高中数学总复习教学案《圆锥曲线与方程》

高中数学总复习教学案

第9单元圆锥曲线与方程

本章知识结构

椭圆

圆

锥双曲线应用

曲

线

与

方抛物线定义标准方程

程

几何性质应用

直线与圆锥曲线

曲线与方程

本章的重点难点聚焦

本章的重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程及标准方程表示的圆锥曲线的几何性质，直线

与圆锥曲线的位置关系。

本章的难点：求圆锥曲线的方程及利用儿何性质和直线与圆锥曲线的位置关系综合问题。

本章学习中应当着重注意的问题

理解椭圆、双曲线、抛物线的概念，准确掌握标准方程所表示曲线的几何性质，特别注重函数与方程

不等式的思想、转化思想、数形结合思想在本单元解题中的应用。

本章高考分析及预测

本章内容是高中数学的重要内容之一,也是高考常见新颖题的板块，各种解题方法在本章得到了很好

的体现和充分的展示，尤其是在最近几年的高考试题中，平面向量与解析儿何的融合，提高了题目的综合性,

形成了题目多变，解法灵活的特点，充分体现了高考中以能力立意的命题方向。通过对近几年的高考试卷的

分析，可以发现选择题、填空题与解答题均可涉及本章的知识，分值20分左右。主要呈现以下几个特点：

1.考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等知识及基本技能、基本方法，常以选择题与填空题

的形式出现；

2.直线与二次曲线的位置关系、圆锥曲线的综合问题常以压轴题的形式出现，这类问题视角新颖，常见

的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景，以考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度；

3.在考查基础知识的基础上，注意对数学思想与方法的考查，注重对数学能力的考查，强调探究性、综

合性、应用性，注重试题的层次性，坚持多角度、多层次的考查，合理调控综合程度；

4.对称问题、轨迹问题、多变量的范围问题、位置问题及最值问题也是本章的几个热点问题，但从最近

几年的高考试题本看，难度有所降低，有逐步趋向稳定的趋势。

§9.1椭圆

新课标要求

①了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.

重点难点聚焦

本节的重点是椭圆的定义、标准方程和几何性质。

本节的难点是椭圆标准方程两种形式的应用及解决椭圆问题所涉及的思想方法。

高考分析及预策

纵观近几年的高考试题，对椭圆的考查主要表现在：对概念、性质、方程直接考查，一般以选择题、

填空题为主，其中与平面几何图形性质相结合的试题成为高考命题的亮点；解答题的常见题型为确定椭圆

方程、直线与椭圆的位置关系等，其中与向量、数列、不等式知识相结合的范围问题、最值及定值问题是

高考的热点，尤其是平面向量、不等式与解析几何的综合问题，近几年最受命题者青睐。

题组设计

再现型题组

22

1.(2008年浙江)已知耳，F,为椭圆土+匕=1的两个焦点，过片的直线交椭圆于4B两点,若

122591

怩川+|瑞同=12,贝加48]=.

2.椭圆5?+。2=5的一个焦点是(0,2),那么k等于()

(A)-l(B)l(C)V5(D)-75

巩固型题组

4rv2

3.设0K是椭圆——+工=1的两个焦点，夕是椭圆上的点，且|夕川：|夕砌=4：3,求的面

496

积。

4.求满足下列各条件的椭圆的标准方程.

(1)焦点在坐标轴上，且经过两点尸(；,$、2(0,-1)；

(2)经过点(2,—3)且与椭圆9/+4/=36具有共同的焦点.

5.(2008辽宁文科)在平面直角坐标系xOy^,点尸到两点(0,一5、(0,右)的距离之和等于4.设

点一的轨迹为C.

(I)写出C的方程；

(H)设直线尸Ml与C交于46两点，.4为何值时a_L无？此时|靠的值是多少？

提高型题组

6、在AA8C中，BC=24,AC.AB边上的中线长之和等于39,求A4BC的重心的轨迹方程。

7、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1。

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线/:y=H+机与椭圆C相交于A,B两点(A,8不是左右顶点)，且以为直径

的图过椭圆C的右顶点.求证：直线/过定点，并求出该定点的坐标。

反馈型题组

22

8、椭圆£+々=1上一点M到焦点口的距离为2,N是MF1的中点，则|ON|等于()

3

A、2B、4C、6D、一

2

9、如果方程¥+外2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()

A、(0,+8)B、(0,2)C、(1,+8)D、(0,1)

10、我们把由半椭圆占+21=心＞。)与半椭圆21+占=心＜0)合成的曲线称作“果

a2b2b2c2

圆”(其中=匕2+。2,4〉匕〉，〉0)。如图，

设点尸o，K，尸2是相应椭圆的焦点，N、A2和B|、

B?是“果圆”与X,y轴的交点，若△F0F1F2是边

长为1的等边三角形，则a,b的值分别为()

A.—,1B.国

2

C.5,3D.5,4

11.(2008上海理科)某海域内有一孤岛，岛四周的海平面(视为平面)上有一浅水区(含边界)，其边界

是长轴长为2a,短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为也、加，且两个导航灯

在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上

测得甲、乙导航灯的仰角分别为内、62,那么船只已进入该浅水区的判别条件是.

3

12.（2008全国I）在△ABC中，NA=90°,tanB==.若以4、8为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的

4

离心率e=.

x2y2

2

13、如图，已知椭圆一y+T=1（«>/?>0）,F]、尸2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，

ab

直线AF2交椭圆于另一点艮

（1）若/Q4B=9O°,求椭圆的离心率；

（2）若椭圆的焦距为2,且丽=2万石，求椭圆的方程.（J[\尸\

丫22V2

14、如图，椭圆的方程为一+二丁=1（。>0）,其右焦点为F,把椭圆的长轴分成6等分，过每个点作x

aa

轴的垂线交椭圆上半部于点匕，尸2,匕，P。25五个点，且仍，尸1+1尸2尸1+1尸3尸1+1尸产1+1户5月=5四.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线/过尸点（/不垂直坐标轴），且与椭圆交于A、B

两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M面,0）,试求

m的取值范围...

§9.2双曲线

新课标要求

①了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

②了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.

重点难点聚焦

本节的重点是双曲线的定义、标准方程和几何性质。

本节的难点是理解双曲线参数a、b、c、e的关系及渐近线方程.

高考分析及预策

随着高考的逐年完善，科学规范，本节在要求上有所降低，但从知识的整体发展过程看，双曲线不

失为一种重要曲线，故要引起重视估计仍以选择题或填空题的形式出现，注重对数学思想和数学语言的考

查。

题组设计

再现型题组

1、(2008年海南卷)双曲线土-匕=1的焦距为()

102

A.372B.472C.373D.473

2、(2008年山东卷)已知圆C:x2+y2_6x_4y+8=0.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个

焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为.

巩固型题组

3.设双曲线与椭圆工+工=1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为4,求双曲线的方程。

2736

4、直线1与双曲线C:2——y2=1的右支交于不同的两点A、B.

(1)求实数4的取值范围；

(II)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在，求出k的值；

若不存在，说明理由.

提高型题组

5、已知双曲线的中心在原点，焦点玛，心在坐标轴上，离心率为痣，且过点(4,一版).

(1)求双曲线方程：

(2)若点M(3,〃?)在双曲线上，求证：MF、1MF2.

(3)求：的面积。

反馈型题组

22

6、方程占x一+二v一=1表示双曲线，则A的取值范围是()

阳-25-k

(A)k<2或k>5(B)2<k<5

(C)k>5或一2<k<2(D)k<5或k>2

22

7.(2008年陕西卷)双曲线'-二=1(a〉0,b>Q)的左、右焦点分别是月，居，过片作倾斜角为

a"

30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于天轴，则双曲线的离心率为()

(A)V6(B)V3(0V2(D)—

3

8、过双曲线/一匕=1的右焦点广作直线/交双曲线于A、8两点，若1/=4,则这样的直线/

2

有()

(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条

9、点P是双曲线L-匕=1上的一点，6、F,分别是双曲线的左、右两焦点，ZF；PF,=90\则

412

1尸耳1”工1等于()

(4)48(8)32(C)16(D)24

10、已知b,c分别是双曲线的实半轴、虚半轴和半焦距，若方程。/+/+，=0无实数根，则此双曲线

的离心率e的取值范围是

22/O

11、(2008年江西卷)已知双曲线=-与=1(。〉0,6>0)的两条渐近线方程为y=±3」x,若顶点到渐

ab3

近线的距离为1,则双曲线方程为.

12、(2007年上海浦东)已知曲线C:x2—)，|y|=l(|xK4).

(1)画出曲线。的图像，

(2)若直线/:y=&x-1与曲线。有两个公共点，求出的取值范围;

⑶若P(0,p)(p>0),Q为曲线。上的点，求|PQ|的最小值.

§9.3抛物线

新课标要求

①了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

②掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.

④了解抛物线的简单应用.

重点难点聚焦

本节的重点是抛物线的定义、标准方程和几何性质。

本节的难点是抛物线定义的应用，标准方程的应用及直线与抛物线的综合问题。

高考分析及预策

纵观近几年的高考试题，今后高考会以选择题、填空题的形式考查抛物线的定义，标准方程及简单几

何性质的基础知识，也会以解答题的形式考查抛物线的综合问题。有关抛物线的概念和性质、直线与抛物

线的位置关系综合问题，更加注重对数学思想方法及数学语言的考查，估计题目的运算量不会很大，难度

趋于中低档。

题组设计

再现型题组

1.抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()

17157

(A).—(B).—(C).-(D).0

16168

2.设〃仁R,则抛物线产4a/的焦点坐标为()

(A)(a,0)(B)(0,a)(C)(0,—)(D)随。符号而定

16(7

巩固型题组

3.设P是抛物线y2=4x上的一动点，

⑴求点尸到点的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;

(2)若3(3⑵,求IPBI+IP”的最小值.

4、已知抛物线C的顶点在原点，焦点尸在x轴的正半轴上，设A,B是抛物线C上的两个动点(A3不垂

直于x轴)，(0IAFI+IBF1=8,线段A8的垂直平分恒经过定点。(6,0),求抛物线的方程。

提高型题组

5.设抛物线丫2=2X(p>0)的焦点为凡经过点尸的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线

上，且BC〃x轴，证明直线AC经过原点0.

反馈型题组

6.焦点坐标为(-2,0)的抛物线的标准方程为()

(A)y2-4x(B)y2-8x(C)y2--Ax(D)y2--8x

7.(2008年海南卷)己知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q(2,-1)的距离与点

P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为(A)

A.(-,-1)B.(-,1)C.(1,2)D.(1,-2)

44

8.抛物线/=24ax(a>0)上有一点M,它的横坐标是3,它到焦点的距离为5,则抛物线的方程为()

(A)y2=8x(B)y2=12x(C)y2=20x(D)y2=16x

9.已知P为抛物线V=4x上任一动点，记点尸到y轴的距离为d,对于给定点A(4,5),则IPAI+d的

最小值为()

(A)4(B)V34(C)V17-1(D)V34-1

10.已知圆/+>2+〃忒-7=0与抛物线/=4(〉+3)的准线相切，则〃2=

11.(2007年山东卷)设0是坐标原点，F是抛物线y?=2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x

轴正向的夹角为60°,则|次|为.

12、已知抛物线y?=2px(p〉0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴

上方的点，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于y轴，垂足为B,0B的中点

为M.

(1)求抛物线方程；

(2)过M作MN_LFA,垂足为N,求点N的坐标；

(3)以M为圆心，MB为半径作圆M,当K(加,0)是x轴上一动点时，讨论直线AK

与圆M的位置关系.

§9.4直线与圆锥曲线的位置关系

新课标要求

①在理解和掌握两种圆锥曲线(双曲线只要求理解)的定义和标准方程的基础上，能熟练的解决直线和

圆锥曲线的位置关系的一些问题。

②会判断、解决直线与圆锥曲线的位置关系、交点个数、参数范围及对称问题。

③熟练运用所学知识，解决有关弦长、面积、中点的问题。

重点难点聚焦

本节的重点是直线与椭圆的位置关系，直线与双曲线的位置关系，直线与抛物线的位置关系；数形结合、

分类讨论、方程思想方法的应用。

木节的难点是弦长问题及中点弦问题。

高考分析及预策

纵观近几年的高考试题，直线与圆锥曲线的简单问题一般在选择题、填空题中考查，比较容易；解答

题中的直线与圆锥曲线的问题难度较大，为中难档次，时常作为压轴题出现。直线与圆锥曲线的位置关系，

由于集中交汇了解析几何中直线、圆锥曲线两部分的知识内容，还涉及到函数方程、不等式、向量、平面

几何、数列等许多知识，形成了轨迹、最值、范围、定值、弦长等多种问题，因而为解析儿何中综合性最

强，能力要求最高的内容，也成为高考命题的重点和热点。

题组设计

再现型题组

1.过点(2,4)作直线与抛物线V=8x只有一个公共点，这样的直线有()

A.一条B.两条C.三条D.四条

2.双曲线/一/2=1的左焦点为日点p为左支下半支上任意一点(异于顶点)则直线PF的斜率的变

化范围是()

A.(8,0)B.(1,+°0)

C.(一8,0)U(1,+8)D.(—8,-1)U(1,+8)

22

3.直线y=kx+l与焦点在x轴上的椭圆二+二=1恒有公共点，则m的取值范围是()

5m

A.(0,1)B.(0,5)C.El,+8)D.L1,5)

巩固型题组

22

4、过点75(-1,1)作直线与椭圆土+2-=1交于48两点，若线段A8的中点为P,求直线A8所在的直

42

线方程和线段48的长度.

5、已知椭圆E:3+q=1,试确定m的取值范围，便得椭圆E上存在不同的两点关于直线/:y=4x+m

对称。

提高型题组

6、设椭圆方程为一+匕=1,过点M(0.1)的直线/交椭圆于点A、B,O是坐标原点，点P满足

4

--k1------11

OP=-(OA+OB),点N的坐标为(2,耳)，当/绕点M旋转时，求:

(1)动点P的轨迹方程；(2)I而I的最小值与最大值.

反馈型题组

7.设坐标原点为O,抛物线>2=2x与过焦点的直线交于A,8两点，则方•历=()

33

(A)-(B)--(C)3(D)-3

44

8.不论k取值何值，直线y=k(x-2)+6与曲线X?->2=1总有公共点，则实数匕的取值范围是()

(A)(一6,百)(B)f-V3,V3](C)(—2⑵(D)[-2,2]

9.点P在椭圆7/+4/=28上，则点P到直线3x—2y-l6=0的距离的最大值是()

“12V13016V13门24VH「13728

A•.D.C.Y)•

13131313

22

10.过双曲线A—2r=l(a>0,匕>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN

a~b'

为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于

11.点K，工是椭圆4/+9/=36的焦点，P是其上的一动点，当2月尸外为钝角时，点P的横坐标的

取值范围是

22

12.椭圆工+2-=1中过点尸(1,1)的弦恰好被P点平分，则此弦所在的直线方程是________

42

13、(2007年山东省枣庄市模拟考试)如图，已知直线/与抛物线/=4y相切于点P(2,1),且与x轴

交于点40为坐标原点，定点6的坐标为(2,0).

(I)若动点M满足布•丽+血|而1=0,求点M的轨迹C；

(II)若过点B的直线1'(斜率不等于零)与(I)中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在B、F之间)，

试求△0BE与AOBF面枳之比的取值范围.

§9.5曲线与方程

新课标要求

了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.

重点难点聚焦

本节的重点是曲线的方程及方程的曲线的概念及求曲线方程的步骤，坐标法思想的本质理解及应用.

本节的难点是曲线的方程和方程的曲线的理解.

高考分析及预策

《普通高中数学课程标准》及《考试说明》要求“能够根据所给条件选择合适的坐标系，求曲线方程，

并由方程研究曲线的性质”。这里既有思想，又有方法。本节考查会以选择或填空的形式求常见曲线的方

程或研究常见曲线的性质。求曲线的性质也会在解答题中出现，属于中低档题，常见的方法有直接法、

定义法、待定系数法、动点转移法，求曲线的方程是高考中的热点，常见方法应熟练掌握并能灵活应用。

题组设计

再现型题组

1.已知点4-2,0）、6（3,0）,动点P（x,y）满足而•丽=/,则点P的轨迹是（）

（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（。）抛物线

2.已知椭圆f+q=l的两个焦点分别是长，&,P是这个椭圆上的一个动点，延长QP到。，使得I

PQ\=\F2P\,求。的轨迹方程是

巩固型题组

3.在△尸中，tan/PMN=L,tanN用NP=-2,且的面积为1,建立适当的坐标系，求以用、N

2

为焦点，且过点P的椭圆的方程.

p

4、如下图，P是抛物线C：产gf上一点，直线/过点P且与抛物线C交于另一点。.若直线/与过点P

的切线垂直，求线段尸。中点M的轨迹方程.

提高型题组

5、如图，在平面直角坐标系中，N为圆A：(x+l)2+y2=16上的-动点，点B(l,0),点M是BN

中点，点P在线段AN上，且MPIN=0.

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)试判断以PB为直径的圆与圆，+y2=4的位置关系，并说明理由。

反馈型题组

6.x=Jl—3：/表示的曲线是()

A.双曲线B.椭圆

C.双曲线的一部分D.椭圆的一部分

7.在同一坐标系中，方程a2』+b2y2=i与ax+b),2=o(a>b>0)的曲线大致是(D)

8.设k>l,则关于x、y的方程（1—k）x2+y2=F—i所表示的曲线是（）

A.长轴在y轴上的椭圆B.长轴在x轴上的椭圆

C.实轴在y轴上的双曲线D.实轴在x轴上的双曲线

9.（2007江西）一动点到两坐标轴的距离之和的2倍等于动点到原点距离的平方，则动点P的轨迹方程为

（）

A.x2+y2=2x+2yB.x2+y2-2x-2y

C.x2+y2=-lx+2yD.x2+y2-2|x|+2|y|

10.直线/的方程为y=x+3,在/上任取一点P,若过点P且以双曲线⑵2—4丁=3的焦点作椭圆的焦点，那

么具有最短长轴的椭圆方程为.

11.已知两点M（-1,0）,N（1,0）且点P使而•布，丽・丽，丽7・9成公差小于零的等差数列，

（I）点P的轨迹是什么曲线？

（H）若点P坐标为（X。,%）,。为丽与丽的夹角，求tan。。

第九章圆锥曲线与方程45分钟单元综合检测题

一、选择题

1.在平面直角坐标系xoy中，已知4ABC的顶点A（一4,0）和C（4,0）,顶点B在椭圆

〉:止则包需工等

2.已知为、巳是两个定点，点P是以A和&为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且尸

内和62分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（）

A.——H——=4B.——H——=2C.D.

e；e2e\ei

22i

3.已知P是椭圆上+乙=1上的一点，F|、F2是该椭圆的两个焦点，若△PBF2的内切圆半径为,，则

432

丽•丽的值为（）

4.已知F「F2分别是双曲线「—与=1（。>02>0）的左、右焦点，过片作垂直于x轴的直线交双曲线

a~b-

于A、B两点，若人435为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是

（）

A.（1,1+72）B.（1+&,+8）C.（1-V2,1+V2）D.（及，&+1）

5.抛物线V=—伍〉0）的准线/与）•轴交于点P,若/绕点P以每秒五弧度的角速度按逆时针方向旋转

f秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则f等于（）

A.1B.2C.3D.4

22

6.从双曲线--工-=1的左焦点;F引圆/+>2=3的切线FP交双曲线右支于点P,T为切点，M为线段

35

FP的中点，0为坐标原点，则IMOI—IMTI等于（）

A.y/3B.75C.V5-V3D.行+百

二、填空题

22

7.已知双曲线工-匕=1的右焦点为（JF,O）,则该双曲线的渐近线方程为

9a

8.抛物线y=a/的焦点恰好为双曲线>2一,=2的一个焦点，则。=

r22

9、与椭圆土+乙=1具有相同的离心率且过点（2,-V3）的椭圆的标准方程是______________.

43

10.过抛物线V=2px（p〉0）的焦点的直线x—my+〃?=0与抛物线交于A、B两点，且△OAB（O

为坐标原点）的面积为20,则/+/=.

II.已知定点F（1,0）,动点尸在y轴上运动，过点P做PM交x轴于点M,并延长MP到点N,且

丽历=0,1前1=1丽I.

（I）求点N的轨迹方程；

（II）直线/与点N的轨迹交于A、B不同两点，若苏•称=T,且回求直线/

的斜率k的取值范围.

12.椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上，离心率e=V匚2，椭圆上的点到焦点的最短距离为

2

l-e,直线/与y轴交于P点（0,m）,与椭圆C交于相异两点A、B,JLAP-APB.

（1）求椭圆方程；

(2)若0A+408=4。尸，求机的取值范围。

参考答案部分

§9.1椭圆

再现型题组

1.【提示或答案】8

【基础知识聚焦】本小题考查椭圆的定义；即平面内一动点与两定点£,人的距离之和为常数2a,

当2a月川时，动点的轨迹是椭圆；当2a=|£用时动点的轨迹是线段当2ad£短时，动点的

轨迹不存在。

2.1提示或答案】B

【基础知识聚焦】本小题考查椭圆的标准方程及几何性质，焦点位置决定椭圆标准方

程的类型，是椭圆的定位条件，参数a,b决定椭圆的形状和大小，是椭圆的定性条件。

巩固型题组

3.［解］由于1尸吊1+1尸尸2=7,且IPQI：IP&I=4：3,得1尸川=4,IP&I=3,XIF,F2l=2c=2^--6=5,

显然IPFIF+IPF『=lFI&F，所以尸匹是以尸居，P&为直角边的直角三角形，从而所求APF|F2

=

的面积为S=—xIPF,|xIPF2l-x4x3=6.

22

【点评】本题运用了椭圆的定义来解题。椭圆定义是用椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和来描述的，

定义中IPQI+PF2l=2a>l吊&1.定义能够对一些距离进行相关的转化，简化解题过程。因此在解题过程中，

遇到涉及椭圆上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够使椭圆的定义来解决。

【变式与拓展】

2V2

已知点A(3,0),8(—2,1)是椭圆一x+==1内的点，M是椭圆上的一动点，试求IMAI+IMBI的最大值与最

小值。

解：易知A点为椭圆的右焦点，设左焦点为Q,由/=25,知IMQI+IMAI=10,因此IMAI+IMBI=10+IMBLIM吊I；

如图所示，连结并延长BQ交椭圆于C、。两点；当M位于C点时，IMBITMFil最大，当M位于。

点时IM8I-IMQI最小，计算得最大值为10+桓,最小值为10-6.

4.【解法一】

fv2

［解］(1)①当所求椭圆的焦点在X轴上时，设它的标准方程为:+A=l(a〉b>0),依题意应有

，解得《?,因为a>6从而方程组无解;

②当所求椭圆的焦点在y轴上时，设它的标准方程为二+1=1(4>b>0),

a2b2

依题意应有《解得《；,所以所求椭圆的标准方程为f+吊=1

45

故所求的椭圆的标准方程为彳-+—X

45

【解法二】

［解］(1)设所求椭圆的方程为mx2+n)^=l(m>O,n>O,^.mn),

111

_inH—n=1，m_522

依题意得《99,解得I一，从而所求椭圆的标准方程为+-=］

11n=411

—n=1i

I445

(2)因为椭圆9/+4y2=36的焦点坐标为(0,±V5),,从而可设所求的椭圆的方程为

x2v249

二+二—=1(/1>0),将又因为经过点(2,-3),从而得上+^^=1,解得；1=10或4=—2(舍去),

22+522+5

22

故所求椭圆的标准方程为：—+^=1.

【点评】对于(1),山题设条件不能确定椭圆的焦点在哪一坐标轴上，因此应分别设出焦点在X轴、y轴

上的标准方程，进行讨论求解：或采用椭圆方程〃>+町2=］(机>0,">0,且能力“)直接求解，避免讨论；对

于(2)由于椭圆9/+分2=36的焦点坐标为(0,±行)，因而可设所求的椭圆方程为

—+^—=1(2>0),只要由题设条件确定4的值即可.由于题(1)中的椭圆是唯一存在的，为了运算

22+5

方便，可设其方程为，"炉+〃),2=1(相>0,〃>0,且加工〃)，而不必考虑焦点的位置，直接求得椭圆的方程；题

22

(2)中椭圆9/+4〉2=36变形为亍+1=1,其焦点坐标为6(0,后)，F2(0-V5),所设的方程

—+上一=1(2>0)是具有共同焦点的Fx(0,V5),F2(0-V5)的椭圆系方程。遇到与本题类似的问题,

22+5

我们可以采用类似的方法来求解椭圆的方程。另外本题还可以设方程工+匕=1(4>5),

A-5A

2222

工+上等解决。一般说来，与椭圆=+1=13〉匕〉0)具有相同焦点的椭圆方程可设为

2+4A+9ab

v.22

——+=v==1(X>—min例,〃))，其中Im-〃1=02。本题实质上运用的也是待定系数法。

5.解：(I)设P(x,y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0,-山),(0,6)为焦距，长半轴为2的椭

圆.它的短半轴人=切―(⑻2=］,故曲线c的方程为，+?=1

(II)设4(再,%),5(马,为)，其坐标满足

2

2y_<

X+彳='消去y并整理得（二+4）/+2H一3力,

y=kx+\.

3

故王+々F+4,

若OA±06,即XjX2+y}y2=0.

„33k22k2,c

贝n［Ix.x+y.y------------------；----F］=0,

12222

-公+4jt+4k+4

化简得—4/+1=0,所以k=±L

2

【点评】本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综

合运用解析几何知识解决问题的能力.

提高型题组

6、［解］如图所示，以线段8c所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴

建立直角坐标系。设M为凶BC的重心，BC是AC边上的中线，CE是

22

A3边上的中线，由重心的性质知18Ml=—1801,\CM\=-\CE\

33f

2222

于是IM3I+IMO=—1801+—ICEI=—(IBD\+\CE|)=-x39=26.

3333

根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以8、C为焦点的椭圆.

2a=IMB\+\MC\=26,a=13,又2c=1BC1=24,c=12,b~=a2—c2=132—122=25,

22

故所求的椭圆方程为工+竺=1(>'*0).

16925

【点评】有一定长线段8C,两边上的中线长也均与定点8、C和A48C的重心有关，因此需考虑以8c

的中点为坐标原点建立直角坐标系，但需注意点A不能在BC的所在的直线上。在求点的轨迹时，要特点

注意所求点轨迹的几何意义，在本题中，所求的椭圆方程为高+会=1(>力0),应考虑若y=0时，A、

B、C三点在同一条直线上，不可能构成三角形，所以应将y=0去掉。另外，平面内一动点与两定点

6的距离之和为常数2a,当2a>1尸1F2I时，动点的轨迹是椭圆；当2a=lF|FJ时动点的轨迹是线段QF2；

当2*1QFT时，动点的轨迹不存在。

22

7、解：(1)由题意设椭圆的标准方程为，+学■=1(“>b>0),

由已知得：〃+c=3,a-c=

d.=Z.\C=1■.•・椭圆的标准方程为X二+上V">=1

.・"2=/_02=343

(2)设4(斗，x),B(X2,%)

y=kx-\-m,

联立n(3+4k2)x2+Smloc+4(/n2-3)=0,则

A=64〃//-16(3+软2)(用2一3)>0,即3+4k2-m2>0,

8mk

<x+x=

123+4公

4(33)

XjX=

23+4-

3(川-饮2)

=

又弘为=(丘]+机X京2+加)X[X2+mk(x]+12)+〃?2

3+4公

因为以A3为直径的圆过椭圆的右顶点。(2,0),

%当

♦•kAi)kBD=一1，即一1

&-2—2

yly2+x(x2-2(x,4-x2)+4=0

3(小一442)4(加一3),16mk,".

OIAI(J

3+4/3+/3+4火2

...Im2+16mk+4&?=0

2k

解得：机|=一2匕m,=——，且均满足3+4/—机2>。

7

当町=—2Z时，/的方程y=k（x—2）,直线过点（2,0）,与已知矛盾;

/的方程为丁=人（无一5），直线过定点（T，o

当〃2,-----时,

7

所以，直线/过定点，定点坐标为（m，0]

【点评】本小题主要考查椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析

几何知识解决问题的能力。

课堂小结

1.本部分的重点是掌握椭圆的定义，离心率与a,b,c之间的关系和椭圆方程的求法，定义和性质的应用是

椭圆知识的重点。突破重点的关键，一是要掌握好定义的几何条件，即