北京市文汇中学2026-2027学年度第一学期期中考试九年级数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市文汇中学2026—2027学年度第一学期期中考试九年级数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.已知是关于的方程的一个根，则的值为（

）A. B. C. D.3.点为坐标原点，若的半径为，则点与的位置关系是（

）A.点在圆外 B.点在圆上 C.点在圆内 D.不能确定4.二次函数，下列说法正确的是（

）A.开口向上 B.对称轴

C.顶点 D.当，随增大而增大5.如图，在RtABC中，ACB=，A=，AC=2，将ABC绕点C按逆时方向旋转得到A'B'C，此时点A'恰好在边AB上，则点AA'的长度为(

)

A.4 B.2 C.2 D.6.固态电池被视为下一代动力电池的核心方向．假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为(

)A. B. C. D.7.如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接，，已知的值为8，则的面积为（

）

A.2 B.3 C.4 D.68.在平面直角坐标系中，半径为，点，点是上第一象限内一点．过点作圆的弦，若圆心到弦的距离等于线段长度的一半，则称点为点的“等距伴点”．给出下面四个结论：①能够找到点，使得在轴上有的“等距伴点”；②能够找到点，使得在轴负半轴上有的“等距伴点”；③能够找到点，使得在直线上有的“等距伴点”；④能够找到点，使得在第四象限内有的“等距伴点”．上述结论中，正确结论的个数是（

）A.个 B.个 C.个 D.个二、填空题：本题共8小题，共25分。9.将二次函数向下平移个单位，得到新的抛物线的解析式为

．10.在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点是

．11.如图，四边形内接于，为的延长线上的一点。若，则的度数是

.​​​​​​​12.圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，圆锥状聚伞花序尖塔形，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．如图是按照其形状制作的圆锥绣球模型，其底面周长为，高度为，则此圆锥的侧面积为

（结果保留）

13.已知函数的图象，当x≥-2时，y的取值范围是

.14.在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则

（填“”“”或“”）．15.函数与的图象如图所示，则不等式的解集是

16.手工社团要制作“梅、兰、竹、菊”四种主题书签，每张书签都必须先由小明设计版面，再由小红书写文字．同一人同一时间只能制作一张书签，且每张书签必须在小明完成设计后，小红才能开始书写．两人完成每张书签各自工序所需时间如下：主题梅兰竹菊小明设计版面/分钟小红书写文字/分钟(1)如果按照“梅兰竹菊”的顺序制作，两人合作完成这四张书签的总时间为

分钟；(2)若想用最短的时间完成这四张书签的制作，则最短的制作时间为

．三、计算题：本大题共1小题，共4分。17.解方程：．四、解答题：本题共11小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题5分)

已知关于的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若是正整数，方程的两个不相等的实数根都是整数，求的值．19.(本小题5分)如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．

(1)以点为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的；(2)求出点到旋转经过的路径长（结果保留）．20.(本小题5分)为了培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质，某校规划出矩形苗圃．已知苗圃的一边靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，并在如图所示的两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，设苗圃的一边长为．

(1)用含的代数式表示苗圃靠墙一边的长是

．(2)若苗圃的面积为，求的值．21.(本小题5分)二次函数中的，的部分取值如下表：…………根据表中数据填空：(1)该函数图象的对称轴是

；(2)与轴的交点坐标是

(3)画出该二次函数的图象；(4)结合图象，当时，的取值范围是

；(5)结合图象，方程有两个不相等的实数解，的取值范围是

．22.(本小题5分)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．点坐标为．

(1)求，的值；(2)若直线与反比例函数和一次函数图象分别交于点和点，已知，求的值．23.(本小题5分)如图，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“破浪于川湄”，“斡流于波面”，“多寄临川之郡”，描述了筒车的工作原理和应用场景．如图，筒车盛水桶的运动轨迹是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，被水面截得的弦长为米，的半径米，若是运动轨道的最低点（劣弧的中点），求点到水面的距离．

24.(本小题5分)如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，对角线，交于点，．

(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．25.(本小题5分)第届国际足联世界杯点燃了全球足球热情，在比赛中，赛场使用半自动识别系统，通过高速摄像头与足球内置传感器，采集足球在空中飞行的位置数据．如图为某一时刻系统监测到的画面的示意图，足球的飞行轨迹可近似看作一条抛物线，攻球员位于点，守门员位于点，直线与球门线交于点，已知，．足球离地高度与水平距离（水平距离水平速度×时间）的数据如下表：…………(1)求与的函数表达式：(2)已知守门员的最大防守高度为．当守门员位于足球正下方时且足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．①若守门员选择原地接球，能否防守成功？请通过计算说明理由；②通过系统监测，足球飞行的水平速度为．若守门员在攻球员射门瞬间就作出面对足球后退的防守反应，请计算守门员成功防守的最小后退速度．26.(本小题5分)

在平面直角坐标系中，点为直线上的一动点，的横坐标为，抛物线的顶点为，且二次项系数为．(1)①点的纵坐标为

（用含，的代数式表示）；②抛物线的解析式为

（用含，的代数式表示）；(2)当时，抛物线不经过原点，求的取值范围．27.(本小题5分)在中，且，点在线段上（点与点，不重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作交直线于点．

(1)如图1，当点与点重合时，求证：；(2)如图2，当点与点不重合时，过点作交直线于点，①依题意补全图2；②用等式表示与之间的数量关系，并证明．28.(本小题5分)对于平面内的三个点，，，给出如下定义：连接，若将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至，使得，则称点是点关于点的“度倍折点”．在平面直角坐标系中：(1)如图，已知点，点．①若点是点关于点的“度倍折点”，则点的坐标为

；②若点在线段上，点是点关于原点的“度倍折点”，则点的纵坐标的最大值为

(2)如图，正方形以原点为中心，边长为，且各边分别与坐标轴平行，已知点，点，边交轴于点．点是正方形内部的一点，且满足．①若点是点关于点的“度倍折点”，求点横坐标的取值范围；②已知点，的半径为，点在上或其内部．若线段上存在点，使得存在点，，满足点是点关于点的“度倍折点”，直接写出的取值范围．

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】

10.【答案】

11.【答案】65°

12.【答案】

13.【答案】y≥1或y＜0

14.【答案】

15.【答案】

或

16.【答案】【小题1】

【小题2】分钟

17.【答案】解：，由，∵，∴，∴．

18.【答案】【小题1】证明：在中，，，，判别式，∵对任意实数，都有，即，∴方程总有两个实数根；【小题2】解：将原方程因式分解，得，解得，，方程的两个不相等的实数根都是整数，为整数，且，，是正整数，．

19.【答案】【小题1】如图所示：【小题2】解：已知，，则，因为点到点旋转经过的路径是以点为圆心，的长为半径，圆心角为的弧所以点到旋转经过的路径长．

20.【答案】【小题1】​​​​​​​【小题2】解：由（1）可知：，整理得：，解得：，当时，则，不符合题意，舍去；∴．

21.【答案】【小题1】直线【小题2】​​​​​​​【小题3】如图所示为二次函数图象：【小题4】​​​​​​​【小题5】​​​​​​​

22.【答案】【小题1】解：将代入，得：，即，∴，∵在的图象上，∴，即，∴反比例函数解析式：；【小题2】当时，，，∵，∴，解得：（不满足，舍去）经检验是原方程的解，∴．

23.【答案】解：如图，连接，设与相交于点，由题意得米，米，是运动轨道的最低点（劣弧的中点），米，，（米），米，答：点到水面的距离为1米．

24.【答案】【小题1】证明：为的直径，，，，点为的中点，，，，，，，，，，是的切线；【小题2】解：，，，，，，，

25.【答案】【小题1】解：由表格可知，当和时，h的值相同，∴对称轴为直线，∴顶点坐标为，∴设与的函数表达式为，将，代入得，，解得：，∴与的函数表达式为；【小题2】①不能，理由：∵，，∴，由表格可知：当时，，∵守门员的最大防守高度为，，∴若守门员选择原地接球，不能防守成功；②由题意可知，当守门员刚好接到球时，球的离地高度为，当时，，解得：，由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，则舍去，此时，即足球的飞行距离为，守门员最少后退，∵足球飞行的水平速度为，∴足球飞行的时间为，∴守门员后退时间为，∴守门员成功防守的最小后退速度为．

26.【答案】【小题1】

​​​​​​​【小题2】解：对于，当时，，即抛物线C过点，设抛物线C与y轴的交点坐标为，∴，即c是关于t的二次函数，且开口向上，对称轴为直线，∴当时，c随t的增大而增大，当时，，当时，，∴当时，，∵当时，抛物线不经过原点，∴或，解得：或．∵，∴k的取值范围为或．

27.【答案】【小题1】证明：点与点重合，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，，，，，，又，四边形是平行四边形，；【小题2】解：①如图所示；②，证明如下：如图，设的中点为，连接，，，，，，由旋转得，，，，又，，，在和中，，，，，，，为直角三角形，，，，，又，，．

28.【答案】【小题1】

4【小题2】解：①∵为定角，为定弦，且点是正方形内部的一点，∴点的轨迹是以点为圆心，为直径的圆弧（不含点，），又∵点是点关于点的“度倍折点”，∴如图，此时需讨论点，的临界点位置：当点位于点处时，则点位于点处，当点位于点处时，则点位于点处，当点位于点处时，则点位于点处，∴点的轨迹是以点为圆心，长为半径的圆弧（不含点，），当点位于圆弧与轴交点时，点横坐标存在最大值，∵，，，∴，又∵，∴，∴，即，∴点横坐标的取值范围是；②由①知，点的轨迹是以点为圆心，为直径的圆弧（不含点，），由题意知，将线段绕点逆时针旋转，如图，当点位于点处时，则点位