8.2一元线性回归模型及其应用导学案高二下学期数学人教A版选择性

8.2一元线性回归模型及其应用【教学目标】1．结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义．2．了解最小二乘原理，会求经验回归方程，能根据经验回归方程进行预测．3．了解残差的推导过程，理解残差、决定系数的概念，会通过分析残差和利用决定系数判断回归模型的拟合效果，会进行线性回归分析．4．了解非线性回归模型，掌握非线性回归模型的求解过程．【自主学习】1．一元线性回归模型我们称eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e，,Ee＝0，De＝σ2))为Y关于x的一元线性回归模型，其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差．2．一元线性回归模型参数的最小二乘估计(1)经验回归方程与最小二乘估计把eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))叫做eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))的最小二乘估计．其中(2)观测值、预测值、残差对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的eq\o(y,\s\up6(^))称为预测值，观测值减去预测值称为残差．(3)R2的计算公式R2＝1－用R2来比较两个模型的拟合效果，R2越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越差；R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好．【课内探究】例1.某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070求经验回归方程．例2.假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在线性相关关系，现测得5组数据如下表：x15.025.830.036.644.4y39.442.942.943.149.2并由最小二乘法计算得经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.29x＋34.7.(1)计算各组残差，并计算残差平方和；(2)求决定系数R2.例3.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D(单位：dB)与声音能量I(单位：W/cm2)之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii(i＝1,2，…，10)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．eq\x\to(I)eq\x\to(D)eq\x\to(W)eq\o(∑,\s\up11(10),\s\do4(i＝1))(Ii－eq\x\to(I))2eq\o(∑,\s\up11(10),\s\do4(i＝1))(Wi－eq\x\to(W))2eq\o(∑,\s\up11(10),\s\do4(i＝1))(Ii－eq\x\to(I))·(Di－eq\x\to(D))eq\o(∑,\s\up11(10),\s\do4(i＝1))(Wi－eq\x\to(W))·(Di－eq\x\to(D))1.04×10－1145.7－11.51.56×10－210.516.88×10－115.1表中Wi＝lgIi，eq\x\to(W)＝eq\f(1,10).(1)根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的非线性经验回归方程eq\o(D,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))·lgI；(2)当声音强度大于60dB时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且eq\f(1,I1)＋eq\f(4,I2)＝1010.已知点P的声音能量等于声音能量I1与I2之和，请根据(1)中的非线性经验回归方程，判断点P是否受到噪声污染的干扰，并说明理由．例4.某景区的各景点从2010年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．如表是从2012年至2021年，该景点的旅游人数y(万人)与年份x的数据：第x年12345旅游人数y(万人)300283321345372第x年678910旅游人数y(万人)435486527622800该景点为了预测2024年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型：模型①：由最小二乘法求得y与x的经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝50.8x＋169.7；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y＝aebx的附近．(1)根据表中数据，求模型②的非线性经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝(eq\o(a,\s\up6(^))精确到个位，eq\o(b,\s\up6(^))精确到0.01)；(2)根据下列表中的数据，比较两种模型的决定系数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2024年该景区的旅游人数(单位：万人，精确到个位)．回归模型①eq\o(y,\s\up6(^))＝50.8x＋169.7②eq\o(y,\s\up6(^))＝3040714607参考数据：e5.45≈233，e1.43≈4.18.eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(u)5.54496.058341959.00表中ui＝lnyi，eq\x\to(u)＝eq\f(1,10).【课后检测】1．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系．根据成对样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是()A．y与x具有正线性相关关系B．经验回归直线过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可判定其体重必为58.79kg2．(多选)关于残差图的描述正确的是()A．残差图的横坐标可以是样本编号B．残差图的横坐标也可以是解释变量或响应变量C．残差点分布的带状区域的宽度越窄，R2越小D．残差点分布的带状区域的宽度越窄，残差平方和越小3．在一段时间内，某种商品的价格x(元)和需求量y(件)之间的一组数据如表所示：价格x/元1416182022需求量y/件5650434137则y关于x的经验回归方程为__________．(参考数据：eq\o(∑,\s\up12(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝3992，eq\o(∑,\s\up12(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝1660)4．某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，这5次试验的数据(个数x，加工时间y)为：(10,62)，(20，a)，(30,75)，(40,81)，(50,89)．若用最小二乘法求得其经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9，则a的值为________．5.某班5名学生的数学和物理成绩(单位：分)如表所示：学生学科ABCDE数学成绩(x)8876736663物理成绩(y)7865716461(1)求物理成绩y关于数学成绩x的经验回归方程；(2)若上述经验回归方程对学生F也适用，在某次考试中F的数学成绩为80分，试估计在本次考试中F的物理成绩为多少分(保留整数)．6.已知某种商品的价格x(单位：元)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据：x1416182022y1210753求y关于x的经验回归方程，并借助残差平方和及R2说明回归模型拟合效果的好坏．7.某高科技公司对其产品研发年投资额x(单位：百万元)与其年销售量y(单位：千件)的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图．通过初步分析，求得年销售量y关于年投资额x的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.2x－1.3.表1x12345y0.511.535.5表2x12345z＝lny－0.700.41.11.7(1)该