华东师大版初中数学九年级上册24-2直角三角形的性质课件

九年级

上册华东师大版初中数学第24章解直角三角形24.2直角三角形的性质知识点1直角三角形斜边上的中线的性质基础过关全练1.(2023湖南株洲中考)一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某

三角形部件的尺寸.如图所示,已知∠ACB=90°,点D为边AB的

中点,点A、B对应的刻度为1、7,则CD=

(

)B

A.3.5cm

B.3cm

C.4.5cm

D.6cm解析∵∠ACB=90°,AB=7-1=6(cm),点D为线段AB的中点,

∴CD=

AB=3cm.2.(一题多解)(2024河南洛阳汝阳一模)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若∠A=20°,则∠BCD的度数为

(

)

A.110°

B.70°

C.50°

D.20°B解析解法1(利用直角):在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中

线,∴CD=DA,∵∠A=20°,∴∠DCA=∠A=20°,∴∠BCD=90°-

∠DCA=90°-20°=70°.解法2(利用三角形内角和):在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=2

0°,∴∠B=70°.∵CD是斜边AB上的中线,∴BD=CD,∴∠BCD

=∠B=70°.3.(新独家原创)位于山东省济南市莱芜区的雪野湖,群山环

抱,风光秀美.如图,有两条公路AC、BC互相垂直,AB的中点M

与点C被湖隔开,若测得AB的长为8,则M、C两点间的距离为

.

4解析∵AC、BC互相垂直,∴∠ACB=90°.∵M为AB的中点,

∴CM=

AB=

×8=4.4.(2024河南南阳实验学校月考)如图,已知BE、CF是△ABC

的高,M、N分别为BC、EF的中点,判断MN与EF的位置关系,

并证明.

解析

MN⊥EF.证明:如图,连结ME,MF.∵CF是AB边的高,∴

CF⊥AB,∴∠BFC=90°.∵点M是BC的中点,∴MF=

BC,同理,ME=

BC,∴ME=MF.∵点N为EF的中点,∴MN⊥EF.

知识点2含30°角的直角三角形的性质5.(新独家原创)(情境题·革命文化)“重温红色记忆,传承红色

基因”,某中学的学生参加红色研学活动,爬山体验长征精

神.如图所示的是下山时所用的一段索道的示意图,已知A、

B两点间的距离为30m,∠BAC=30°,则缆车从B点到达A点的

过程中,下降的高度(BC的长)为(

)B

A.10m

B.15m

C.20m

D.30m解析∵AB=30m,∠A=30°,BC⊥AC,∴BC=

AB=15m.6.(2023贵州中考)2023年5月26日,“2023中国国际大数据产

业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体库”中有许多几何

元素,其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶

角为120°,腰长为12m,则底边上的高是(

)

A.4m

B.6m

C.10m

D.12mB解析作AD⊥BC于点D(图略),在△ABC中,∠BAC=120°,AB

=AC,∴∠B=∠C=

×(180°-∠BAC)=30°,∵AD⊥BC,∴AD=

AB=

×12=6(m),故底边上的高为6m.7.(易错题)(2024河南鹤壁淇滨期末)含30°角的直角三角板与

直线l1,l2的位置关系如图所示,已知l1∥l2,∠A=30°,∠1=60°,若

AB=6,则CD的长为

.

3解析∵∠A=30°,∴∠DBC=90°-∠A=60°,∵l1∥l2,∴∠BDC=∠1=60°,∴△BDC为等边三角形,∴CD=BC,∵AB=6,∴BC=

AB=3,∴CD=3.8.(教材变式·P104练习T2)(2024山西晋城二中月考)一艘轮船

自西向东航行,在A处测得小岛P在北偏东75°方向,航行7海

里后,在B处测得小岛P在北偏东60°方向,若小岛周围3.8海里

内有暗礁,问该船一直向东航行,有无触礁的危险?并说明原

因.解析有触礁危险.理由:如图,作PD⊥AB于D,∵在A处测得

小岛P在北偏东75°方向,∴∠PAB=15°,∵在B处测得小岛P在

北偏东60°方向,∴∠PBD=30°,∴∠APB=∠PAB=15°,∴PB=

AB=7海里,∴PD=

PB=3.5海里,∵3.5<3.8,∴该船继续向东航行,有触礁的危险.能力提升全练9.(一题多解)(教材变式·P122T14)(2024湖南衡阳常宁二模,7,

★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,CD⊥

AB于点D,E是AB的中点,则DE的长为

(

)

A.1

B.2

C.3

D.4A解析解法1(利用含30°角的直角三角形的性质):∵AB=4,E

是AB的中点,∴CE=

AB=

×4=2,CE=AE,∴∠ACE=∠A=30°,∴∠CED=30°+30°=60°.∵CD⊥AB,∴∠CDE=90°,∴∠DCE=30°,∴DE=

CE=

×2=1.解法2(利用等边三角形的“三线合一”):∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠B=60°,∵E是AB的中点,AB=4,∴CE=BE=

AB=

×4=2,∴△BCE为等边三角形,∵CD⊥AB,∴DE=BD=

BE=

×2=1.10.(2023内蒙古赤峰中考,8,★★★)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,点F是AB中点,连结CF,把线段CF沿射线BC方向平移到DE,点D在AC上.则线段CF在平移过程中

扫过区域形成的四边形CFDE的周长和面积分别是

(

)

A.16,6

B.18,18

C.16,12

D.12,16C解析由平移的性质可知DF∥CE,DF=CE,∴四边形CFDE

是平行四边形,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,∴AC

=

=

=8,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,点F是AB的中点,∴CF=

AB=5,∵DF∥CE,点F是AB的中点,∴

=

=

,∠CDF=180°-∠ABC=90°,∴点D是AC的中点,∴CD=

AC=4,∵点F是AB的中点,点D是AC的中点,∴DF是Rt△ABC的中位线,∴DF=

BC=3,∴四边形CFDE的周长为2(DF+CF)=2×(3+5)=16,四边形CFDE的面积为DF·CD=3×4=12.11.(新考法)(2024山西临汾襄汾二模,17,★★☆)图1是一种矩

形时钟,图2是时钟示意图,时钟数字2的刻度在矩形ABCD的

对角线BD上,时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上.若AB

=1,则BC的长为

(结果保留根号).

图1图2解析

根据钟表中刻度的划分挖掘出30°角是本题的求解关

键,设计新颖.如图,过点O作OE⊥CD,垂足为E.由钟表上的刻

度划分可知,每经过1小时,时针转过的角度为30°,∴∠DOE=

30°.在矩形ABCD中,∠C=90°,CD=AB=1,OE∥BC,∴∠DBC=

∠DOE=30°,∴BD=2CD=2,∴BC=

=

.

12.(动点问题)(2024福建泉州洛江二模,23,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是t秒(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连结DE,EF.(1)求证:AE=DF.(2)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.解析

(1)证明:∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=60°,∴∠C=90°-∠A=30°.在Rt△CDF中,∠C=30°,CD=4tcm,∴DF=

CD=2tcm,∵点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速

运动,∴AE=2tcm,∴AE=DF.(2)分情况求解如下:①当∠DEF=90°时,由(1)易知四边形AEFD为平行四边形,∴

EF∥AD,∴∠ADE=∠DEF=90°,∵∠A=60°,∴∠AED=30°,∴

AD=

AE=tcm,∵AD=(60-4t)cm,∴60-4t=t,解得t=12;②当∠EDF=90°时,四边形EBFD为矩形,在Rt△AED中,∠A=

60°,则∠ADE=30°,∴AD=2AE=4tcm,∴60-4t=4t,解得t=

.③不存在∠EFD=90°的情况.综上所述,当t=

或12时,△DEF为直角三角形.素养探究全练13.(推理能力)(2024四川眉山二模)如图1,BD是Rt△ABC斜边

AC上的中线.(1)求证:BD=

AC;(2)如图2,AB=6,BC=8,点P是BC上一个不与B、C重合的动点,

过点P分别作AC、BD的垂线,垂足分别为E、F.当P在BC上

移动时,求PE+PF的值.

图1

图2解析

(1)证明:如图1,过点A作AE∥BC,交BD的延长线于

点E,连结CE,∴∠DAE=∠BCD,∵BD是Rt△ABC斜边上的中

线,∴AD=CD,∵∠ADE=∠BDC,∴△ADE≌△CDB,∴DE=

BD,∴四边形ABCE是平行四边形,∴BD=DE=

BE,∵∠ABC=90°,∴四边形ABCE是矩形,∴AC=BE,∴BD=

AC.

图1

图2(2)如图2,