2025届高三一轮复习数学试题(人教版新高考新教材)考点规范练57　离散型随机变量的数字特征

考点规范练57离散型随机变量的数字特征一、基础巩固1.若离散型随机变量X的分布列为X01Paa则E(X)等于()A.2 B.2或12 C.12 D2.现有一个项目,对该项目投资10万元,一年后的利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16,12,13.A.1.18 B.3.55 C.1.23 D.2.383.(多选)袋内有除颜色外其他完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个球,直到取出白球后停止,则()A.取2次后停止的概率为3B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球个数的概率为9C.取球次数X的均值为2D.取球次数X的方差为94.(多选)若随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=13,则下列结论正确的是(A.E(X)=23 B.E(3X+2)=C.D(3X+2)=4 D.D(X)=45.某公司有5万元资金用于投资某开发项目,若成功,则一年后可获利12%;若失败,则一年后将损失全部资金的50%.统计过去200例类似投资项目的结果如表所示.投资成功投资失败192例8例则估计该公司投资该项目一年后可获收益的均值为元.

6.已知离散型随机变量X满足P(X=x1)=23,P(X=x2)=13,x1<x2,E(X)=49,D(X)=2,则x1+x2=7.某袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球,全为黑球的概率为110,则黑球的个数为;若记取出的3个球中黑球的个数为X,则D(X)=.8.空气质量指数(AirQualityIndex,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数.环保部门记录了某地区7天的空气质量指数,其中,有4天空气质量为优,有2天空气质量为良,有1天空气质量为轻度污染.现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究,则抽取的3天中至少有1天空气质量为良的概率为;记X表示抽取的3天中空气质量为优的天数,则随机变量X的均值为.

9.现有甲、乙两个项目,对甲、乙两个项目分别投资20万元,甲项目一年后利润是1万元、2万元、4万元的概率分别是12,13,16;乙项目的利润随乙项目的价格变化而变化,乙项目在一年内,价格最多可进行两次调整,每次调整的概率为p(0<p<1),设乙项目一年内价格调整次数为X,当X取0,1,2时,一年后利润分别是3万元、2万元、1万元.设(1)写出Y1,Y2的概率分布列和均值;(2)当E(Y1)>E(Y2)时,求p的取值范围.10.某企业计划在某地建立饮品基地进行饮品A,B,C的研发.(1)在对三种饮品市场投放的前期调研中,对100名试饮人员进行抽样调查,得到对三种饮品选择情况的条形图.若饮品A每件的利润为4元,饮品B每件的利润为3元,饮品C每件的利润为7元,请估计三种饮品每件的平均利润.(2)为进一步提高企业利润,企业决定对饮品C进行加工工艺的改进和饮品D的研发.已知工艺改进成功的概率为45,新饮品研发成功的概率为13①求工艺改进和新饮品研发恰有一项成功的概率;②若工艺改进成功,则企业可获利80万元,否则亏损30万元;若饮品研发成功,则企业可获利150万元,否则亏损70万元.求该企业获利X的均值.二、综合应用11.某大学对该校参加了某博览会的志愿者实施“社会教育实践”学分考核,因该批志愿者表现良好,该大学决定考核只有合格和优秀两个等次,已知某志愿者考核为合格,授予0.5个学分;考核为优秀,授予1个学分.假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为45,(1)求在这次考核中,甲、乙、丙三名志愿者中至少有一名考核为优秀的概率;(2)记这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量X,求随机变量X的分布列和均值E(X).12.某环保机器制造商对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案.方案一:交纳延保金5000元,在延保的5年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费1000元;方案二:交纳延保金6230元,在延保的5年内可免费维修4次,超过4次每次收取维修费t(1000≤t≤2000)元.该制造商搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内的维修次数,统计得到下表.维修次数0123机器台数20408060以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率,记X表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数.(1)求X的分布列;(2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据,为使选择方案二对客户更合算,应把t定在什么范围?三、探究创新13.某学校为鼓励家校互动,与某手机通信商合作,为教师办理流量套餐.为了解该校教师手机流量使用情况,通过抽样,得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L(单位:G)的数据,其频率分布直方图如下:若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量,并将频率视为概率,回答以下问题.(1)从该校教师中随机抽取3人,求这3人中至多有1人手机月使用流量不超过3G的概率;(2)现该通信商推出三款流量套餐,详情如下:套餐名称月套餐费/元月套餐流量/GA203B305C387这三款套餐都有如下附加条款:套餐费月初一次性收取,手机使用流量一旦超出套餐流量,系统就自动帮用户充值2G流量,资费20元;如果又超出充值流量,那么系统就再次自动帮用户充值2G流量,资费20元,以此类推.如果当月流量有剩余,那么系统将自动清零,无法转入次月使用.学校欲订购其中一款流量套餐,为教师支付月套餐费,并承担系统自动充值的流量资费的75%,其余部分由教师个人承担,则学校订购哪一款套餐最经济?说明理由.

考点规范练57离散型随机变量的数字特征1.C由题意知a2+a22=1,a>0所以E(X)=0×12+1×12.A由题意可知E(X)=1.2×16+1.18×12+1.17×13.BD依题意,取球次数X的可能取值为1,2,3,P(X=1)=35,P(X=2)=25×34=310,P(故E(X)=1×35+2×310D(X)=1设事件A=“取2次后停止”,B=“停止取球时,取出的白球个数不少于黑球个数”,则P(A)=P(X=2)=310,P(B)=P(X=1)+P(X=2)=910.4.AB因为随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=13所以P(X=1)=23所以E(X)=0×13+1D(X)=0所以E(3X+2)=3E(X)+2=4,D(3X+2)=9D(X)=2.故选AB.5.4760依题意,用频率估计概率,可知一年后获利6000元的概率为0.96,获利-25000元的概率为0.04,故估计一年后可获收益的均值为6000×0.96+(-25000)×0.04=4760(元).6.179由题意可知E(X)=23x1+13xD(X)=x1-4因为x1<x2,所以x1=-59,x2=229.所以x1+x7.3925设黑球的个数为n,由题意可知C解得n=3.X的可能取值为1,2,3,P(X=1)=C2P(X=2)=C2P(X=3)=C故X的分布列为X123P331E(X)=1×310+2×35D(X)=18.57127依题意,从7天中随机抽取3天,有C73=35(种)取法,其中至少有1故抽取的3天中至少有1天空气质量为良的概率为25由已知得X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C3P(X=1)=C4P(X=2)=C4P(X=3)=C故E(X)=0×135+1×1235+29.解(1)依题意,Y1的分布列为Y1124P111Y2的分布列为Y2321P(1-p)22p(1-p)p2则E(Y1)=1×12+2×13E(Y2)=3×(1-p)2+2×2p(1-p)+1×p2=3-2p.(2)由E(Y1)>E(Y2),得3-2p<116,解得p>又0<p<1,所以712<p<1,所以p的取值范围是10.解(1)根据题中条形图可得样本中选择饮品A的频率为0.35,选择饮品B的频率为0.45,选择饮品C的频率为0.2,则样本中三种饮品每件的平均利润为4×0.35+3×0.45+7×0.2=4.15(元).故估计三种饮品每件的平均利润为4.15元.(2)①设事件A=“工艺改进成功”,B=“新饮品研发成功”,C=“工艺改进和新饮品研发恰有一项成功”.由题意可知A,B相互独立,P(A)=45,P(B)=1故P(C)=P(AB)+P(AB)=4②由已知得X的可能取值为-100,10,120,230,P(X=-100)=15P(X=10)=45P(X=120)=15P(X=230)=4故E(X)=-100×215+10×815+12011.解(1)记“甲考核为优秀”为事件A,“乙考核为优秀”为事件B,“丙考核为优秀”为事件C,“甲、乙、丙三名志愿者中至少有一名考核为优秀”为事件E,则事件A,B,C相互独立,事件ABC故P(E)=1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)(2)依题意,X的可能取值为32,2,52,则PX=32=P(AP(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(APX=52=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)P(X=3)=P(ABC)=16故X的分布列为X3253P18416E(X)=32×145+212.解(1)依题意,每台机器维修次数为0,1,2,3的概率分别为110,15,25,310,X的所有可能取值为0,1,则P(X=0)=110×110=1100,P(X=1)=110×15×2=125,P(X=2)=110×25×P(X=4)=310×15×2+25×25=725,P(X=5)=3故X的分布列为X0123456P11311769(2)选择方案一,设所需费用为Y1元,则当X≤2时,Y1=5000,当X=3时,Y1=6000,当X=4时,Y1=7000,当X=5时,Y5=8000,当X=6时,Y1=9000,故Y1的分布列为Y150006000700080009000P1711769E(Y1)=5000×17100+6000×1150+7000×725+8000×625+9选择方案二,设所需费用为Y2元,则当X≤4时,Y2=6230,当X=5时,Y2=6230+t,当X=6时,Y2=6230+2t,故Y2的分布列为Y262306230+t6230+2tP6769E(Y2)=6230×67100+(6230+t)×625+(6230+2t)×9100要使选择方案二对客户更合算,则E(Y2)<E(Y1),即6230+21t50<6解得t<1500.又1000≤t≤2000,所以1000≤t<1500.故t的取值范围为[1000,1500).13.解(1)记“从该校随机抽取1位教师,该教师手机月使用流量不超过3G”为事件D.依题意,P(D)=(0.0008+0.0022)×100=0.3.从该校教师中随机抽取3人,设这3人中手机月使用流量不超过3G的人数为X,则X~B(3,0.3),所以从该校教师中随机抽取3人,至多有1人手机月使用流量不超过3G的概率为P(X=0)+P(X=1)=C30×0.30×(1-0.3)3+C31×0.3×(1-0.3)2=0.343+0.(2)依题意,从该校随机抽取1位教师,该教师手机月使用流量L∈(3,5]的概率为(0.0025+0.0035)×100=0.6,L∈(5,7]的概率为(0.0008+0.0002)×100=0.1.当学校订购A套餐时,设学校为1位教师承担的月费用为X1,则X1的所有可能取值为20,35,50,且P(X1=20)=0.3,P(X1=35)=0.6,P(X1=50)=0.1,所以X1的分布列为X1203550P0.30.60.1所以E(X1)=20×0.3+35×0.6+50×0.1=3