④向左平移得个单位长度，再将横坐标变为原来的上纵坐标不变）.

oZ

其中能将正弦函数y=sinx的图象变为尸sin（2x+》的图象的是（）

A.①和②B.①和③

C.②和③D.②和④

解析①向左平移2JT个单位长度，再将横坐标变为原来的去1纵坐标不变），则正弦

函数尸sinx的图象变为尸sin（2x+1）的图象；②横坐标变为原来的g（纵坐标不

变），再向左平移鼻个单位长度，正弦函数尸sinx的图象变为尸sin2%+1上

sinQx+春的图象；③横坐标变为原来的%纵坐标不变），再向左平移1个单位长度，

正弦函数尸sinx的图象变为尸sin2卜+1）=5111（2%十习的图象；④向左平移1个

单位长度，再将横坐标变为原来的上纵坐标不变），正弦函数丁=5由》的图象变为

y=sin（2x+§的图象，因此①和②符合题意，故选A.

答案A

4.要得到函数y=6cosx的图象，只需将函数y=

&sin（2x+加图象上的所有点的（）

1..JT

A.横坐标缩短到原来的上纵坐标不变），再向左平移与个单位长度

Zo

1.JT

B.横坐标缩短到原来的手纵坐标不变），再向右平移［个单位长度

C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移得个单位长度

D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移得个单位长度

O

解析•：y=pcosx=^/2siJx+^J,

山田缶纵坐标不变

笈sin（2z+-^-）-|I।-------------------------------------

横坐标伸长到原来的2倍

向左平移十个单位长度

y=J^"sin卜+5）的图象------------------------

y=4^sin（x+Ej的图象.

答案C

5.函数五炒=sin（ox+0）的图象上所有的点向左平移胃个单位长度，若所得图象与

原图象重合，则①的值不可能等于（）

A.4B.6

C.8D.12

解析尸於）的图象向左平移方后得到尸sin0卜+习+夕=sin"+聂+e），其

一71

图象与原图象重合，有外9=2左兀，即0=4左（左©Z）.故①的值不可能为6.

答案B

二、填空题

7T

6.利用“五点法”作函数y=2sin（2x—》的图象时，所取的五个点的坐标为

解析令析一£=0,71,咨，2兀得x弋，普，系,看，争，故五个点的坐标

是（胃,0）,（y,2）,（y,0）,（y,-2）,（y,0）.

答案（［，0）,（子，2）,目0）,号—2）,（,，0）

7.将函数y=sinx的图象向左平移9（0或9<2兀）个单位长度后，得到函数y=

sin（x—聿）的图象，则9=.

解析将函数y=sinx的图象向左平移夕个单位后，得y=sin（x+。）的图象，而

_•/匹、_•/］［兀、匕二】、）11兀

y—sin（x—%）—sin（x+）,所以夕一.

8.将函数於)=sin(5+"①>0,一芬词图象上每一点的横坐标缩短为原来的

一半，纵坐标不变，再向右平移袭个单位长度得到y=sinx的图象，则

解析y=sinx的图象向左平移聿个单位长度，得到y=sin[x+。图象，再对每一

点横坐标伸长为原来的2倍，得到y=singx+|)的图象即为xx)=sin(0x+e)的

图象，，於)=5皿5+寿，/1)=2-

答案坐

三'解答题

9.已知函数外)=3sin(升前+3(x©R),用五点法画出它在一个周期内的闭区间上

的简图.

解⑴列表:

X.兀匹3兀

2+60兀2兀

2T

匹2兀5兀8兀1171

X-3TTT—

36303

(2)描点画图:

10.函数於)=5sin(2L§—3的图象是由尸sinx的图象经过怎样的变换得到

的？

解先把函数丁=5足》的图象向右平移方个单位长度，得y=sin(x一4的图象；再

把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的3倍（纵坐标不变），得y=

sin（2x—§的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍（横

坐标不变）得函数y=5sin（2x—§的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位

长度，得函数y=5sin（2x—3的图象（答案不唯一）.

能力提升

H.已知函数人x)=3sin俣一：)，x©R.

(1)列表并画出函数兀0在长度为一个周期的闭区间上的简图.

(2)将函数y=sinx的图象作怎样的变换可得到五x)的图象？

14y..................................................

।।।।।।।।।।

।।।।।।।।।।

~~「]j।।"।7I

-4------4---1--|---T---|---T---I---+---1-----

IIIIIIIIII

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_L_______L___I__L_J___I___J___I__1___I_____

IIIIIIIIII

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-r----i----1—i—r—i—i—i—T—i-----

_L______L__l__I________________________________

IIIIIIIiiI

->♦----1-I--T-----H-4-I--+--1------

IIIIIIIIII

2兀

解（1）函数Hx）的周期7=千=4兀

2

由5—今=0,宗71,咨,271,

布用7T3兀5兀7兀9兀

解付尤=/,2，g,工,■y.

列表如下：

3兀5兀7兀9兀

X三

2~2T~2