高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)5.1导数的概念及其意义-2022-2023学年高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第二册)(原卷版+解析)

5.1导数的概念及其意义备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：数列的概念与辨析；根据规律填写数列中的某项；递增数列与递减数列；确定数列中的最大（小）项；有穷数列与无穷数列；写出数列中的项；求递推关系式；数列的周期性；数列的单调性求参数课堂知识小结考点巩固提升知识归纳一．导数的定义：2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：；②求平均变化率：；③取极限得导数：二．导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在时的导数，即有。2.V＝s/(t)表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。三．导数的几何意义：函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。题型三．用导数求曲线的切线注意两种情况：（1）曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是：（2）曲线过点处切线：先设切点，切点为,则斜率k=，切点在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。考点讲解考点讲解考点1：平均变化率1．已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（

）A． B． C． D．【方法技巧】根据平均变化率的定义直接求解.【变式训练】1．函数在区间上的平均变化率等于（

）A． B．1 C．2 D．2．如图所示为物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的序号是______．①在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；②在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度；③在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；④在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度．考点2：瞬时变化率例2．某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在s时的瞬时速度为（

）A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s【方法技巧】根据瞬时速度的概念即可利用平均速度取极限求解.【变式训练】1．小明从家里到学校行走的路程s与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，，，则下列判断正确的个数为______．（1）；（2）；（3）对于，存在，使得；（4）整个过程小明行走的速度一直在加快．2．某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则物体在t=0s时的瞬时速度为______m/s；瞬时速度为9m/s的时刻是在t=______s时．考点3：导函数的概念与辨析例3．已知函数，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8【方法技巧】根据瞬时变化率的定义计算可得；【变式训练】1．函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（

）A． B．C． D．2．一质点作直线运动，其位移s与时间t的关系是，则在时的瞬时速度为（

）A．1 B．3 C．－2 D．2考点4：导数定义中极限的简单计算例4．已知函数，若，则__________.【方法技巧】根据利用极限计算导数的方法求得正确答案.【变式训练】1．设函数在R上可导，则当d趋近于0时，趋近于______．2．已知为可导函数，且，则_______．考点5：利用定义求函数在一点处的导数例4．设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（

）A． B． C．1 D．2【方法技巧】由导数的定义及几何意义即可求解.【变式训练】1．已知函数，，，，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据导数的几何意义，画出各个函数图象在处的切线，根据切线的斜率来判断即可．【详解】依次作出，，，在的切线，如图所示：2．已知是定义在R上的可导函数，若，则______.考点6：导数的几何意义例6．已知函数的图像在点处的切线方程是，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．5【方法技巧】根据切线方程的斜率为切点处的导数值,且切点在以及切线上即可求解.【变式训练】1．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（

）A． B． C． D．2．设函数在点处的切线方程为，则（

）A．4 B．2 C．1 D．知识小结知识小结一．导数的定义：2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：；②求平均变化率：；③取极限得导数：二．导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在时的导数，即有。2.V＝s/(t)表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。三．导数的几何意义：函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。题型三．用导数求曲线的切线注意两种情况：（1）曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是：（2）曲线过点处切线：先设切点，切点为,则斜率k=，切点在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。巩固提升巩固提升一、单选题1．降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（

）A． B． C． D．2．已知是定义在上的可导函数，若，则（

）A．0 B． C．1 D．3．函数在区间上的平均变化率为（

）A．3 B．2 C． D．4．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是（距离单位：米，时间单位：秒），则他在0.25秒时的瞬时速度为（

）A．6.75米/秒 B．6.55米/秒 C．5.75米/秒 D．5.55米/秒5．已知是定义在R上的可导函数，若，则（

）A．0 B．2 C． D．6．设在处可导，下列式子与相等的是（

）A． B．C． D．7．已知函数的图像在点处的切线方程是，则（

）A． B．2 C． D．38．已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（

）A．B．C．D．二、多选题9．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中一项就是在规定的时间T内完成房产供应量任务S．已知房产供应量S与时间t的函数关系如图所示，则在以下各种房产供应方案中，在时间内供应效率（单位时间的供应量）不是逐步提高的（

）A． B．C． D．10．下列说法正确的是（

）A．若不存在，则曲线在点处也可能有切线B．若曲线在点处有切线，则必存在C．若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在D．若曲线在点处没有切线，则有可能存在三、填空题11．已知函数，其中，则此函数在区间上的平均变化率为__________.12．已知函数，则______．13．若函数在区间上的平均变化率为3，则_____________.14．如图，已知直线l是曲线在处的切线，则的值为___________．四、解答题15．求函数在区间和上的平均变化率.5.1导数的概念及其意义备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：数列的概念与辨析；根据规律填写数列中的某项；递增数列与递减数列；确定数列中的最大（小）项；有穷数列与无穷数列；写出数列中的项；求递推关系式；数列的周期性；数列的单调性求参数课堂知识小结考点巩固提升知识归纳一．导数的定义：2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：；②求平均变化率：；③取极限得导数：二．导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在时的导数，即有。2.V＝s/(t)表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。三．导数的几何意义：函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。题型三．用导数求曲线的切线注意两种情况：（1）曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是：（2）曲线过点处切线：先设切点，切点为,则斜率k=，切点在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。考点讲解考点讲解考点1：平均变化率1．已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数，所以该函数在区间上的平均变化率为，故选：A【方法技巧】根据平均变化率的定义直接求解.【变式训练】1．函数在区间上的平均变化率等于（

）A． B．1 C．2 D．【答案】C【分析】根据平均变化率公式计算可得；【详解】解：因为，，所以，即函数在区间上的平均变化率为；故选：C2．如图所示为物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的序号是______．①在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；②在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度；③在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；④在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度．【答案】③④【分析】根据平均速度的公式判断①③④，从而①错误，③④正确；根据瞬时速度与切线斜率的关系作出判断②错误；【详解】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故①错误．瞬时速度为切线斜率，故②错误．在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，因为，，所以，故③正确．同理④正确．故答案为：③④．考点2：瞬时变化率例2．某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在s时的瞬时速度为（

）A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s【答案】D【详解】该物体在时间段上的平均速度为，当无限趋近于0时，无限趋近于3，即该物体在s时的瞬时速度为3m/s．故选：D【方法技巧】根据瞬时速度的概念即可利用平均速度取极限求解.【变式训练】1．小明从家里到学校行走的路程s与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，，，则下列判断正确的个数为______．（1）；（2）；（3）对于，存在，使得；（4）整个过程小明行走的速度一直在加快．【答案】3【分析】对于（1）（2），根据平均速度的定义结合图判断即可，对于（3），由图象可知，从而可得结论，对于（4），根据曲线在各点处的切线方程的斜率的大小判断即可.【详解】解：由题意，可知，，．由题中图像可知，且，因此，而，所以，因此，此时，所以（1）正确；因为，，故成立，（2）正确；由题中图像可知，直线与曲线的交点为，故存在，使得，即当时，，故（3）正确；t时刻的瞬时速度为，判断瞬时速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率，由题中图像可知，当时，切线方程的斜率最大，故而在此时，瞬时速度最快，因此，（4）不正确．故答案为：3．2．某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则物体在t=0s时的瞬时速度为______m/s；瞬时速度为9m/s的时刻是在t=______s时．【答案】

1

4【分析】由瞬时速度的定义可求解.【详解】，即物体在t=0s时的瞬时速度为1m/s．设物体在时刻的瞬时速度为9m/s，又，所以，物体在t=4s时的瞬时速度为9m/s．故答案为：1；4考点3：导函数的概念与辨析例3．已知函数，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【详解】解：因为，所以故选：D【方法技巧】根据瞬时变化率的定义计算可得；【变式训练】1．函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由图象的变化趋势，结合导函数的定义有，即可得答案.【详解】由图知：，即.故选：A2．一质点作直线运动，其位移s与时间t的关系是，则在时的瞬时速度为（

）A．1 B．3 C．－2 D．2【答案】D【分析】利用导数的物理意义可直接求导得到结果.【详解】由得：，当时，，即物体在时的瞬时速度为2.故选：D.考点4：导数定义中极限的简单计算例4．已知函数，若，则__________.【答案】【详解】依题意，.故答案为：【方法技巧】根据利用极限计算导数的方法求得正确答案.【变式训练】1．设函数在R上可导，则当d趋近于0时，趋近于______．【答案】##【分析】由导数的定义，当时，，即可得出结果【详解】因为函数在R上可导，且，当时，，所以．故答案为：2．已知为可导函数，且，则_______．【答案】【分析】根据函数在处的导数的定义及极限的运算即可求解.【详解】解：因为.故答案为：.考点5：利用定义求函数在一点处的导数例4．设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【详解】解：因为存在导函数且满足，所以，即曲线上的点处的切线的斜率为，故选：A.【方法技巧】由导数的定义及几何意义即可求解.【变式训练】1．已知函数，，，，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据导数的几何意义，画出各个函数图象在处的切线，根据切线的斜率来判断即可．【详解】依次作出，，，在的切线，如图所示：根据图形中切线的斜率可知．故选：A．2．已知是定义在R上的可导函数，若，则______.【答案】##【分析】根据导数的定义计算可得结果.【详解】由导数的定义，可得.故答案为：考点6：导数的几何意义例6．已知函数的图像在点处的切线方程是，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】B【详解】由点处的切线方程是可得：,时，,故,,故选：B【方法技巧】根据切线方程的斜率为切点处的导数值,且切点在以及切线上即可求解.【变式训练】1．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意可知切点坐标，由切线方程得到，利用导数的概念解出即可.【详解】依题意可知切点，函数的图象在点处的切线方程是，，即又即故选：D.2．设函数在点处的切线方程为，则（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】C【分析】根据曲线某点处的导数等于切线的斜率，得，再根据可求解.【详解】函数在点处的切线方程为，则.故选:C.知识小结知识小结一．导数的定义：2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：；②求平均变化率：；③取极限得导数：二．导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在时的导数，即有。2.V＝s/(t)表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。三．导数的几何意义：函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。题型三．用导数求曲线的切线注意两种情况：（1）曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是：（2）曲线过点处切线：先设切点，切点为,则斜率k=，切点在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。巩固提升巩固提升一、单选题1．降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接图上的点，利用直线的斜率与平均变化率的定义判断即可；【详解】解：如图分别令、、、、所对应的点为、、、、，由图可知，所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快；故选：C2．已知是定义在上的可导函数，若，则（

）A．0 B． C．1 D．【答案】B【分析】对条件变形，利用导数的定义求解出到数值.【详解】因为，所以，故故选：B3．函数在区间上的平均变化率为（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】根据平均变化率的定义计算即可【详解】由题，函数在区间上的平均变化率为故选：D4．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是（距离单位：米，时间单位：秒），则他在0.25秒时的瞬时速度为（

）A．6.75米/秒 B．6.55米/秒 C．5.75米/秒 D．5.55米/秒【答案】D【分析】依据瞬时速度定义利用极限去求他在0.25秒时的瞬时速度即可【详解】则他在0.25秒时的瞬时速度为5.55米/秒故选：D5．已知是定义在R上的可导函数，若，则（

）A．0 B．2 C． D．【答案】D【分析】依据导数的定义，利用题给条件去求的值即可.【详解】由导数的定义，可得．故选：D6．设在处可导，下列式子与相等的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据导函数的定义，将各选项中的式子化简，即可判断出答案.【详解】对于A，,A错误；对于B，，B正确；对于C,，C错误；对于D，，D错误，故选：B7．已知函数的图像在点处的切线方程是，则（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【分析】利用导数的几何意义求出和，即可求得.【详解】函数的图像在点处的切线的斜率就是在该点处的导数，即就是切线的斜率，所以.又，所以.故选：D8．已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用导数的几何意义和直线的斜率公式，结合图象得出答案．【详解】和分别表示函数在和处的切线斜率，结合图象可得，而，表示过和两点的直线斜率，则故选：D二、多选题9．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中一项就是在规定的时间T内完成房产供应量任务S．已知房产供应量S与时间t的函数关系如图所示，则在以下