2024年新高考数学一轮复习达标检测第56讲二项式定理教师版

《二项式定理》达标检测[A组]—应知应会1．在（﹣2）5的绽开式中，x2的系数为（）A．﹣5 B．5 C．﹣10 D．10【分析】在二项绽开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．【解答】解：（﹣2）5的绽开式中，通项公式为Tr+1＝•（﹣2）r•，令＝2，求得r＝1，可得x2的系数为•（﹣2）＝﹣10，故选：C．2．若的绽开式中x3项的系数是240，则实数m的值是（）A．2 B． C．±2 D．【分析】由二项式定理可得的绽开式的通项，令x的系数为3，解可得r的值，结合绽开式中x3的系数即可得关于m的方程，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：依据题意，的绽开式通项为Tr+1＝C6r（mx）6﹣r（﹣）r＝C6r×m6﹣r•（﹣2）r•x，令6﹣r＝3，解可得r＝2，则有C62×m4•（﹣2）2＝240，解可得：m＝±，即实数m的值为±；故选：D．3．（1+2x）4绽开式中含x2的项为第______项（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先写出通项，然后令x的指数为2，求出此时k的值即可．【解答】解：由题意得：，令k＝2得，故第3项中含x2．故选：C．4．8011被9除的余数为（）A．﹣1 B．1 C．8 D．﹣8【分析】利用80＝92﹣1以及二项绽开式的性质即可求解．【解答】解：∵8011＝（92﹣1）11；其绽开式共有12项，前11项均有92，都能被9整除，最终一项为：（﹣1）11＝﹣1＝﹣9+8，∴8011被9除的余数为：8．故选：C．5．已知的绽开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含x10项的系数是（）A．4 B．﹣4 C． D．91【分析】由已知绽开式中第6项与第8项的系数相等求二项式指数n，然后结合通项公式求解即可．【解答】解：∵的绽开式中第6项与第8项的系数相等，∴＝；所以n＝12，则绽开式的通项公式为：Tr+1＝•x12﹣r•（﹣）r＝（﹣）r••x12﹣2r；令12﹣2r＝10可得r＝1；∴含x10项的系数是：（﹣）1•＝﹣4．故选：B．6．（x+）（x+y）5的绽开式中x3y3的系数为（）A．5 B．10 C．15 D．20【分析】先把条件整理转化为求（x2+y2）（x+y）5绽开式中x4y3的系数，再结合二项式的绽开式的特点即可求解．【解答】解：因为（x+）（x+y）5＝；要求绽开式中x3y3的系数即为求（x2+y2）（x+y）5绽开式中x4y3的系数；绽开式含x4y3的项为：x2•x2•y3+y2•x4•y＝15x4y3；故（x+）（x+y）5的绽开式中x3y3的系数为15；故选：C．7．（x2+2）3（﹣1）7绽开式中常数项是（）A．15 B．﹣15 C．7 D．﹣7【分析】分别求出两个二项式的绽开式，相乘，令指数为0，即可求得结论．【解答】解：（x2+2）3绽开式的通项为Tr+1＝2rx6﹣2r（0≤r≤3）（﹣1）7绽开式的通项为Tk+1＝（﹣1）kx2k﹣14（0≤k≤7）所以（x2+2）3（﹣1）7绽开式的通项为（﹣1）k2rx2k﹣2r﹣8（0≤r≤3，0≤k≤7），令2k﹣2r﹣8＝0，则k﹣r＝4，则k＝4，r＝0或k＝5，r＝1或k＝6，r＝2或k＝7，r＝3，所以（x2+2）3（﹣1）7绽开式中常数项为（﹣1）420+++＝﹣15．故选：B．8．在（1﹣x）（x+2）4的绽开式中，含x3项的系数为（）A．﹣16 B．16 C．﹣8 D．8【分析】把（x+2）4绽开，求出二项式（1﹣x）（x+2）4的绽开式中含x3项的系数．【解答】解：（1﹣x）（x+2）4＝（1﹣x）（•x4+•2x3+•22x2+•8x+•24），∴二项式（1﹣x）（x+2）4绽开式中，含x3项的系数为：﹣•22+•2＝﹣16，故选：A．9．已知不等式logax＜1（a＞0且a≠1）的解集为（0，2），则二项式的绽开式中系数最大项的系数为（）A．16 B．80 C．240 D．480【分析】由不等式可求得a的值，再由通项公式列出不等式组，求得当r＝2时，系数最大，并求得此最大值．【解答】解：由题意，当a＞1时，由logax＜1，可得0＜x＜a，当0＜a＜1时，由logax＜1，可得x＞a，所以a＝2．故，∴r＝2，∵r＝2，系数为正，故绽开式中系数最大项的系数为＝240．故选：C．10．若（1+x+x2）6＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…++a12x12，则a2+a4+…+a12＝（）A．256 B．364 C．296 D．513【分析】分别令x＝1和x＝﹣1，代入原式，可得到关于a0+a2+a4+…+a12和a1+a3+…+a11的方程组，问题可解．【解答】解：令x＝1得：（a0+a2+a4+…+a12）+（a1+a3+…+a11）＝36……①．令x＝﹣1得：：（a0+a2+a4+…+a12）﹣（a1+a3+…+a11）＝16……②．联立①②解得：a0+a2+a4+…+a12＝365．又令x＝0得：a0＝1，所以a2+a4+…+a12＝364．故选：B．11．设ai（i＝0，1，2，…，2024）是常数，对于∀x∈R，都有x2024＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）（x﹣2）+…+a2024（x﹣1）（x﹣2）…（x﹣2024），则﹣a0+a1﹣a2+2！a3﹣3！a4+4！a5﹣…+2024!a2024﹣2024！a2024＝（）A．2024 B．2024 C．2024！ D．2024！【分析】求出a0的值，求出a1﹣a2+2a3﹣3！a4+4！a5﹣…+2024!a2024﹣2024！a2024的值，从而求出答案即可．【解答】解：代入x＝1，得a0＝1，∴x2024﹣1＝a1（x﹣1）+a2（x﹣1）（x﹣2）+…+a2024（x﹣1）（x﹣2）…（x﹣2024），而x2024﹣1＝（x﹣1）（1+x+x2+…+x2024），∴x2024+x2024+…+x+1＝a1+a2（x﹣2）+…a2024（x﹣2）…（x﹣2024），代入x＝1得2024＝a1﹣a2+2a3﹣3！a4+4！a5﹣…+2024!a2024﹣2024！a2024，∴﹣a0+a1﹣a2+2！a3﹣3！a4+4！a5﹣…+2024!a2024﹣2024！a2024＝2024﹣a0＝2024﹣1＝2024，故选：A．12．（多选）已知绽开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，则下列结论正确的是（）A．绽开式中的有理项是第2项和第5项 B．绽开式中没有常数项 C．绽开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项 D．绽开式中系数最大的项是第5项【分析】先求出绽开式的通项，然后结合x的指数满足的条件解决A，B项；依据二项式系数和系数的性质探讨C，D项．【解答】解：由题意可得4n﹣2n＝992，求得2n＝32，∴n＝5．∴的绽开式的通项公式为Tr+1＝•3r•.若为有理数，则r＝2，5，绽开式中的有理项是第3项和第6项，故A错误；令＝0，解得r＝﹣，不符合题意，故绽开式中没有常数项，故B正确；由n＝5可知，绽开式中二项式系数最大的项为第三项或第四项，故C正确；假设第k+1项系数最大，则，解得3.5≤k≤4.5，∵k∈N*，∴k＝4，∴绽开式中系数最大的项是第5项，故D正确.故选：BCD．13．（多选）关于（a﹣b）11的说法，正确的是（）A．绽开式中的二项式系数之和为2048 B．绽开式中只有第6项的二项式系数最大 C．绽开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D．绽开式中第6项的系数最大【分析】利用赋值法可以判定A的对错；依据中间项的二项式系数最大判定B，C的对错；然后构造系数满足的不等式判定D的对错．【解答】解：绽开式通项为绽开式中的二项式系数之和为211＝2048，故A正确；依据二项式系数的性质可知，中间项的二项式系数最大，易知，中间项是第6、7项的二项式系数最大，故B错，C对；因为，第六项系数为＜0，第五项系数为，明显D错．故选：AC．14．在（x+）5的绽开式中，x2的系数是．【分析】在的绽开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可得到绽开式中x2的系数．【解答】解：∵的绽开式的通项公式为Tr+1＝x5﹣r2rx﹣2r＝2rx5﹣3r，令5﹣3r＝2，得r＝1，∴x2的系数是2×＝10，故答案为10．15．（x2+）6的绽开式中常数项是（用数字作答）．【分析】先求出二项式绽开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得绽开式中的常数项的值．【解答】解：由于（x2+）6的绽开式的通项公式为Tr+1＝•2r•x12﹣3r，令12﹣3r＝0，求得r＝4，故常数项的值等于•24＝240，故答案为：240．16．二项绽开式（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝，a1+a3+a5＝．【分析】干脆利用二项式定理的通项公式，求解即可．【解答】解：（1+2x）5＝0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝＝80．a1+a3+a5＝＝122．故答案为：80；122．17．（x+1）5（x﹣1）4的绽开式中x3的系数为．（用数字作答）【分析】先依据（x+1）5（x﹣1）4＝（x2﹣1）4•（x+1）；再结合（x2﹣1）4绽开式的通项公式即可求解结论．【解答】解：∵（x+1）5（x﹣1）4＝（x2﹣1）4•（x+1）；又因为（x2﹣1）4绽开式的通项公式为：Tr+1＝•（x2）4﹣r•（﹣1）r；∴（x+1）5（x﹣1）4的绽开式中x3的系数为：•（﹣1）3＝﹣4．故答案为：﹣4．18．若绽开式中x的系数为8，则绽开式中的常数项是（用数字作答）．【分析】先求出（1+）4的绽开式的通项公式，结合已知条件求出a，进而求得结论．【解答】解：∵（1+）4的绽开式的通项公式为：Tr+1＝•（）r；含x﹣1项的系数为＝4，∴绽开式中x的系数为：4a＝8，解得a＝2．∴绽开式中的常数项是：1×1+a•＝1+2×6＝13，故答案为：13．19．在二项式的绽开式中，第6项系数最大，则n＝，其常数项为．【分析】利用二项绽开式的通项公式求出通项，得到项的系数与二项式系数相同；据绽开式的中间项的二项式系数最大，列出方程求出n，在通项中，令x的指数为0求出常数项．【解答】解：的绽开式的通项为Tr+1＝•（）2n﹣r•＝•x；所以项的系数是二项式系数C2nr；依据绽开式中间项的二项式系数最大又中间项是第n+1项所以n+1＝6解得n＝5所以绽开式的通项为Tr+1＝•x，令5﹣＝0解得r＝6所以常数项为C106＝210；故答案为：5，210．20．已知（2x﹣1）4（x﹣2）＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，则a4＝；a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝．（用数字作答）【分析】由题意，结合二项式定理即可确定a4的值，对所给的等式两侧求导，然后利用赋值法即可确定a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值．【解答】解：（2x﹣1）4（x﹣2）＝[2（x﹣1）+1]4[（x﹣1）﹣1]＝（x﹣1）[2（x﹣1）+1]4﹣[2（x﹣1）+1]4，绽开后含有（x﹣1）4的项为：，所以a4＝16；，等号两边分别求导，得，令x＝2，得（2×2﹣1）4＝a1+2a2+3a3+4a4+5a5，则a1+2a2+3a2+4a4+5a5＝81．故答案为：16；81．21．（1﹣2x）2024＝a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024（x∈R），则a1+a3+a5+…+a2024的值为．【分析】先求出a0的值，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求得绽开式的系数和，从而得出结论．【解答】解：∵（1﹣2x）2024＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2024x2024（x∈R），令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+…+a2024＝1，令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2024＝32024，两式相减除以2，可得a1+a3+a5+…+a2024＝；故答案为：．22．若（+）n的绽开式中只有第4项的二项式系数最大，则二项绽开式中有理项系数之和为．【分析】在二项绽开式的通项公式中，令x的幂指数等于整数，求得r的值，可得结论．【解答】解：依据二项式+）n的绽开式中只有第4项的二项式系数最大，可得只有最大，故有n＝6，故通项公式为Tr+1＝•（）6﹣r•＝•x，r＝0，1，2…6；若为整数，则r＝0，3，6，共计3个，对应项的系数和为：+＝22；故答案为：22．23．定义：（在（x2﹣x﹣1）n＝Px2n+Px2n﹣1+Px2n﹣2+…+Px+P（n∈N）中，把P，P，P，…，P叫做三项式（x2﹣x﹣1）n的n次系数列（例如三项式的1次系数列是1，﹣1，﹣1）．依据上面的定义．三项式（x2﹣x﹣1）n的5次系数列各项之和为，P＝．【分析】令x＝1，可得（x2﹣x+1）5的5次系数列各项之和．（x2﹣x+1）4的通项公式为Tk+1＝（x2﹣x）k，（x2﹣x）k的通项公式为：Tr+1＝（x2）k﹣r（﹣x）r＝（﹣1）rx2k﹣r，令2k﹣r＝1，即可得出．【解答】解：令x＝1，可得（x2﹣x﹣1）5的5次系数列各项之和为﹣1．（x2﹣x﹣1）4的通项公式为Tk+1＝（﹣1）4﹣k（x2﹣x）k，（x2﹣x）k的通项公式为：Tr+1＝（x2）k﹣r（﹣x）r＝（﹣1）rx2k﹣r，令2k﹣r＝1，可得k＝1，r＝1，∴P＝（﹣1）4﹣1•（﹣1）1＝4．故答案为：﹣1，4．24．已知二项式绽开式中的第4项是常数项．（1）求n；（2）求绽开式中有理项的个数．【分析】（1）二项式绽开式中的通项公式为，依据第4项是为是常数项，可得，解得n．（2）要使绽开式中的项为有理项，需为整数，可得r．【解答】解：（1）二项式绽开式中的通项公式为，∵第4项是为是常数项，∴，∴n＝12．（2）要使绽开式中的项为有理项，需为整数，故有r＝0，3，6，9，12，故绽开式中有理项共有5项．25．已知的绽开式中全部偶数项的二项式系数和为64．（1）求绽开式中二项式系数最大的项；（2）求绽开式中的常数项．【分析】（1）依据二项式系数的性质求得n＝6，从而求得绽开式中二项式系数最大的项．（2）依据的绽开式的通项公式求出x﹣1项以及x2项的系数，即可求得结论．【解答】解：（1）由绽开式中全部的偶数项二项式系数和为64，得2n﹣1＝64，所以n＝7所以绽开式中二项式系数最大的项为第四项和第五项．因为的绽开式的通项公式为，所以f（x）的绽开式中二项式系数最大的项为，；（2）由（1）知n＝7，且的绽开式中x﹣1项为，x2项为，所以绽开式的常数项为2×（﹣84）+1×280＝112．26．设（3x﹣1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，求下列各式的值：（1）a1+a2+a3+a4+a5；（2）a0+a2+a4；（3）a1+2a2+3a3+4a4+5a5．【分析】（1）分别给x赋值0，1，可得要求式子的值．（2）令x＝﹣1结合第一问即可求解，（3）对原式两边求导，再令x＝1即可求解结论．【解答】解：∵（3x﹣1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，①（1）令x＝0可得：﹣1＝a0，②，令x＝1得：a0+a1+a2+a3+a4+a5＝25＝32，∴a1+a2+a3+a4+a5＝33．（2）令x＝﹣1可得：45＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5，∴a0+a2+a4＝（32+45）＝528，（3）对（3x﹣1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5两边求导可得：15（3x﹣1）4＝a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4，令x＝1可得：15×24＝a1+2a2+3a3+4a4+5a5．∴a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝240．27．在①只有第八项的二项式系数最大，②奇数项二项式系数之和为47，③各项系数之和为414，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由．设二项式（+）n，若其绽开式中，______，是否存在整数k，使得Tk是绽开式中的常数项？注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答给分．【分析】由二项式系数的性质，可得选填条件①③时，n＝14，写出二项绽开式的通项，由x的指数为0求得k值，即可得到存在整数k＝3，使得Tk是绽开式中的常数项；选填条件②时，n＝15，写出二项绽开式的通项，由x的指数为0求得k值，可知不存在整数k，使得Tk是绽开式中的常数项．【解答】解：若选填条件①，即只有第八项的二项式系数最大，则n＝14；若选填条件③，即各项系数之和为414，则4n＝414，即n＝14．二项式（+）14绽开式的通项：＝．由21﹣7k＝0，得k＝3．即存在整数k＝3，使得Tk是绽开式中的常数项；若选填条件②，即奇数项二项式系数之和为47，则2n﹣1＝47＝214，∴n＝15．二项式（+）15绽开式的通项：＝．由22﹣7x＝0，得k＝∉Z．即不存在整数k，使得Tk是绽开式中的常数项．28．在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答．条件①：“绽开式中全部项的系数之和与二项式系数之和的比为64”；条件②：“绽开式中前三项的二项式系数之和为22”．问题：已知二项式（1+3x）n，若_____（填写条件前的序号），（1）求绽开式中二项式系数最大的项：（2）求（1+3x）n（1﹣x）5中含x2项的系数．【分析】当选填条件①时，由题意列式求得n＝6，当选填条件②时，由前3项的二项式系数和为22求得n＝6．（1）把n＝6代入（1+3x）n，可知第四项的二项式系数最大，由二项绽开式的通项得答案；（2）把n＝6代入（1+3x）n（1﹣x）5，由第一个因式的常数项乘以其次个因式含含x2项的系数，由其次个因式的常数项乘以第一个因式含含x2项的系数，第一个因式含有x项的系数乘以其次个因式含有x项的系数，作和得答案．【解答】解：若选填条件①，即绽开式中全部项的系数之和与二项式系数之和的比为64，则，即n＝6．若选填条件②，即绽开式中前三项的二项式系数之和为22，则，即n＝6．（1）当n＝6时，绽开式共7项，二项式系数最大的项为；（2）（1+3x）n（1﹣x）5＝（1+3x）6（1﹣x）5中，含x2项的系数为＝55．29．在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③全部二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．已知（2x﹣1）n＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn（n∈N*），若（2x﹣1）n的绽开式中，．（1）求n的值；（2）求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值．【分析】（1）由二项式系数的性质及组合数公式可知，无论选填三个条件中的哪一个，n值都是10；（2）把n＝10代入（2x﹣1）n＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn，由二项绽开式的通项可知，x的奇数次方的系数为负，x的偶数次方的系数为正．然后分别取x＝0和x＝1，联马上可求得|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值．【解答】解：（1）在二项式（2x﹣1）n的绽开式中，若选填①，只有第6项的二项式系数最大，则绽开式中有11项，即n＝10；若选填②，第4项与第8项的二项式系数相等，则，即n＝10；若选填③，全部二项式系数的和为210，则2n＝210，即n＝10．故n＝10；（2）（2x﹣1）n＝（2x﹣1）10＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a10x10．∵二项式（2x﹣1）10的绽开式的通项＝．可知x的奇数次方的系数为负，x的偶数次方的系数为正．在（2x﹣1）10＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a10x10中，取x＝0，得a0＝1；取x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+…+a10＝310．∴|a1|+|a2|+|a3|+…+