高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）2.1.2 两条直线平行和垂直的判定(附答案)

直线和圆的方程2.1.2两条直线平行和垂直的判定【考点梳理】考点一：两条直线(不重合)平行的判定类型斜率存在斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在图示考点二：两条直线垂直的判定图示对应关系l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2【题型归纳】题型一：由斜率判断两条直线平行1．（2022·江苏·高二）“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（

）条件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要2．（2022·上海交大附中高二期末）已知、是平面直角坐标系上的直线，“与的斜率相等”是“与平行”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件3．（2021·山西·怀仁市大地学校高中部高二阶段练习）直线，，则“”是“”的（

）条件A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型二：由斜率判断两条直线垂直4．（2021·吉林油田高级中学高二期中）下列方程所表示的直线中，一定相互垂直的一对是(

)A．与 B．与C．与 D．与5．（2022·江苏·高二课时练习）下列条件中，使得l1⊥l2的是（

）①l1的斜率为，l2经过点A(1，1)，B；②l1的倾斜角为45°，l2经过点P(-2，-1)，Q(3，-5)；③l1经过点M(1，0)，N(4，-5)，l2经过点R(-6，0)，S(-1，3).A．①② B．①③ C．②③ D．①②③6．（2021·全国·高二课时练习）直线过点和点，直线过点和点.则直线与的位置关系是（

）A．重合 B．平行 C．垂直 D．无法确定题型三：已知直线平行求参数7．（2022·全国·高二专题练习）已知直线与直线互相平行，则实数的值为(

)A． B．2或 C．2 D．8．（2022·全国·高二期末）设，直线，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．（2022·安徽亳州·高二期末）若直线：与直线：平行，则a的值是（

）A．1 B． C．或6 D．或7题型四：已知直线垂直求参数10．（2022·湖北孝感·高二期末）“”是“直线与直线垂直”的（

）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件11．（2022·江苏·高二）已知直线，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．12．（2022·天津和平·高二期末）已知直线的倾斜角为，直线经过点和，且直线与垂直，的值为（

）A．1 B．6 C．0或6 D．0题型五：直线平行、垂直在几何中的应用13．（2021·上海市杨浦高级中学高二期末）已知、、、、、，直线：，：，则“”是“直线与平行”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件14．（2022·全国·高二）过点与点(7,0)的直线l1，过点(2,1)与点(3，k＋1)的直线l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k为()A．－3 B．3C．－6 D．615．（2022·江苏·高二）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为A． B． C． D．【双基达标】一、单选题16．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）若直线x+ny+3=0与直线nx+9y+9=0平行，则实数n的值为（

）A．3 B．-3 C．1或3 D．3或-317．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知直线与直线，若，则（

）A．6 B． C．2 D．18．（2022·全国·高二课时练习）下列说法中正确的是（

）A．若两条直线斜率相等，则它们互相平行B．若，则C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交D．若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行19．（2022·全国·高二专题练习）“”是“直线：与直线：互相垂直”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件20．（2022·全国·高二专题练习）设为实数，若直线与直线平行，则值为（

）A． B．1 C． D．221．（2022·全国·高二专题练习）设常数，已知直线：，：．(1)若，求的值；(2)若，求与之间的距离．【高分突破】一：单选题22．（2022·江苏·高二课时练习）若两条直线和互相平行，则m的值为（

）A．3 B．或4 C．3或 D．3或423．（2022·天津红桥·高二期末）已知直线与平行，则的值为（

）A． B．C． D．24．（2022·广东广州·高二期末）已知两条直线：，：，且，则的值为(

)A．－2 B．1 C．－2或1 D．2或－125．（2022·广东清远·高二期末）已知直线经过点，，且与直线：平行，则（

）A．-2 B．2 C．-1 D．126．（2022·四川·遂宁中学高二开学考试（文））若直线与平行，则m的值为（

）A．－2 B．－1或－2 C．1或－2 D．127．（2022·北京顺义·高二期末）已知直线，，若，则实数等于（

）A．0 B．1 C． D．1或28．（2022·浙江省杭州学军中学高二期末）已知，则“”是“直线与平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件29．（2022·江苏·高二）若直线与直线垂直，垂足为，则（

）A． B．4 C． D．30．（2021·北京·人大附中高二阶段练习）设，则直线与直线垂直的充分不必要条件是（

）A． B．C．或1 D．或31．（2021·福建福州·高二期中）已知直线平行于直线，且在轴上的截距为，则，的值分别为（

）A．4和3 B．和3 C．和 D．4和32．（2021·湖南·高二期中）已知直线与平行，则（

）A．1 B． C．0 D．1或33．（2022·湖北·荆门市龙泉中学高二期中）“”是“直线与直线互相垂直”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件34．（2021·北京二十中高二期末）已知，则“”是“直线与平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题35．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）若直线l1：与直线l2：互相垂直，则实数的值是（

）A．-3 B．1 C．-1 D．336．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（

）A．若，则斜率B．若斜率，则C．若倾斜角，则D．若，则倾斜角37．（2022·广东深圳·高二期末）已知直线：，：，则下列结论正确的有（

）A．若，则B．若，则C．若，在x轴上的截距相等则D．的倾斜角不可能是倾斜角的2倍38．（2021·全国·高二课时练习）下列说法正确的有（

）A．若两条直线的斜率相等，则这两条直线可能平行B．若，则C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直D．若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行39．（2021·全国·高二课时练习）下列各对直线互相垂直的是（

）A．的倾斜角为120°，过点，B．的斜率为，过点，C．的倾斜角为30°，过点，D．过点，，过点，40．（2021·全国·高二课时练习）满足下列条件的直线与一定平行的是（

）A．经过点，，经过点，B．的斜率为1，经过点，C．经过点，，经过点，D．经过点，，经过点，41．（2021·广东·广州市第十六中学高二期中）已知直线：，：，下列命题中正确的有（

）A．当时，与重合 B．若，则C．当时，与相交 D．若，则三、填空题42．（2022·全国·高二专题练习）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题①若，则斜率；

②若斜率，则；③若，则倾斜角；④若倾斜角，则；其中正确命题的个数是______．43．（2022·上海中学东校高二期末）若直线与互相垂直，则实数___________．44．（2022·湖北十堰·高二阶段练习）关于直线：，：，若，则__________.45．（2022·上海市控江中学高二期末）若直线与互相垂直，则______.46．（2022·全国·高二课时练习）已知直线，互相垂直，则实数a的值为___________.47．（2022·广东·高二阶段练习）已知直线：，直线：，且，则m的值为______．48．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二阶段练习（理））已知直线和互相垂直，则实数的值为_____________.四、解答题49．（2022·全国·高二课时练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行．(1)的倾斜角为60°，经过点，；(2)平行于y轴，经过点，．50．（2022·全国·高二课时练习）（1）求过点且平行于直线的直线的方程；（2）求过点且垂直于直线的直线的方程．51．（2022·江苏·高二课时练习）（1）若直线ax＋3y＋1＝0与直线2x＋（a＋1）y＋2＝0平行，求实数a的值．（2）若直线（a＋1）x－2y＝1和直线2x－2ay＝1平行，求实数a的值．52．（2021·全国·高二课时练习）如图在平行四边形OABC中，O为坐标原点，点C(1，3).(1)求OC所在直线的斜率；(2)过C作CD⊥AB于D，求直线CD的斜率.【答案详解】1．D【分析】根据直线平行与斜率之间的关系，逐个选项进行判断即可.【详解】充分性：直线与平行，但是和都没有斜率，即当和都垂直于轴时，与仍然平行，但是，此时不满足直线与的斜率相等，故充分性不成立；必要性：直线与的斜率相等，则直线与平行或重合，故必要性不成立；综上，“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的既非充分又非必要条件.故选：D2．D【分析】根据直线平行与直线斜率的关系，即可求解.【详解】解：与的斜率相等”，“与可能重合，故前者不可以推出后者，若与平行，与的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，故前者是后者的既非充分条件也非必要条件，故选：D.3．C【分析】利用直线与直线平行时，斜率相等且截距不相等的性质分别讨论充分性和必要性即可.【详解】解：①充分性：当时，，，所以与斜率相等，且截距不相等，故，所以充分；②必要性：，，当时，则，解得：或，当时，两直线重合，所以舍去，当时，两直线斜率相等且截距不相等，符合题意，所以必要.所以“”是“”的充要条件故选：C.4．B【分析】两直线一条斜率为零，一条斜率不存在，此时它们垂直；或者两直线斜率均存在且不为零，斜率之积为－1，则它们垂直.据此即可求解.【详解】A：a＝0时，两直线分别为：，此时它们垂直；当a≠0时，它们斜率之积为，则它们不垂直；故两条直线不一定垂直；B：两直线斜率之积为：，故两直线垂直；C：两直线斜率之积为：，故两直线不垂直；D：两直线斜率之积为：，故两条直线不垂直；故选：B.5．B【分析】先求出两条直线的斜率，再由两直线垂直的斜率关系判断即可【详解】对于①：，，所以，故①正确；对于②：，，，故②错误；对于③：，，所以，故③正确；故选：B6．C【分析】分时，时，时三种情况讨论，观察直线斜率之间的关系即可得出结论.【详解】解：①当时，直线过点和点，直线过点和点.此时直线的斜率，直线的斜率不存在，因此.②当时，直线过点和点，直线过点和点.此时直线的斜率不存在，直线的斜率，因此.③当时，直线的斜率，直线的斜率此时，.综上可知，直线与垂直.故选：C.7．D【分析】两直线斜率存在时，两直线平行则它们斜率相等，据此求出a的值，再排除使两直线重合的a的值即可﹒【详解】直线斜率必存在，故两直线平行，则，即，解得，当时，两直线重合，∴．故选：D．8．A【分析】由可求得实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若，则，解得或，因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.9．D【分析】根据直线平行的充要条件即可求出．【详解】依题意可知，显然，所以由可得，，解得或7．故选：D．10．B【分析】由直线与直线垂直求出的值，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】直线与直线垂直,则，解得：或，所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.故选：B.11．A【分析】由两直线垂直得到，再代入消元利用二次函数的性质求解.【详解】解：，则，∴，所以，二次函数的抛物线的对称轴为，当时，取最小值.故选：A．12．D【分析】求出直线与的斜率，利用两个斜率乘积等于即可求解.【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，且与垂直，所以直线斜率存在，由经过点和，所以直线斜率为，所以，解得：，故选：D13．D【分析】判断是否可以推出；再判断是否可以推出，结合充分必要条件的定义即可得出结果.【详解】当时，两直线可能平行，也可能重合，故充分性不成立；当时，与可能都等于0，故不一定成立，故必要性不成立；综上所述，是的既非充分又非必要条件.故选：14．B【分析】根据四点共圆的条件可知，四边形的2个对角之和是180°，即l1与l2是相互垂直的，利用两条直线斜率的乘积为-1，即可得到结论．【详解】.由已知得l1⊥l2，∴×k＝－1，∴k＝3．【点睛】本题主要考查直线垂直与直线斜率之间的关系，利用四点共圆得到直线垂直是解决本题的关键．15．A【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0①AB的中点为（1，2），AB的中垂线方程为，即x-2y+3=0．联立解得∴△ABC的外心为（-1，1）．则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8

②联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．16．B【分析】根据两直线平行的公式求解即可.【详解】由题意知，且，故.故选：B17．A【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，求解方程得答案.【详解】解：因为直线与直线，且，所以，解得，故选：A.18．C【分析】根据直线平行和斜率之间的关系对选项一一判断即可得出答案.【详解】若两条直线斜率相等，则它们互相平行或重合，A错误；若，则或，的斜率都不存在，B错误；若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，C正确；若两条直线的斜率都不存在，则它们互相平行或重合，D错误．故选：C.19．A【分析】根据给定直线方程求出的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，，解得或，所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件.故选：A20．A【分析】由两直线平行的条件求解，去除重合的情形即得．【详解】由题意，，时，，两直线重合，舍去，时，，，满足两直线平行．所以．故选：A．21．(1)(2)【分析】（1）根据题意，由一般式下两直线垂直的充要条件可得，即可求解；（2）根据题意，由一般式下两直线平行的必要条件可求得的值，进而由平行线间的距离公式计算可得答案．（1）根据题意，直线：，：，若，则，解可得a（2）根据题意，若，则有，解可得或，当时，直线：，：，两直线重合，不符合题意，当时，直线：，：，即，两直线平行，此时与之间的距离22．C【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程（不等式）组，解得即可；【详解】解：因为直线和互相平行，所以，解得或；故选：C23．C【分析】由两直线平行可得，即可求出答案.【详解】直线与平行故选：C.24．B【分析】两直线平行，倾斜角相等，斜率均不存在或斜率存在且相等，据此即可求解.【详解】：，：斜率不可能同时不存在，∴和斜率相等，则或，∵m＝－2时，和重合，故m＝1.另解：，故m=1.故选：B.25．C【分析】由平行得到斜率相等，列出方程，求出答案.【详解】直线的斜率，直线的斜率，所以，解得.故选：C26．C【分析】利用两直线平行的判定有，即可求参数值.【详解】由题设，，可得或.经验证不重合，满足题意，故选：C.27．C【分析】由题意可得，则由得，从而可求出的值【详解】由题意可得，因为，，，所以，解得，故选：C28．A【分析】首先由两直线平行的充要条件求出参数的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】因为直线与平行，所以，解得或，所以“”是“直线与平行”的充分不必要条件.故选：A.29．D【分析】根据垂直关系可求，再根据点在直线上可求，，从而可得正确的选项.【详解】因为与直线垂直，故即，因为垂足为，故，故，故，故选：D.30．B【分析】根据两直线垂直求出a的范围即可直接判断作答.【详解】直线与直线垂直，等价于，解得或，所以直线与直线垂直的充分不必要条件是B选项.故选：B31．B【分析】根据直线平行得到，根据截距得到，解得答案.【详解】直线平行于直线，故，在轴上的截距为，故，解得，，验证满足不重合.故选：B.32．B【分析】由两直线平行的条件求解．【详解】因为，所以解得.故选：B．33．A【分析】根据直线垂直求出的范围即可得出.【详解】由直线垂直可得，解得或1，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.34．A【分析】首先由两直线平行的充要条件求出参数的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：因为直线与平行，所以，解得或，所以“”是“直线与平行”的充分不必要条件，故选：A35．AB【分析】由两直线垂直可得，然后解得即可.【详解】由两直线垂直，可得，即解得或.故选:AB.36．BCD【分析】利用直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率和直线的平行问题的应用求出结果．【详解】A选项，，可能直线与的倾斜角都是，斜率不存在，所以A选项错误.B选项，根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行，所以B选项正确.C选项，当两条直线的倾斜角相等时，直线平行，所以C选项正确.D选项，当两条直线平行时，则倾斜角必相等，所以D选项正确.故选：BCD37．AB【分析】根据直线平行、垂直的条件判断AB选项的正确性；根据直线的截距、倾斜角判断CD选项的正确性.【详解】若，则，得，选项A正确；若，则，得，选项B正确；若，在x轴上的截距相等，则，解得，选项C错误；当时，的倾斜角恰好是的倾斜角的2倍，选项D错误．故选：AB【点睛】解决此题的关键是要弄清楚直线的点斜式和直线的一般式判断两直线平行和垂直的充要条件，其次还要注意斜率的存在性，一定要注意分类讨论.易错点：两直线平行一定要注意纵截距不等和斜率的存在性.38．AD【分析】根据斜率与两条直线位置关系可判断A；两直线平行斜率可能都不存在可判断B；另一条直线的斜率存在但不为可判断C；根据两直线的位置关系可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，所以这两条直线可能平行，故选项A正确；对于B：若，则或两条直线的斜率都不存在，故选项B不正确；对于C：若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在且不为，则这两条直线不垂直，故选项C不正确；对于D：若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行，故选项D正确；故选：AD.39．ABD【分析】求出直线的斜率为，直线的斜率为，再利用斜率相乘是否为-1，即可得到答案；【详解】设直线的斜率为，直线的斜率为．对于A，因为．，所以，故两直线垂直．对于B，因为，，所以，故两条直线垂直．对于C，因为，，所以与不垂直对于D，因为，，所以，故两条直线垂直．故选：ABD40．CD【分析】求出设直线的斜率为，直线的斜率为．根据斜率是否相等，即可判断直线的位置关系；【详解】设直线的斜率为，直线的斜率为．对于A．，，，与不平行．对于B，，，，故或与重合对于C，，，则有．又，则A，B，M不共线．故.对于D，由已知点的坐标，得与均与x轴垂直且不重合，故有．故选：CD41．AD【分析】利用直线一般方程的平行垂直公式，分析即得解【详解】对于A：当时，直线为，直线为，即两线重合，故A正确；对于B：时，有，解得或（重合舍去），故B错误；对于C：由B知，当，时，，故C错误；对于D：时，，即，故D正确．故选：AD42．【分析】根据两直线平行的充要条件、斜率与倾斜角的关系判断即可；【详解】解：因为与为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，.①由于斜率都存在，若，则，此命题正确；②因为两直线的斜率相等即斜率，得到倾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命题正确；③因为，根据两直线平行，得到，此命题正确；④因