专题1.6 第一章：集合与常用逻辑用语综合-新高一《数学》初升高衔接考点必杀50题（人教A版2019）解析版

第第页专题1.6第一章：集合与常用逻辑用语综合一、单选题1．下列各项中，能组成集合的是（）A．高一（3）班的好学生 B．嘉兴市所有的老人C．不等于0的实数 D．我国著名的数学家【答案】C【分析】根据集合中的元素具有确定性可得选项.【详解】∵对于A、B、D选项中“高一（3）班的好学生”、“嘉兴市所有的老人”、“我国著名的数学家”标准不明确，即元素不确定．∴A、B、D选项不能构成集合．故选:C．【点睛】本题考查集合的元素的特征之一：确定性，属于基础题.2．已知集合，，则集合中元素个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由列举法列出集合的所有元素，即可判断；【详解】解：因为，，所以或或或，故，即集合中含有个元素；故选：C3．有下列四个命题，其中真命题是（

）．A．， B．，，C．，， D．，【答案】B【分析】对于选项A，令即可验证其不正确；对于选项C、选项D，令，即可验证其均不正确，进而可得出结果.【详解】对于选项A，令，则，故A错；对于选项B，令，则，显然成立，故B正确；对于选项C，令，则显然无解，故C错；对于选项D，令，则显然不成立，故D错.故选B【点睛】本题主要考查命题真假的判定，用特殊值法验证即可，属于常考题型.4．集合{3，x，x2–2x}中，x应满足的条件是（

）A．x≠–1 B．x≠0C．x≠–1且x≠0且x≠3 D．x≠–1或x≠0或x≠3【答案】C【分析】利用集合元素的互异性求解.【详解】集合{3，x，x2–2x}中，x2–2x≠3，且x2–2x≠x，且x≠3，解得x≠3且x≠–1且x≠0，故选：C．5．设全集为R，集合，，则集合A． B．或C． D．或【答案】D【分析】先分别求出集合和集合集合，再求出,与集合求并集即可.【详解】因为，或；；或．故选D【点睛】本题主要考查集合的混合运算，熟记概念即可，属于基础题型.6．设全集，集合，集合，那么点的充要条件是（

）．A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】先求得，由此求得满足的不等式组，将点坐标代入上述不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】依题意，所以满足的不等式组为，由于，故，解得，.故选：A7．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】通过举特例结合充分、必要条件的概念，即可得到结果.【详解】若，满足，但，即“”不是“”的充分条件；若，满足，但，即“”不是“”的必要条件；所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.8．命题“”的否定是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可.【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“”的否定为：“”.故选：B.9．已知全集，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】画出韦恩图即可解得.【详解】如图：由交、并、补的定义可知：.故选：A.10．设全集，已知集合或，集合，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】可以求出，然后根据即可得出的取值范围.【详解】因为全集，集合或，所以，又因为，.故选：C11．定义集合运算：．设，，则集合中的所有元素之和为（

）．A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根据题意，用列举法，求出集合中的元素，进而可求出结果.【详解】因为，，，当，时，；当，时，；当，时，；当，时，，所以，所以中的所有元素之和为0．故选B【点睛】本题主要考查集合新定义的题型，读懂集合新定义是解决此类题型的关键，属于常考题型.12．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据图中阴影部分表示求解即可.【详解】由题知：图中阴影部分表示，，则.故选：A13．设全集U是实数集R，M={x|x>2或x<-2}，N={x|x≥3或x<1}都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（

）A．{x|-2≤x<1} B．{x|-2≤x≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}【答案】A【分析】根据图中阴影部分表示x∈N且x∉M，得到x∈N∩∁UM．再利用集合的基本运算求解.【详解】∵图中阴影部分表示：x∈N且x∉M，∴x∈N∩∁UM．∴∁UM={x|-2≤x≤2}，∴N∩∁UM={x|-2≤x<1}．故选：A．【点睛】本题主要考查Ven图以及集合的基本运算，属于基础题.14．已知M＝{x∈R|x≥2}，a＝π，有下列四个式子：(1)a∈M；(2){a}⊆M；(3)a⊆M；(4){a}∩M＝π.其中正确的是()A．(1)(2) B．(1)(4)C．(2)(3) D．(1)(2)(4)【答案】A【分析】根据元素与集合之间，以及集合与集合之间的关系，即可判定，得到结论.【详解】由题意，（1）中，根据元素与集合的关系，可知是正确的；（2）中，根据集合与集合的关系，可知是正确的；(3)是元素与集合的关系，应为a∈M，所以不正确；(4)应为{a}∩M＝{π}，所以不正确，故选A．【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合与集合之间的关系，其中熟记元素与集合，集合与集合之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.15．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】分别求出和的解，结合充分必要条件的定义，即可得出结论.【详解】由，解得，由，解得或，“”成立，则“或”成立，而“或”成立，“不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，属于基础题.16．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意，若，则，故充分性成立；若，则或，推不出，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.17．设且，则是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要【答案】D【分析】由题意看命题“ab＞1”与“”能否互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【详解】若“ab＞1”当a＝﹣2，b＝﹣1时，不能得到“”，若“”，例如当a＝1，b＝﹣1时，不能得到“ab＞1“，故“ab＞1”是“”的既不充分也不必要条件，故选D．【点睛】本小题主要考查了充分必要条件，考查了对不等关系的分析，属于基础题．18．“”是“”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由可得，由可得，可选出答案.【详解】由可得，由可得所以“”是“”的充分不必要条件故选：C19．下列结论中正确的个数是（

）①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“”是全称量词命题；③命题“”的否定为“”；④命题“是的必要条件”是真命题；A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案.【详解】对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；对于②：命题“”是全称量词命题；故②正确；对于③：命题，则，故③错误；对于④：可以推出，所以是的必要条件，故④正确；所以正确的命题为②④，故选：C20．已知非空集合是集合的子集，若同时满足两个条件：（1）若，则；（2）若，则；则称是集合的“互斥子集”，并规定与为不同的“互斥子集组”，则集合的不同“互斥子集组”的个数是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】按所含元素的个数分为“1+1型”、“1+2型”、“1+3型”、“2+2型”，分别求出相应的“互斥子集组”数.【详解】①若、中各含一个元素时，“互斥子集组”数：个②若含一个、含两个元素时，“互斥子集组”数:个③若含一个、含三个元素时，“互斥子集组”数:个④若、中各含两个元素时，“互斥子集组”数：个.综上共有“互斥子集组”数50个.故选:D【点睛】此题关键在于恰当分类，属于中档题.二、多选题21．（多选）已知全集，集合和关系的维恩图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有A．-1 B．0 C．1 D．3【答案】CD【分析】根据维恩图可知，求的是集合和集合的交集，分别化简集合和集合，用交集基本运算求解即可【详解】，，，故选CD.【点睛】本题考查集合的交集运算，易错点为忽略集合中的条件22．已知集合，，1，，若，则实数可以为（

）A． B．1C．0 D．以上选项都不对【答案】ABC【解析】由子集定义得或或，从而不存在，，，由此能求出实数．【详解】解：集合，，1，，，或或，不存在，，，解得，或，或．故选：ABC．【点睛】本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．23．如图所示，阴影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据题意，结合集合的运算及表示方法，即可求解.【详解】由题图及集合的运算，可得阴影部分表示的集合为或.故选：AD.24．下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有A．B．所有的正方形都是矩形C．D．至少有一个实数，使【答案】AC【分析】通过原命题的否定为全称量词命题且为真命题，确定原命题是特称量词命题且为假命题，根据此结论逐项分析.【详解】由条件可知：原命题为特称量词命题且为假命题，所以排除BD；又因为，，所以AC均为假命题，故选AC.【点睛】（1）含一个量词的命题的否定方法：改变量词，否定结论；（2）常见的：含有全部、都、所有等词时，对应的是全称命题；含有存在、有一个等词对应的是特称命题.25．设全集为，在下列选项中，是的充要条件的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】结合Venn图，利用充分条件和必要条件的定义，对选项逐一判断即可.【详解】如图Venn图所示，选项A中，若，则；反过来，若，则.故互为充要条件.选项C中，若，则；反过来，若，则.故互为充要条件.选项D中，若，则，故；反过来，若，则，故.故互为充要条件.选项B中，如下Venn图，若，则，推不出.故错误.故选：ACD.26．下列说法正确的是（

）A．命题“”的否定是“”．B．命题“”的否定是“”C．“是“”的必要条件．D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件【答案】ABD【分析】根据特称命题与全称命题的否定来判断选项A，B，根据充分必要条件判断方法来确定C，D选项的正误.【详解】对于A选项，命题“”的否定是“，”，故A选项正确；对于B选项，命题“，”的否定是“，”，故B选项正确；对于C选项，不能推出，例如，但；也不能推出，例如，而；所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C选项错误；对于D选项，关于x的方程有一正一负根，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D选项正确．故选：ABD.27．已知集合，是两个非空整数集，若，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据题意,作出Venn图，结合图形即可得答案.【详解】依题意，作出Venn图如图所示，由图知，，，，.故选：BC.28．下列说法正确的是A．“”是“”的必要不充分条件B．若命题：某班所有男生都爱踢足球，则：某班至少有一个女生爱踢足球C．“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“菱形的对角线一定不相等”D．“，”是“一次函数的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴”的充要条件【答案】AD【分析】由可得或，结合充分必要条件的定义，即可判断；由全称命题的否定为特称命题可判断、；令，，可得函数图象与轴、轴交点的坐标，结合充分必要条件定义可判断．【详解】由可得或，可得“”是“”的必要不充分条件，故正确；若命题：某班所有男生都爱踢足球，则：某班至少有一个男生不爱踢足球，故错误；“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“存在一个菱形的对角线不相等”，故错误；一次函数的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴，可得，即，由，可得，即，则“，”是“一次函数的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴”的充要条件，故正确．故选：．【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是命题的否定和充分必要条件的判断，考查判断能力和运算能力，属于基础题．29．非空集合A具有下列性质：①若x，，则；②若x，，则.下列选项正确的是（

）A． B．C．若x，，则 D．若x，，则【答案】AC【分析】若，利用条件可得当，时，不满足，可判断A，利用条件可得若且，进而得，，可判断B，利用题设可得若x，，则，可判断CD.【详解】对于A，若，则，此时，而当，时，显然无意义，不满足，所以，故A正确；对于B，若且，则，所以，，以此类推，得对任意的，有，所以，，所以，故B错误；对于C，若x，，则且，又，所以，所以，故C正确；对于D，取，，则，故D错误.故选：AC.30．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆．过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为．则该图形可以完成的所有的无字证明为（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】分别在和中，利用射影定理和、判定选项A、C正确.【详解】，，根据图形，在中，由射影定理得，所以，由，且，得：（，），当且仅当时取等号，即A正确；在中，同理得，所以，又，所以（，），当且仅当时取等号，即C正确；故选：AC.三、填空题31．已知p：“”，q：“x=4”，则p是q的________条件.【答案】必要不充分【分析】根据充分性、必要性的定义进行判断即可【详解】根据题意，p：“x2-3x-4=0”，即x=4或-1，则有若q：x=4成立，则有p：“x2-3x-4=0”成立，反之若p：“x2-3x-4=0”成立，则q：x=4不一定成立，则p是q的必要不充分条件.故答案为：必要不充分【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，属于基础题.32．请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空：(1)三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的_______；(2)是的___________；(3)是的__________；(4)x,y为无理数是为无理数的_________.【答案】充分不必要条件充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件【解析】(1)利用全等三角形来判断；(2)利用并集的概念来判断；(3)利用交集的概念来判断；(4)可举反例来判断.【详解】(1)如图：由，得，所以，则为等腰三角形，满足充分性，但是如果为等腰三角形，边上的高不一定等于边上的高，不满足必要性，故三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的充分不必要条件；(2)当时，有；反之当时，不一定有，故是的充分不必要条件；(3)当时，不一定有，因为有可能；反之当时，必有，故是的必要不充分条件；(4)当时，为有理数，当时，，故x,y为无理数是为无理数的既不充分也不必要条件.故答案为：充分不必要条件；充分不必要条件；必要不充分条件；既不充分也不必要条件.【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题.33．已知命题:“，使得”是真命题，则实数的最大值是____.【答案】【分析】根据任意性的定义，结合不等式的性质进行求解即可.【详解】当时，，因为“，使得”是真命题，所以.故答案为：34．集合，集合，下列，间的关系：①A为B的真子集；②B为A的真子集；③，其中正确的是___________.（填写相应序号）【答案】②【分析】分为偶数、为奇数可得集合B与A的关系.【详解】当为偶数时，，当为奇数时，令，则其必为偶数且只是部分偶数所以B为A的真子集故答案为：②【点睛】本题考查的是集合间的基本关系，属于基础题.35．已知集合，则集合的所有子集的个数是________.【答案】32【解析】根据条件求出集合B中的元素即可．【详解】因为集合，则集合，所以集合B的所有子集的个数是个，故答案为：.36．给出下列条件与：①：或；：．②：，：．③：一个四边形是矩形；：四边形的对角线相等．其中是的必要不充分条件的序号为______．【答案】②【解析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：对于①，在中，，解得或，故是的充要条件，不符合题意.对于②，在中，或，而中，所以是的必要不充分条件，符合题意.对于③，由于，且推不出，如四边形是等腰梯形，满足对角线相等，但是不满足四边形是矩形，故是的充分不必要，不符合题意.故答案为：②.【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，根据充分、必要条件的知识，判断出符合题意的序号，属于基础题.37．已知，，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________【答案】【分析】利用已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，由是的必要条件，则，可得，解得.故答案为：.38．若a，b∈R，则“”是“”的___________条件.【答案】充分不必要【分析】结合范围大小判断，条件范围小，结论范围大，故为充分不必要条件.【详解】因为且，显然且能推出，但推不出且，故“”是“”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.39．若命题“∃x0∈R，使得3＋2ax0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是_______．【答案】[－，]【分析】先转化为“∀x∈R，3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，用判别式进行计算即可.【详解】命题“∃x0∈R，使得3＋2ax0＋1<0”是假命题，即“∀x∈R，3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.故答案为：[－，].【点睛】（1）全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．（2）“恒成立”问题的解决方法：①函数性质法对于一次函数，只须两端满足条件即可；对于二次函数，就要考虑参数和的取值范围.②分离参数法思路：将参数移到不等式的一侧，将自变量x都移到不等式的另一侧.40．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题：①数域必含有0，1两个数；

②整数集是数域；③若有理数集QM，则数集M必为数域；④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是_________．（填上你认为正确的命题的序号）【答案】①④【详解】解：当a=b时，a-b=0、ab=1∈P，故可知①正确．当a=1，b=2，∉Z不满足条件，故可知②不正确．对③当M中多一个元素i则会出现1+i∉M所以它也不是一个数域；故可知③不正确．根据数据的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知④正确．故答案为①④．四、解答题41．已知集合，，若.（1）求实数的值；（2）如果集合是集合的列举表示法，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据元素与集合的属于关系的定义进行分类讨论进行求解即可；（2）根据集合相等的定义，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.【详解】解：（1）∵，∴或者得或，验证当时，集合，集合内两个元素相同，故舍去∴（2）由上得，故集合中，方程的两根为1、-3.由一元二次方程根与系数的关系，得.【点睛】本题考查了已知集合与元素属于关系的应用，考查了集合相等的定义，考查了一元二次方程根与系数的应用，考查了数学运算能力.42．写出下列命题的否定,并判断它们的真假：(1)，一元二次方程有实根；(2)每个正方形都是平行四边形；(3)；(4)存在一个四边形ABCD，其内角和不等于.【答案】(1),一元二次方程没有实根,假命题.(2)存在一个正方形不是平行四边形,假命题.(3)，假命题.(4)任意四边形ABCD,其内角和等于360°,真命题.【解析】根据特称命题，全称命题的否定的书写规律来写，并逐一判断真假.【详解】(1),一元二次方程没有实根,假命题，因为，方程恒有根；(2)存在一个正方形不是平行四边形,假命题，因为任何正方形都是平行四边形；(3)，假命题，因为时，；(4)任意四边形ABCD,其内角和等于,真命题.【点睛】本题考查特称命题，全称命题的否定，是基础题.43．已知，则求：（1）集合A的子集的个数，并判断与集合A的关系（2）请写出集合A的所有非空真子集【答案】（1）8，（2），，，，，【分析】（1）根据子集的概念，利用列举法可得集合A的所有子集，从而可得子集个数以及与集合A的关系；（2）根据非空真子集的概念，利用列举法可得答案.【详解】（1）的子集有，，，，，，，共8个，其中.（2）集合A的所有非空真子集有，，，，，.【点睛】本题考查了子集和真子集的概念，属于基础题.44．已知命题p：，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A．（1）求集合A；（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由一元二次方程有实数解，即判别式不小于0可得结果；（2）将是的必要不充分条件化为是的真子集后，列式可求出结果．【详解】（1）由命题为真命题，得，得∴．（2）∵是的必要不充分条件，∴是的真子集．∴（等号不能同时成立），解得.45．全集U=R，若集合，.(1)求A∩B；AB；(2)若集合，AC=C，求a的取值范围.【答案】(1)A∩B，；(2).【分析】（1）根据交集与并集的概念进行计算可得结果；（2）根据子集关系列式可得结果.(1)∵集合，，∴A∩B，；(2)∵AC=C，∴A⊆C，又C={x|x>a}，，∴.46．设．（1）若方程有实根，求实数m的取值范围；（2）若不等式的解集为，求实数m的取值范围；（3）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）当时，显然满足条件，当时，只需△即可，由此得出的取值范