高中数学必修第一册2.2.2不等式的解集

2.2.2不等式的解集

最新课

掌握不等式的解集，理解绝对值不等式，会解简单的不等式组.

程标准

新知初探•自主学习——突出基础性

知识点一不等式的解集与不等式组的解集

一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.对于由若干个不等式联立得到

的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.

知识点二绝对值不等式

含有绝对值的不等式称为绝对值不等式.

知识点三数轴上两点间的距离及中点坐标公式

(1)距离公式：一般地，如果实数a,b在数轴上对应的点分别为A,B,即4(。)，B(b),

则线段AB的长为.

(2)中点坐标公式：A(a),B(b),线段A3的中点M对应的数为x,则％=.

基础自测

1.在数轴上从点4(—2)引一线段到3(1),再同向延长同样的长度到C,则点C的坐标为

()

A.13B.0

C.4D.-2

2.不等式『2X—4>0,的解集是()

(x—3<0

A.{x|x<—2}B.{x\x<2}

C.{x|—2V_xW3}D.{x|-2<x<3}

3.集合M={4x>0,x£R},N={R|x—1|W2,%£Z},则Mn鑫N=()

A.{x|0<x^2,x^RJB.{x|0V%W2,x£Z}

C.{-1,-2,1,2}D.{1,2,3}

4.不等式|x+l|V5的解集为.

课堂探究•素养提升——强化创新性

题型1不等式组的解集［经典例题］

例1解不等式组，并把解集在数轴上表示出来:

［2x+3>1,

(1)

lx-2<0；

x+l、1

X---------->-，

(2)22

、x+8<4x—1.

方法屋他

一元一次不等式组的求解策略

熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此类问

题的关键.

跟踪训练I不等式组巴的解集是()

A.{x\x<—2}B.{x|—2〈xWl}

C.{x［xW—2}D.{x|x］一2}

题型2解绝对值不等式［教材P66例题2］

例2设数轴上点A与数3对应，点B与数X对应，已知线段AB的中点到原点的距离

不大于5,求x的取值范围.

【解析】因为的中点对应的数为等，所以由题意可知|等|W5,即|3+x|W10,因

此一10W3+xW10,所以一13WxW7,因此x的取值范围是［—13,7］.

【答案】［—13,7］

方法归他

含有绝对值的不等式的解题策略

解含有绝对值的不等式，总的思路是同解变形为不含绝对值的不等式，但要根据所求不

等式的结构，选用恰当的方法.此题中有两个绝对值符号，故可用绝对值的几何意义来求解，

或用分区间讨论法求解，还可构造函数利用函数图象求解.

跟踪训练2解不等式3W|x—2|<4.

题型3数轴上的基本公式及应用［经典例题］

例3已知数轴上的三点A、B、尸的坐标分别为A(—1),8(3),尸(x).

(1)点尸到A,B两点的距离都是2时，求P(x),此时P与线段AB是什么关系？

(2)在线段AB上是否存在一点P(x),使得P到A和B的距离都是3?若存在，求P(x),

若不存在，请说明理由.

方法核病

数轴上基本公式的应用

(1)已知数轴上两点的坐标可用两点间的距离公式求距离，若已知两点间的距离，也可

用距离公式求相应点的坐标；

(2)中点坐标公式可以解决三点共线问题.其中已知两点坐标，可用公式求第三点的坐

标.

跟踪训练3已知数轴上有点A(—2),8(1),0(3),点C在射线BA上，且有翌=[,问

在线段CD上是否存在点E使胃=；?如存在，求点E坐标，如不存在，请说明理由.

ED4

2.2.2不等式的解集

新知初探咱主学习

知识点三

\a-b\手

［基础自测］

1.解析：根据数轴标好相应的点易判断.

答案：c

2.解析：由，x—4>0,可得『<—2,则x<-2,故选A.

Ix-3<0,Ix<3,

答案:A

3.解析：由题得N={x|—1WXW3,A-£Z}={-1,0,1,2,3},所以Mn巍N={1,2,

3).故选D.

答案：D

4.解析：|x+1|<5=>—5<x+1<5=>—6<x<4.

答案：{x|—6<%<4}

课堂探究•素养提升

例1【解析】分别求出各不等式的解集，再求出各个解集的交集，并在数轴上表示

出来即可.

(1)解不等式2%+3>1,得x>—1,

解不等式x—2<0,得x<2,

则不等式组的解集为｛R—l<x<2｝.

将解集表示在数轴上如下：

(2)解不等式x—等>|,得x>2,

解不等式尤+8<4x—1,得x>3,

则不等式组的解集为｛x|x>3｝,

将不等式组的解集表示在数轴上如下:

跟踪训练1解析：/x+1*3,?解①，得尤wi,解②，得x<—2,

l-x-2>0,②

...不等式组的解集为｛x|x<—2｝,故选A.

答案：A

跟踪训练2解析：此题的不等式属于绝对值的连不等式，求解时可将其化为绝对值的

不等式组再求解.

原不等式等价于依①

②

由①，得%—2W—3,或x—223,1•xW—1,或x25.

由②，得—4<x—2<4,/.—2<x<6.

如图所不，原不等式的解集为｛x|—2<xW—1或5W%<6｝.

例3【解析】根据数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式求解.

⑴由题意知｛HU可以化为｛x：34或已建苒或『、+'=六

或

x+l=—2,解得x=l.

x_3-2.

.•.点尸由坐标为尸⑴，此时P为A的的中点.

(2)不存在这样的P(x),理由如下：

VAB=|3-(-l)|=4<6,

在线段AB上找一点尸使|E4|+|PB|=3+3=6是不可能的.

跟踪训练3解析：设C(x),E(x),则替x=—5,所以