高中数学单元教学设计：平面向量章复习

单元教学设计：平面向量章复习

一、单元教学内容及内容解析

1.内容：平面向量章复习.

建议用2课时.

2.内容解析

对向量内容的本质和所蕴含的数学思想、方法及其精神的把握，是理解向量

的决定性因素.通过本章的学习，学生已经知道数与形的紧密结合是本章的显著

特点，向量与几何之间存在着对应关系；向量又有加减、数乘及数量积等运算,

也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能沟通几何与

代数，从而给了我们一种新的数学方法一向量法.向量方法宜于把几何从思

辨数学化成算法数学，将技巧性解题化成算法解题，因此向量法是一种通法，复

习中要注意体会，同时，在复习中还应从总体上处理好以下几个关系：

处理好向量的概念、运算与平面向量基本定理的关系.这三个核心概念同在

概念外延的生长期，由于正交分解、坐标表示及坐标运算生成的需要，平面向量

基本定理尤为重要，这导致教学中很容易认为向量的概念已经完成历史使命，不

再对它的外延的生长加以注意，而导致学生对向量的概念的疑惑或异化，忽略了

对向量概念的本质教学.

处理好向量与物理背景的关系.向量是一个很抽象的东西，看不见摸不着,

赋予它形的东西，意义巨大，便于学生理解，但向量的背景与向量的概念的本质

毕竟是有距离的，形不是向量的内涵，如果学生对有向线段的形与向量的形不能

真正地区分开来，就不能正确地理解向量的内涵.

处理好直观理解与形式化理解的关系.在向量概念的教学中，以物理背景为

切入点，以有向线段为几何直观意义，这也会导致学生产生困惑或思想障碍：向

量是有向线段吗？向量究竟与起点有没有关系？海拔是向量吗？怎样表示零向

量？单位向量有几条？零向量的长度为什么为0,方向任意？对于向量a,b,a

>b有意义吗？等等.

基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：向量的章知识结构，向量知

识的内在联系，线性运算、坐标表示及其运算、数量积的理解运用.

二、单元教学目标及目标解析

1.目标

(1)通过本章知识网络结构，引导学生加深理解向量的概念与运算，平面向

量的基本定理及坐标表示，向量的应用等知识.

(2)通过本节对向量有关内容的复习，使学生进一步认识事物之间的相互转

化，培养学生的数学应用意识，深刻领悟数形结合思想，转化与化归思想.

(3)通过一题多解的活动，让学生掌握用向量法解题的一般方法.

2.目标解析

达成目标(1)的标志是：学生能熟练回答本章的学习内容以及各知识之间的

联系，并能用相关知识解决向量本身的问题；

达成目标(2)的标志是：学生能用向量知识解决简单的平面几何、物理中的

问题，会用向量法推导正弦定理和余弦定理，并用向量解决一些平面几何中的问

题；

达成目标(3)的标志是：学生知道运用向量法解题的一般方法，并通过基底

的思想体会到转化思想无处不在.

三、单元教学问题诊断分析

本章概念较多，学生可能不知如何进行复习，从头到尾重新翻看教材，学生

兴趣不大，效果也不好.在复习课教学中应注意多举例，引导学生思考并及时总

结，培养学生用向量工具解题的思维方向.在复习本章内容时，要注意引导学生

反思，重新概括研究思路，这样可以使学生体会向量中研究问题的思想方法，提

升学生的数学思维水平.

向量的重要性可与函数相比，函数思想是整个中学数学的最重要的思想之一,

它贯穿于整个中学的每一个学习阶段；而向量可作为一种重要的解题工具，渗透

于高中数学的许多章节，它与函数、三角、复数、立体几何、解析几何等知识的

联系是显而易见的.因此复习时，要特别重视向量概念、向量运算，并善于与物

理中、生活中的模型进行模拟和联想，利用直观的教学手段和方法，帮助学生正

确理解、掌握向量的有关概念、运算及几何意义.变抽象为形象，变被动接受为

主动运用向量的知识分析问题、解决问题，从而提高本章复习的教学质量.

基于以上分析，可以确定本节的教学难点是：向量的知识结构的构建和利用

向量解决物理问题、几何问题.

四、教学过程设计

第一课时

（-）课时教学内容

本章知识结构的构建；向量的线性运算；向量的坐标运算.

（二）课时教学目标

通过本章知识网络结构，引导学生加深理解向量的概念与运算，平面向量的

基本定理及坐标表示，向量的应用等知识.

（三）教学重点与难点

重点：知识结构框图的构建.

难点：熟练掌握向量的基本运算.

（四）教学过程设计

1.本章知识结构的构建

问题通过本章的学习，你能谈谈我们学习了哪些内容吗？

师生活动：

（1）师生一起回忆本章学习的内容，形成知识结构：

(2)在知识结构图构建中必须与学生共同探讨以下问题：

①向量的概念是什么？用有向线段如何表示一个向量？

②你能说说向量的加法、减法、向量的数乘运算、向量的数量积是如何定义

的吗？

③你能通过实例，说明向量的加法、向量的数乘运算、向量的数量积有哪些

运算律吗？这些运算律的几何意义是什么？这些运算律与数的运算律的联系与

区别是什么？

④平面向量基本定理是什么？这个定理的意义是什么？你能说说什么是向

量的坐标表示吗？

⑤你能用向量的坐标表示描述向量共线的条件吗？你能用向量的坐标表示

描述向量的长度及两个向量的夹角吗？

⑥用向量方法解决平面几何问题要经过哪些步骤？要注意哪些问题？你能

通过实例说明如何选择基底吗？

⑦你能通过实例，说明向量在物理中的应用吗？

⑧回顾用向量方法推导正弦定理、余弦定理的过程，你能总结一下其中的思

想方法吗？

(3)复习基础知识中需要注意以下知识要点：

①平面向量的基本概念

向量的概念、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念,

尤其注意单位向量与向量的平行与垂直的坐标形式的结合.

②向量的线性运算

向量加法的三角形法则与平行四边形法则，向量加法的多边形法则；向量减

法的三角形法则；数乘向量运算的性质和法则及运算律.解决三点共线、两线段

相等及两直线平行等问题的基本思路.

③平面向量基本定理及坐标表示

用平面向量基本定理和基底表示平面内任意一个向量；向量加、减与数乘运

算的坐标表示；向量共线的坐标表示.

④平面向量的数量积

平面向量的数量积是向量的核心内容，主要应掌握向量的数量积的定义、法

则和公式进行相关运算，特别是向量的模、夹角、平行与垂直等运算；能用向量

数量积的坐标形式求向量的模、夹角，证明向量平行或垂直，能解答有关综合问

题.

⑤平面向量的应用

一是要掌握平面几何中的向量方法，能用向量证明一些平面几何问题、能用

向量求解一些解析几何问题；二是能用向量解决一些物理问题，如力、位移、速

度等问题.

设计意图通过知识结构图回顾本章基本知识帮助学生建立向量知识网络.

2.本章基本方法提炼

【例11设坐标平面上有三点A,B,C,i,j分别是坐标平面上x轴，y轴

正方向的单位向量，若向量还=广纨就二"也-那么是否存在实数m使A,

B,C三点共线?

师生活动：(1)学生独立思考，并回答，教师根据学生的回答情况适当补

充，形成解题过程：

解析：方法1假设满足条件的m存在，由A,B,C三点共线，即花”就,

么=1,

._・,•优=-2,二・当加二一2时，4,

!加=一2,

B,C二点共线・"

方法2假设满足条件的掰存在，根据题意可知：？=(1>0),j=(0,1),...45=(1,0)

一2(0,1)=(1,-2),虎=(1,0)+加(0,1)=(1,掰)，由4B,。三点共线，^ABllBC,

故1"一1•(-2)=0,解得冽二一2,「.当加二一2时，4,3,C三点共线./

(2)教师追问：解决共线问题常用的思路有哪些？学生回答，教师补充.

证明向量平行(共线)的常用方法有：

①向蚩a、。(g0)共线=存在唯一实数7.,使》=及；，

②向量4=(X1,户)，5=(X2,刈)共线=XU2-X31=O；。

③向量a与。共线=；战］=团屈；<J

④向量a与b共线。存在不全为零的实数小，).2,使力。+上功=0.

判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说明此两直线有公共

点.

【例2】如图所示，已知△0.45中，点C是以月为中心的点5的对称点，。是将右分

成2：1的一个内分点，DC和。4交于E,设a=a,OB=b.

(D用a和b表示向量DC>

(II)若初=2或，求实数工的值.，

师生活动：(1)学生独立思考，并回答，教师根据学生的回答情况适当补充，形成解题

过程：，

解析：⑴依题意，.4是3C的中点，二2a=加+论，即洸=2a一,二2“一6.。

DC=OC-db=OC-^^=2a-b-^b=2a-^b.P

(II)设劭=).怎，则无=近一％=态一(2。一方)=«-2)a+b.P

,.金与虎共线，二存在实数h使a二蜕，a-2)a+b=42a—学)，解得，=*，

(2)教师追问：以上问题考查我们平面向量的线性运算，那么平面向量的

线性运算有哪些？一般可以运用线性运算解决哪些问题？

①向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性运算.主要

是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点

或向量的坐标等问题，而理解相关概念，用基底或用坐标表示向量是基础.

②向量是一个有"形"的几何量，因此在研究向量的有关问题时，一定要结

合图形进行分析判断求解，特别是平行四边形法则和三角形法则的应用.

[例3]已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).

⑴求证：AB_LAD;

(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐

角的余弦值.

师生活动：(1)学生独立思考，并回答，教师根据学生的回答情况适当补

充，形成解题过程：

解析:(1)'.'J(2,1),5(3,2),4),.,.18=(1,1),AD=(-3,3).~

,/AS1x(-3)+1x3=0,：.ABlADf

(^'.'ABVAD,四边形45CD为矩形，，石=比."

设C点坐标为(x,y),则成=(x+l,卜-4),...f'解得：_0'。

.•.点C坐标为(0,5),从而.公=(-2,4),筋=(一4,2),且就1=2弱，瓦)尸2也,<

就曲=8+8=16.，

设就与砺的夹角为依则|cos例==第=1.P

国"'2的205

...矩形438的两条对角线所夹锐角的余弦值为3P

(2)教师追问：求向量的夹角及垂直问题的基本方法是什么？

①求两个向量的夹角主要利用两个公式：

①cosd=Ei而，求解的前提是：求出这两个向量的数量积和填工

x凶+J'F

(ii)cos0—,求解的前提是：求出两个向量的坐标.

-Vx?+yi\jxi+v3

②解决垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一

样，若向量

能用坐标表示，将它转化为“x】X2+FU2=0”较为简单.

③用向量方法解决平面几何中的夹角与垂直问题的关键在于:选用适当向量

为基底，把

所要研究的问题转化为两向量的夹角与垂直问题，再利用向量知识求解.

【例4]设|a|=|b|=l,|3a-2b|=3,求13a+b|的值.

师生活动：（1）学生独立思考，并回答，教师根据学生的回答情况适当补

充，形成解题过程：

解析：方法二；:3公―2叫=3,9a2-12。力+4加=9.。

又'.'|a|=|*|=1,a-b=^.：.\3a+b\2=(3a+b^=9a2+6ab+b2=9+6x|+1=12.

.'.\3a+b\=2y[3.P

方法二设4=(X1,VI)b=(X2,)2)./

.'.Xi+>*?=xi^}i=1•〃

3a-2A—(3xi-2x2>3vi-2v2)>"

■,■|3«-2b\=J(35-IAJ+OM-ZJJ=3•「•xiX2+加：2J•

••|3a-d|=J(3X[+x]『+(3)j+%『=,9+1+6乂2=24.+,

(2)教师追问：求向量的长度(模)与距离的基本方法是怎样？

向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问

题的一个交汇点.一般地，求向量的模主要利用公式⑷。二出，将它转化为向量

的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以

解决,或利用公式⑷=后静，将它转化为实数问题，使问题得以解决.

(五)目标检测设计：

1.已知。为坐标原点,向蚩耳二(3sma,cosa)}<95=(2sinaf5sina_4cosa)^a€

曾，2兀)S.OA1OB,贝Utana的值为().«

4443

A.-7B.-7C.7D.9

3554

检测目标考查学生对向量垂直的条件、平面向量的坐标表示及其坐标运算、

向量的数量积的掌握情况.

2.已知点月(-1,2),B(2,8),及就=，方，DA=~^A.求点C,。和劭的坐标

检测目标：考查学生对平面向量的坐标表示、向量的线性运算的掌握情况.

3.设0＜同£2,式x）=cos2x-|公运x-。的最大值为0,最小值为一4,且a与b的夹角

为45°,求|a+b|.。

检测目标：考杳学生对平面向量的模、向量的数量积的掌握情况.

第二课时

（-）课时教学内容

向量的运用.

（二）课时教学目标

运用向量解决问题.

（三）教学重点与难点

重点、难点：向量的运用.

（四）教学过程设计

通过上一节课的复习，我们对本章的知识结构有了更深的理解，本节课我们

将通过两个问题的解决体会用向量解决问题的基本思想方法.

例1已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则助匈的

值为，51比的最大值为.

师生活动：教师引导：这是一个根据向量的几何表示求数量积问题.按照解

决这类问题的一般方法，解决本题的关键是将目标向量表示出来，这可以从几何

方面入手也可以从代数方面比如坐标队手，当然也可以从其几何意义入手.因

而，有以下几种解题思路和解题方法.

思路工：正方形邻边相互垂直，因此从投影角度考察向量的数量积韭赏方便.由

于所以方方济的几何意义是发在向量油上的投影；而要使炭灰最大只要使向量

员在向量比上的投影达到最大即可.。

解法二;：设向量加，扇的夹角为e,则助益=疫&=|疫H或tea破.，

由图可知，I方囱亶酸二近|,所以仍•无=|或F=I；。

要使油•灰最大只要使向量命在向量比上的投影达到最大即可，因为属在向量虎上

的投影达到最大为沅尸1,所以（动灰）》爪=沅|2=1.川

思路二：已知正方形边长为1,邻边垂直（即所在向量夹角为90。），因此可以选用正方

形两邻边所在向量（比如｛"，运｝）为基底，根据平面向量基本定理，表示疫，油，尻•等

向量，再用向量的数量积运算求解.。

解法二：因为初二或+病且近1病，所以力克次=（属+叁）-易=|近|2=1；”

DEDC=（D^4+Ak）AB=AB^=\^\\AE\='^：\,所以要使发灰最大，只要应：|最大

即可，明显随着E点在48边上移动冠11Mx=1,故（力克虎）1Mx=l

思路三：已知条件中正方形ABCD边长为1,邻边DA,DC垂直，因此可

以以D为坐标原点，虎与近所在直线分别为x,v轴建立平面直角坐标系，用

坐标表示向量，通过坐标运算求解.

力‘力

[

DX*-'

解法三：以Q为坐标原点，虎与力所在直线分别为X,j•轴建立平面直角坐标系，如

图所示.设E(x,1),0<x<l,则仍=(x,1),CB=(Q,1),所以疫•在=xxO+lxi=i.“

因为虎=(1,0),所以法•历=x,因为1少20,所以-虎)皿x=1.P

教师总结：(1)向量的代数运算最主要体现在两方面，一是坐标表示与坐

标运算，二是非坐标表示的代数运算，比如数量积运算.(2)坐标表示与运算

是解析法的体现，可以将向量与解析几何联系起来其前提是能建立直角坐标系，

在解题时如果遇到直角三角形、矩形、圆等图形时，都可以考虑通过建立坐标系

求解.

设计意图通过一题多解，让学生体会向量方法解决问题的多样性和灵活性.

例2若等边的边长为2招，平面内一点M满足函=\而+=。，则祝^^

=・d

师生活动：教师引导：这是根据向量的几何表示求向量数量积问题.按照解

决这类问题的一般方法，本题的关键是如何表述目标向量总和而,不同的表

述方式，就有不同的解题思路和不同的解题方法.

思路:：条件中C是等边三角形，边长和角度都是已知的，即向量C4CS敢摸长

和夹角已知，因此可根据平面向量基本定理，将胸适用a丽表示(即选｛瓦诙｝为

基底)，用数量积运算求解.。

：

解法二•MA=CA—CM—CA—(—CB4-—C4)=—CACB,川

6336

——————-1—~2——2—5—•

MB=CB-CM=CB-(—CB+-CA)=——CA+-CB^

6336

XIA,A4B—(—CA—CB)-(--CAH—CB)~

3636

2p7-~—k5—-2

=—C-4HCA•CB----CBd

911836

又〜死是边长为2后的等边三角形，二=R司-=12元1赤=6.

■——•275

/.M4MB=——xl2+——x6---x12=-2>

91836

思路二：坐标法是解决平面向量问题常用的一种方法.题中所给三角形是等

边三角形，故可以以BC的中点为原点，BC所在直线为x轴建立坐标系，用坐

标表示,通过坐标运算求解.

解法二：以BC的中点为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

如图所示.

据题意有N(0,3),B(-囱0>C(抬0),设M(x,.田…

则CM=(x-\5.v),CS=(~2^3.0).G4=(-^3)“

*1-2-

由CM=-C5+—C4>得。

63

(A'--x/J,}-)=-(-2^yj，0)+-(--\/3*3)=(―2).d

63

二x=0,y=2,二点河的坐标为(0,2).“

・,.总=(0.1)赢=(_石-2),,・祝L瓶=一2.d

思路三:考察基底瓦丽的系数，将a7=L而+2亩转化为a=1(j函+2百，

63323

则其系数之和为1,因此可利用三点共线求解.，

解法三：如图，设5c的中点为D,则CM=-CB+-CA=-(.~CB)+3百=1GD-±C4~

6332333

瓦

D

C

12

由于±+：=1,所以M,刀，/三点共线.♦

33

所以A4B=\MA\-\MB\cosZ.AMB=—2."

思路四：由于向量加法满足平行四边形法则，因