重庆市北碚区2024-2025学年高二数学下学期期中试题含解析

Page20高2025届高二下期5月测试数学试题一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合，，，则（）A.或 B. C.或 D.【答案】B【解析】【分析】分析可知，利用集合的包含关系可出关于的等式，结合集合元素满意互异性可得出实数的值.【详解】因为，，，则，所以，或，若，则，此时，，集合中的元素不满意互异性，故；若，可得，因为，则，此时，，合乎题意.因此，.故选：B.2.已知a，，，则（）A.5 B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】依据复数相等求得，再求.【详解】因为，所以，，所以.故选：D3.的绽开式中的常数项是（）A. B.20 C. D.160【答案】C【解析】【分析】求出绽开式的通项，令的指数等于0，从而可得出答案.【详解】二项绽开式的通项为，令，得，

所以绽开式中的常数项为故选：C．4.五一劳动节前夕，4名同学各自由周六、周日两天中等可能地任选一天参与公益活动，且周六、周日都有同学参与公益活动，则周六恰有2位同学参与公益活动的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题计算出4名同学参与公益活动的总状况数，及周六恰有2名同学参与的状况数，即可得答案.【详解】由题意知，4名同学各自由周六、周日两天中任选一天参与公益活动的总状况数为，4人选择一天的状况数为2，则周六、周日都有同学参与公益活动共有种不同的结果．又周六恰有2位同学参与公益活动共有种不同的结果，故所求的概率为．故选：A5.算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项宏大的独创.在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为运用的计算工具.下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位､十位､百位､千位，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如，如图二，个位上拨动一粒上珠､两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位､十位､百位､千位､万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的五位数至多含3个5的状况有（）A.10种 B.25种 C.26种 D.27种【答案】C【解析】【分析】分类状况探讨结合组合数的计算可得种类.

【详解】方法一：至多含3个5，有以下四种状况：不含5，有种；含1个5，有种；含2个5，有种；含3个5，有种，所以，全部的可能状况共有种方法二：全部可能的状况有种，其中不符合条件有含有4个5，有种；含有5个5，有种；所以，全部的可能状况共有种故选：C.

6.若函数在在上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，参变分别得到，，依据二次函数的性质求出的最大值，即可得解.【详解】因为，所以，依题意在上恒成立，所以，令，，因为在上单调递增，则所以，即实数的取值范围是.故选：D7.设函数在R上存在导数，对随意的，有，且在上．若，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通过构造函数，利用的奇偶性和条件得到在上单调递减，再将变形成，从而得到，即可求出结果.【详解】因为，所以，得到，令，所以，则为奇函数，且，又当时，，所以由奇函数的性质知，在上单调递减，又，所以，即，所以，即.故选：A.8.已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（）A.3 B.5 C.7 D.9【答案】C【解析】【分析】作出函数的图象，可设，可得，推断与交点个数，进而将的零点个数问题转化为函数的图象交点个数问题，数形结合，可得答案.【详解】设，令可得：,对于，，故在处切线的斜率值为，设与相切于点，切线斜率，则切线方程为：，即，解得：；由于，故作出与图象如下图所示，与有四个不同交点，即与有四个不同交点，设三个交点为，由图象可知：，作出函数的图象如图，由此可知与无交点，与有三个不同交点，与各有两个不同交点，的零点个数为7个，故选：C【点睛】方法点睛：解决此类复合函数的零点问题，经常接受换元的方法，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决.二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分）9.对随意实数，有.则下列结论成立的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】求得的值推断选项A；求得的值推断选项B；求得的值推断选项C；求得的值推断选项D.【详解】由，可得，当时，，则，A选项错误；由二项式定理可得，，B选项错误；当时，，即，C选项正确；当时，，即，D选项正确.故选：CD10.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参与的演讲竞赛，现接受抽签法确定演讲依次，记事务A：“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最终一个出场”，事务B：“学生丙最终一个出场”，则下列结论中正确的是（）A.事务A包含78个样本点 B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】利用分步分类计数，结合组合排列数求事务A、事务B、事务样本点数，再应用古典概率求法求、，最终由条件概率公式求.【详解】问题等价于5个人支配到5个座位，事务A：甲不在首位，乙不在末位，支配甲（除首位）到其中4个座位上，分两种状况：若甲不在末位有种，再支配乙有种，其它同学作全排有，共有；若甲在末位有1种，余下同学（含乙）作全排有，共有；所以，事务A包含78个样本点；事务B：除丙以外的其它同学作全排有；事务：把丙支配在末位，再支配甲在中间3个位置有种，其它同学作全排有，共有；而5位同学全部可能支配有.所以，，而，综上，A、B正确，C、D错误.故选：AB11.函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，且，则（）A.为偶函数B.C.的图象关于对称D.若，则为奇函数【答案】AC【解析】【分析】依据简洁复合函数的求导法则及奇偶性的定义推断A、D，利用特别值推断B，依据周期性及奇偶性推断函数的对称性，即可推断C.【详解】因为为奇函数且在定义域上可导，即，所以两边对取导可得，即，所以为偶函数，故A正确；对于B：令，明显为奇函数，且最小正周期，即满意，则，则，故B错误；对于C：因为且为上的奇函数，所以，即，所以，即，所以的图象关于对称，故C正确；对于D：因为，则，即为奇函数，由A可知为偶函数，故D错误；故选：AC12.已知，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】由题设知，特别值推断A；依据指对数的单调性推断B、C；由基本不等式知，进而推断是否成立推断D.详解】由，故，当时，A错；由在定义域上递减，而，故，B错；由，而在定义域上递增，故，C对；因为，则，仅当，即时等号成立，所以，只需，而，仅当时等号成立，综上，，仅当时等号成立，D对.故选：CD三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.函数的单调递减区间为___________.【答案】【解析】【分析】求导数，解不等式即可得函数的单调递减区间.【详解】函数的定义域为，则，令，则，解得，故函数的单调递减区间为.故答案为：.14.函数在点处的切线方程为____________.【答案】【解析】【分析】由导数定义结合导数几何意义可得切线的斜率，即可得切线方程.【详解】则曲线在点处的切线方程的斜率为，得切线方程为，即.故答案为：15.在2024年卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队通过点球大战击败法国队，最终获得世界杯冠军.某嬉戏公司据此推出了一款“AR点球大战”的嬉戏，规则如下：嬉戏分为进攻方和防守方，进攻方最多连续点球5次，若进球则进攻方得1分，若没进则防守方得1分，先得3分者获胜，本次嬉戏结束.已知某用户作为进攻方时，若某次点球进球，则下次进球的概率为；若没有进球，则下次进球的概率为，在某次嬉戏中，该用户第1次点球没进，则该用户获胜的概率为________.【答案】【解析】【分析】先分析出该用户获胜分为点球4次后获胜或点球5次后获胜两类，再分析出每一类中包含的状况，计算出每种状况的概率，相加即得该用户获胜的概率.【详解】该用户第1次点球没进球且该用户获胜可分为点球4次后获胜或点球5次后获胜，记事务该用户第1次点球没进球且点球4次后获胜，该用户第1次点球没进球且点球5次后获胜若第1次点球没进球且点球4次后获胜，则只有一种状况，第2次、第3次和第4次均进球，所以；若第1次点球没进球且点球5次后获胜，则共有3种状况，①第2次没进，第3次、第4次和第5次进球；②第3次没进，第2次、第4次和第5次进球；③第4次没进，第2次、第3次和第5次进球，所以.故该用户获胜概率为.故答案为：.16.如图，某景区共有五个景点，相邻景点之间仅设置一个检票口供出入，共有7个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，须要对每个检票口的检票设备进行检测.若不重复经过同一个检票口，依次对全部检票口进行检测，则共有____________种不同的检测依次.【答案】【解析】【分析】将个景区抽象为个点，见个检票口抽象为条路途，将问题化归为不重复走完条路途，即一笔画问题，分析可得只能从或处动身才能不重复走完条路途，再用列举法列出全部可能结果，即可得解.【详解】如图将个景区抽象为个点，见个检票口抽象为条路途，将问题化归为不重复走完条路途，即一笔画问题，从或处动身的线路是奇数条，其余是偶数条，可以推断只能从或处动身才能不重复走完条路途，由于对称性，只列出从处动身的路途情形即可.①走路途：，，，，，，共种；②走路途：，，，，，，共种；③走路途：，，，，共种；综上，共有种检测依次.故答案为：四、解答题（共6小题，共70分）17.一只口袋中装有形态、大小都相同的10个小球，其中有红球1个，黑球4个，白球5个．（1）从中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X，求随机变量X的概率分布；（2）从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，求另一个小球也是黑球的概率.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列作答.（2）依据给定条件，利用条件概率公式计算作答.【小问1详解】可能的取值为0，1，2，3，，，，，概率分布列为：0123【小问2详解】设“从袋子中任取两个小球，其中一个小球是黑球”为事务，“另一个小球也是黑球”为事务，则，由条件概率公式可得，所以从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，另一个小球也是黑球的概率为.18.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的五位数中，能被5整除的个数有多少？（2）在组成的五位数中，全部奇数的个数有多少?（3）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少?（4）在组成的五位数中，若从小到大排列，30421排第几个?【答案】（1）24（2）36（3）36（4）第54个【解析】【分析】（1）能被5整除的数的个位数字为0，其它位置随意排.（2）先排个位数，从两个奇数里选，然后排万位数，不能为零，剩下其它位置随意排，再按分步乘法计数原理得出结果.（3）把数字1和3捆绑在一起，1和3可以交换位置，又最高位不为0，先支配0，有3个位置，其余位置随意排；（4）计算出比30421小的五位数的状况，即可知道30421排第几个.【小问1详解】能被5整除的数的个位数字为0，其它位置随意排，则有个；【小问2详解】在组成的五位数中，先排个位数，从两个奇数里选，然后排万位数，不能为零，剩下其它位置随意排.全部奇数的个数有个；【小问3详解】在组成的五位数中，把数字1和3捆绑在一起，1和3可以交换位置，又最高位不为0，先支配0，有3个位置，其余位置随意排，则有个；【小问4详解】比30421小的五位数，若万位为1或2，其余位置随意排，即，若万位为3，比30421小的有5个，30124，30142，30214，30241，30412.从小到大排列，30421排第54个.19.人们在接受问卷调查时，通常并不情愿照实回答太敏感的问题．比如，干脆问运动员们是否服用过兴奋剂，绝大多数状况下难以得到真实的数据．某中学发布了一项针对学生行为规范的新校规，学生社团想进行一次本校学生对新校规认可度的调查，为了消退被调查者的顾虑，细心设计了一份问卷：在回答问题前，请自行抛一个硬币：假如得到正面，请依据问题一勾选“是”或“否”；假如得到反面，请依据问题二勾选“是”或“否”．（友情提示：为了不泄漏您的隐私，请不要让其他人知道您抛硬币的结果．）问题一：您的身份证号码最终一个数字是奇数吗？“是”“否”问题二：您是否对新校规持认可看法?“是”“否”学生社团随机选取了150名男学生和150名女学生进行问卷调查，已知统计问卷中有85张勾选“是”．（1）依据以上的调查结果，利用你所学的学问，估计该校学生对新校规持认可看法的概率；（2）据核实，以上的300名学生中有20名学生对新校规持认可看法，其中男生15人，女生5人，请完成列联表，并推断是否有的把握认为对新校规持认可看法与性别有关．男生女生合计认可新校规不认可新校规合计参考公式和数据如下：，．0.150.100.050.0250.0052.0722.7063.8415.0247.879【答案】（1）（2）列联表见解析；有【解析】【分析】（1）由题意计算出回答第一个问题和回答其次个问题的人数，依据古典概型的概率公式可得答案；（2）由题意可得列联表，计算的值，比较即可得结论.【小问1详解】由题意知抛一个硬币：得到正面或反面是等可能的，故回答第一个问题的人数为人，回答其次个问题的人数也为150人，因为身份证号码最终一个数是否为奇数是等可能的，所以回答第一个问题，选择“是”的学生人数为，则回答其次个问题，选择“是”的同学人数为人，所以估计该校学生对新校规持认可看法的概率为；【小问2详解】由题意可得列联表如下：男生女生合计认可新校规15520不认可新校规135145280合计150150300故，故有的把握认为对新校规持认可看法与性别有关．20.某地新能源汽车保有量符合阻沛型增长模型，其中为自统计之日起，经过t年后该地新能源汽车保有量、和r为增长系数、M为饱和量．下表是该地近6年年底的新能源汽车的保有量（万辆）的统计数据：年份20242024202420242024t01234保有量9.612.917.123.231.4假设该地新能源汽车饱和量万辆．（1）若，假设2024年数据满意公式，计算的值（精确到0.01）并估算2024年年底该地新能源汽车保有量（精确到0.1万辆）；（2）设，则与t线性相关．请依据以上表格中相关数据，利用线性回来分析确定和r的值（精确到0.01）．附：线性回来方程中回来系数计算公式如下：.【答案】（1），万辆（2），【解析】【分析】（1）依据题意代入即可求出，代入利用公式估算即可得解；（2）设设，转化为关于的线性回来问题，利用公式求出即可.【小问1详解】由题意可知，2024年对应，，满意，所以，解得，因为年对应的，所以所以估计2024年底该地新能源汽车保有量为40.3万辆.【小问2详解】，设，则，t012349.612.917.123.231.43.373.072.772.442.11，，，所以，因为，所以.(该题无参考数据，须要计算器计算)21.已知函数，其中.（1）求曲线在处的切线方程；（2）证明：.