高中数学《平面向量的实际背景及基本概念》导学案

第1章平面向量

DIERZHANG2.1平面向量的实际背景及基本概念

卜课前白主预习

1.向量与数量

（1）向量：U［既有大小，又有方向的量叫做向量.

（2）数量：图只有大小，没有方向的量称为数量.

2.向量的表示

带有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：.因起点、国

方向、宣长度.

几何表示：用⑹有向线段来表示向量，匕］有向

线段的长度表示向量的大小，⑻箭头所指的

方包表示向量的方向，即用有向线段的起点、

表示法终点字母表示.如X方，…

字母表示：用小写字母a",c,…表示（手写时

必须加箭头）

3.向量的有关概念

向量名称定义

零向量囱长度为0的向量，记作0

单位向量⑩长度等于1个单位的向量

面方向相同或相反的非零向量；向量

平行向量

平行，记作a〃仇规定：圜零向量

(共线向量)

与任一向量平行

圜长度相等且方向相同的向量；向量

相等向量

a.b相等，记作a=b

鼠］自诊小测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“义”)

(1)两个向量能比较大小.()

(2)向量的模是一个正实数.()

(3)单位向量的模都相等.()

(4)向量与向量区4是相等向量.()

答案(1)X(2)X(3”(4)X

2.做一做

(1)下列说法正确的是()

A.若⑷则♦>:

B.若⑷=步|,则♦=>

C.若a=b,则。与b共线

D.若aWb,则。一定不与b共线

答案C

解析向量不能比较大小，故A错误；\a\=\b\,但方向不一定相

同，故B错误；瓦但。与〜可能方向相同或相反，即a与〃可能

共线，故D错误.

—►—►

(2)如图，四边形4BCD中，AB^DC,则必有()

\.AD=CB

-A-A

B.OA=OC

—►—►

C.AC=DB

—►—■►

D.DO=OB

答案D

—►-►

解析•.•四边形A3CQ中，A8=QC,：.AB=CD,AB//CD,：.

-A-A

四边形ABC。为平行四边形，：.DO=OB.

-A-►

(3)AA5C是等腰三角形，则两腰上的向量A3与4c的关系是

答案模相等

解析因为△ABC是等腰三角形，所以A8=4C,

—►—►

即|A8|=|AC1.

(4)(教材改编P77习题2.1A组T3)如图所示，四边形ABCD为正

方形，△3CE为等腰直角三角形，

①图中与A8共线的向量有；

-A

②图中与AB相等的向量有；

—>

③图中与A8模相等的向量有；

­►

④图中与£C相等的向量有.

—>―►—>—►—►-A—►

答案①。C,CD,BE,EB,AE,EA,BA

­►—>

@DC,BE

—>—>—>—►-►—>—►—►­►

③。C,CD,BA,BE,EB,DA,AD,CB,BC

@BD

解析根据向量共线、相等和向量模的定义观察图形可知.

卜课堂互动探究

探究1向量的有关概念

例1下列说法正确的是（）

A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小

B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小

C.向量的大小与方向有关

D.向量的模可以比较大小

解析A项，不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，不正

确；B项，方向相同的向量也不能比较大小，不正确；C项，向量的

大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，不正确；D

项，向量的模是一个数量，可以比较大小，正确.

答案D

拓展提升

解决与向量概念有关问题的方法

解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和

长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等

向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制,

但长度都是一个单位；零向量的核心是方向没有限制，长度是0;规

定零向量与任一向量共线.只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与

向量概念有关的问题.

【跟踪训练1】给出下列命题：

-A—►

①若向量b=BA,则⑷=|回；

②若a是单位向量，b也是单位向量，则a与力的方向相同或相

反；

—►—►

③若向量A3是单位向量，贝UBA也是单位向量；

④以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集

合是以A为圆心的单位圆.

其中正确的个数是.

答案3

-►

解析①正确，由于⑷=H3|=|A8|,

-A

\b\=\BA\=\BA\=\AB\,因此有⑷=|例.

②不正确，由单位向量的定义知，凡长度为1个单位的向量均称

为单位向量，但是对方向没有任何要求，因此说法②不正确.

―►―►—►-►

③正确，因为|AB|=|R4|,所以当A3是单位向量时，5A也是单位

向量.

-►

④正确，由于向量|A尸1=1,所以点尸是以点A为圆心的单位圆

上的一点.反过来，若点P是以点A为圆心，1为半径的单位圆上的

任一点，则由于|AP|=1,所以向量AP是单位向量，因此说法④正确.

探究2向量的几何表示

例2某人从A点出发向东走了5米到达3点，然后改变方向按

东北方向走了16拉米到达。点，到达。点后又改变方向向西走了10

米到达D点.

(1)作出向量AB,BC,CD；

-A

(2)求的模.

—►—►-►

解(1)作出向量AB,BC,CD如图所示:

(2)由题意得，△8CQ是直角三角形，其中N8DC=90。，BC=

米，CD=10米，所以80=10米.△ABD是直角三角形，其中

ZABD=90°,AB=5米，BD=10米，所以AD=^/52+(10)2=5A/5

-A

(米).所以|AD|=5小米.

拓展提升

向量的两种表示方法

(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根

据向量的长度确定向量的终点.

(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a,8，c表示，为了联系

平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示

―►—►-►

向量，如A3,CD,EF等.

【跟踪训练2】某次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对

蓝军的穿插包围，先从A处出发向西迂回了100km到达B地，然后

又改变方向向北偏西40。走了200km到达C地，最后又改变方向，

向东突进100km到达。处，完成了对蓝军的包围.

—►—►―►

(1)作出向量AB,BC,CD；

―►

(2)求|AD|.

—►—►-►

解(1)向量43,BC,CD,如图所示.

南

(2)由题意，易知AB与CZ)方向相反，故与CZ)共线.

又|AB|=|CD|,.•.在四边形49CD中，A3触CQ,

二.四边形ABCD为平行四边形.

—►―►—►-►

：.AD=BC,|AD|=|Sq=200km.

探究3相等向量与共线向量

例3①若⑷=|可，则。=岳

②若4,B,C,。是不共线的四点，贝ijAB=DC是四边形ABCQ

是平行四边形的充要条件；

③若a=A,b=c,则G=C；

\a\=\b\,

④两向量mb相等的充要条件是

a////bt；

⑤|。|=步|是向量a=b的必要不充分条件；

—►—►

⑥43=CD的充要条件是4与C重合、B与。重合.

其中真命题的个数是.

解析①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相

同，因此由|a|=|可推不出a=b.

—►-►

②正确..「AB=DC,

―►―►―►—►

.•.依8|=|。。|且43〃。。.

又TA,B,C,。是不共线的四点，

二.四边形ABCQ是平行四边形.反之，若四边形A3C。是平行

—~>—►­►―~>

四边形，贝触QC,且A3与。。方向相同，因此A6=QC

③正确.「.a,b的长度相等且方向相同.

又.：b=c,；.b,C的长度相等且方向相同，C的长度相等且

方向相同.故。=心

④不正确.当。〃仇但方向相反时，即使⑷=|回，也不能得到。

|。|=|加，

=b,故〃八不是的充要条件.

a//b,

⑤正确.这是因为⑷=|可亍。=从但。=。=同=|例，所以⑷=|加

是a=b的必要不充分条件.

-A-A-A-A

⑥不正确.这是因为AB=C。时，应有|4B|=|CQ|及由A到3与C

到。的方向相同，但不一定要有A与C重合'8与。重合.

答案3

—>―►

例4如图所示，0是正六边形A8CDE/的中心，且OA=a,OB

―►

=b,OC=c.

(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？

(2)与a共线的向量有哪些？

(3)请---列出与a,b,c相等的向量.

—►―►—►-►

解(1)与a的长度相等'方向相反的向量有QD,BC,AO,FE.

—►―►—►―►―►—►—►-►

(2)与a共线的向量有Eb,BC,OD,FE,CB,DO,AO,DA,

―►

AD.

-A—►—►-A—►

(3)与a相等的向量有EEDO,CB；与b相等的向量有OC,EO,

FA-,与c相等的向量有厂O,ED,AB.

—►

［结论探究］本例条件不变，试写出与向量3c相等的向量.

—►—►-►

解OD,AO,FE.

［综合探究］在本例中，若⑷=1,则正六边形的边长如何？

解因为A3CQE/是正六边形，⑷=1,所以正六边形的边长也

是1.

拓展提升

共线向量与相等向量的区别与联系

相等向量是指大小相等且方向相同的向量，共线向量是方向相同

或相反的非零向量，共线向量也叫平行向量.相等向量一定是共线向

量，而共线向量不一定相等.向量相等具备传递性，而向量的共线不

具备传递性.

【跟踪训练3】下列命题：

①两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同；

-►-A

②若非零向量A3与CD是共线向量，则A,B,C,D四点共线;

③若a〃方且b〃c,贝lja〃c；

-A-A

④若四边形A3co是平行四边形，则一定有A3=QC

其中真命题的个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

答案B

解析相等向量起点相同时，终点必相同，故①错误；向量的共

—►-►

线不同于点共线，故当AB与CQ共线时，四点A,B,C,。不一定共

—►

线，即②错误；当6=0时，a与c没有任何关系，故③错误；AB与

—>—►­►

0c同向且等长，贝故④正确.

【跟踪训练4】如图所示，四边形

ABCD与ABDE是平行四边形.

(1)找出与向量A3共线的向量；

—►

(2)找出与向量A3相等的向量.

―►—►—►—►—►-►

解(1)依据图形可知，DC,ED,EC与4B方向相同，BA,CD,

-A—>―A-►—>-A-►

DE,CE与AB方向相反，所以与向量AB共线的向量为区4,CD,DC,

-A-A—►-►

ED,DE,EC,CE.

—►-►-A

(2)由四边形ABCD与ABQE是平行四边形，知。C,EQ与A3长

—►―►—►

度相等且方向相同，所以与向量A8相等的向量为QC和ED

f------------------------------------------1瑾黜加-----------------

1.向量与数量的区别

(1)向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量是一

个代数量，没有方向；

(2)数量可以比较大小，而向量无法比较大小，即使⑷>|加，也不

能说a>b；

(3)0与0不同.0表示数量，但0表示零向量，其中|0|=0.

2.向量与有向线段

区别：从定义上看，向量有大小和方向两要素，而有向线段有

起点、方向、终点三要素，因此这是两个不同的量.

联系：向量可以用有向线段表示，但这并不是说向量就是有向

线段.

3.共线向量与相等向量

(1)共线向量的定义指的是非零向量的共线问题；

(2)共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合，与平

面几何中的“共线”“平行”不同；

(3)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向

量.共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方

向均相同.

特别注意：(1)判断两个向量的关系：一要判断大小，二要判断

方向，如遇上零向量，必须注意其方向的任意性.

(2)定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方

向.我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小

相等，但方向不一定相同.

卜课堂达标自测

1.有下列物理量：

①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功.

其中，不是向量的个数是()

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析速度、力、加速度这3个物理量是向量，它们都有大小和

方向，其余的不是向量.

2.在下列判断中，正确的是()

①长度为0的向量都是零向量；

②零向量的方向都是相同的；

③单位向量的长度都相等；

④单位向量都是同方向；

⑤任意向量与零向量都共线.

A.①②③B.②③④

C.①②⑤D.①③⑤

答案D

解析由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个

零向量的方向是否相同不确定，故不正确.显然③⑤正确，④不正确.

3.如图，在圆。中，向量OB,OC,40是（）

A.有相同起点的向量

B.共线向量

C.模相等的向量

D.相等的向量

答案C

解析由图可知，三向量方向不同，但长度相等.

4.如图所示，以1X2方格纸中的格点（各线段的交点）为始点和

->

终点的向量中，与AF相等的向量有.

答案BE,CD

—►―►—►

解析因为各方格均为正方形，则有3E=CD=AE

5.如图，。是正方形4BCD的中心.

⑴写出与向量A3相等的向量；

-A

(2)写出与的模相等的向量.

―►-►

解(1)与向量AB相等的向量是QC

—►―►―►―►—►—►―►—►

(2)与0A的模相等的向量有：OB,OC,OD,BO,CO,DO,AO.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一'选择题

1.下列说法不正确的是（）

A.向量的模是一个非负实数

B.任何一个非零向量都可以平行移动

C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量

D.两个有共同起点且共线的向量终点也必相同

答案D

解析显然，选项A,B,C说法正确.对于D,由共线向量知，

两个有共同起点且共线的向量其终点不一定相同，故错误.故选D.

2.若向量a与方不相等，则a与方一定（）

A.不共线

B.长度不相等

C.不可能都是单位向量

D.不可能都是零向量

答案D

解析因为所有的零向量都是相等的向量.故选D.

3.若a为任一非零向量，力为模为1的向量，下列各式：

①⑷>网；②。〃D;③⑷>0；④|臼=±1,其中正确的是（）

A.①④B.③

C.①②③D.②③

答案B

解析。为任一非零向量，故⑷>0.故③正确；①②④都错误.

-►

4.数轴上点A,8分别对应一1,2,则向量A3的长度是（）

A.-1B.2C.1D.3

答案D

解析易知|A8|=2—(—l)=3.

—►—►—►-►

5.若H8|=|AD|且B4=CQ,则四边形A8CQ的形状为()

A.平行四边形B.矩形

C.菱形D.等腰梯形

答案C

—►—►—►-►

解析由84=C。知四边形为平行四边形；由|A8|=|A£)|知四边形

ABCD为菱形.

二'填空题

6.把同一平面内所有模不小于1,不大于2的向量的起点，移到

同一点。，则这些向量的终点构成的图形的面积等于.

答案37r

解析这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为兀—

7T-12=37T.

7.设G0,尻是两个单位向量，则下列结论中正确的是(填

序号).

①。0=加；②"0=—bo；③|“o|+伽|=2；④ao〃瓦.

答案③

解析因为4(),加都是单位向量，

所以|ao|=1,l》o|=1.

从而|“o|+伽1=2.

8.若A地位于3地正西方向5km处，C地位于A地正北方向

5km处，则C地相对于B地的位移是.

答案西北方向5gkm

解析根据题意画出图形如图所示，

由图可知13cl=5虚km,且NABC=45。，

故。地相对于3地的位移是西北方向5啦km.

三'解答题

9.如图所示，4X3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起

点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：

B

(1)与A3相等的向量共有几个；

-►

(2)与平行且模为g的向量共有几个？

—►

(3)与A3方向相同且模为3啦的向量共有几个？

―►­►

解(1)与向量4B相等的向量共有5个(不包括A8本身).

—►

(2)与向量AB平行且模为啦的向量共有24个.

-A

(3)与向量AB方向相同且模为3啦的向量共有2个.

10.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,

方格纸中有两个定点A,氏点。为小正方形的顶点，且依。|=由.

(1)画出所有的向量AC；

(2)求|8C|的最大值与最小值.

解(1)画出所有的向量4C,如图所示.

(2)由(1)所画的图知，

-►

①当点C位于点G或Q时，|BC|取得最小值yy+22=4；

—►

②当点C