高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题63三角函数章末复习(原卷版+解析)

专题63三角函数章末复习一知识系统整合二规律方法1．在任意角和弧度制的学习中，要区分开角的各种定义，如：锐角一定是第一象限角，而第一象限角不全是锐角，概念要搞清；角度制和弧度制表示角不能混用，如：α＝2kπ＋30°，k∈Z，这种表示法不正确．2．任意角的三角函数，首先要考虑定义域，其次要深刻认识三角函数符号的含义，sinα＝eq\f(y,r)≠sin×α；诱导公式的记忆要结合三角函数的定义去记忆．3．同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1及eq\f(sinα,cosα)＝tanα，必须牢记这两个基本关系式，并能应用它们进行三角函数的求值、化简、证明，在应用中，注意掌握解题的技巧，能灵活运用公式．在应用平方关系求某个角的另一个三角函数值时，要注意根式前面的符号的确定．4．三角函数的诱导公式诱导公式一至六不仅要正确、熟练地掌握其记忆的诀窍，更要能灵活地运用．(1)－α角的三角函数是把负角转化为正角；(2)2kπ＋α(k∈Z)角的三角函数是化任意角为[0,2π)内的角；(3)eq\f(π,2)±α，π±α，eq\f(3π,2)±α，2π－α角的三角函数是化非锐角为锐角；(4)化负为正→化大为小→化为锐角；(5)记忆规律：奇变偶同，象限定号．5．正弦函数、余弦函数的图象与性质(1)五点法作图是画三角函数图象的基本方法，要切实掌握，作图时自变量要用弧度制，作出的图象要正规．(2)奇偶性、单调性、最值、周期是三角函数的重要性质，f(x＋T)＝f(x)应强调的是自变量x本身加常数才是周期，如f(2x＋T)＝f(2x)，T不是f(2x)的周期．解答三角函数的单调性的题目一定要注意复合函数单调性法则，更要注意定义域．6．使用本章公式时，应注意公式的正用、逆用以及变形应用．如两角和与差的正切公式tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ)，其变形公式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)应用广泛；公式cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α的变形公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)常用来升幂或降幂．7．函数y＝Asin(ωx＋φ)主要掌握由函数y＝sinx的图象到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的平移、伸缩等变换．注意各种变换对图象的影响，注意各物理量的意义，A，ω，φ与各种变换的关系．8．三角函数的应用(1)根据图象建立解析式；(2)根据解析式作出图象；(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型；(4)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数模拟．在建立三角函数模型的时候，要注意从数据的周而复始的特点以及数据变化趋势两个方面来考虑．考点一三角函数的概念1．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．2．若角α的终边所在直线经过点P(－2,3)，则有()A．sinα＝eq\f(2\r(13),13) B．cosα＝－eq\f(2\r(13),13)C．sinα＝eq\f(3\r(13),13) D．tanα＝－eq\f(3,2)3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，则y＝_____.4．若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是5．有一个扇形的弧长为eq\f(π,2)，面积为eq\f(π,4)，则该弧所对弦长为考点二同角三角函数基本关系和诱导公式的应用1．若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－eq\f(\r(5),3)，则sin(－5π＋α)＝2．已知eq\f(1－cosx＋sinx,1＋cosx＋sinx)＝－2，则tanx的值为3．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cosα＝eq\f(\r(30),6)，则|a－b|＝4．已知tanα＝－eq\r(3)，eq\f(π,2)＜α＜π，则sinα－cosα＝5．已知角α的终边上有一点P(1,3)，则eq\f(sinπ－α－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＋2cos－π＋α)的值为6．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，tanα＝2，则cosα＝7．已知eq\f(3sin（π＋α）＋cos（－α）,4sin（－α）－cos（9π＋α）)＝2，则tanα＝8．已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝________.9．已知tanα＝－eq\f(4,3)，求下列各式的值：(1)eq\f(2cosα＋3sinα,3cosα＋sinα)；(2)2sin2α＋sinαcosα－3cos2α.10．已知2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝1，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，－π)).求：(1)tanα；(2)eq\f(2sinα－3cosα,4sinα－9cosα).11．已知tanα＝－eq\f(3,4).(1)求2＋sinαcosα－cos2α的值；(2)求eq\f(sin4π－αcos3π＋αcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,2)π－α)),cosπ－αsin3π－αsin－π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,2)π＋α)))的值．12．已知f(α)＝eq\f(sin2π－α·cos2π－α·tan－π＋α,sin－π＋α·tan－α＋3π).(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝eq\f(1,8)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，求cosα－sinα的值；(3)若α＝－eq\f(47π,4)，求f(α)的值．13．已知－eq\f(π,2)<x<0，sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，则sinx－cosx的值为________．14．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于15．若sinθ＝eq\f(\r(3),3)，则eq\f(cosπ－θ,cosθ\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))－1)))＋eq\f(cos2π－θ,cosπ＋θsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ)))的值为________．16.已知cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，且角α在第四象限，计算：(1)sin(2π－α)；(2)eq\f(sin[α＋（2n＋1）π]＋sin（π＋α）,sin（π－α）cos（α＋2nπ）)(n∈Z)．考点三三角恒等变换的综合应用1．化简eq\r(1－2sinπ＋4cosπ＋4)等于()A．sin4－cos4 B．cos4－sin4C．－sin4－cos4 D．sin4＋cos42．2sin215°－1的值是3．若sin2α＝eq\f(1,4)，eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，则cosα－sinα的值是4．已知α为锐角，cosα＝eq\f(\r(5),5)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2α))＝5．在eq\r(3)sinx＋cosx＝2a－3中，a的取值范围是A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(1,2)))6．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5)，求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))的值．7．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6，4sinB＋3cosA＝1，则C的大小为________．8．在△ABC中，已知taneq\f(A＋B,2)＝sinC，则△ABC的形状为()A．正三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形9．已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，且α为锐角，tanβ＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为10．已知α，β，γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，则β－α的值为________．11．求值：eq\f(sin50°1＋\r(3)tan10°－cos20°,cos80°\r(1－cos20°)).12．化简：eq\f(2sin130°＋sin100°1＋\r(3)tan370°,\r(1＋cos10°)).13．求证：sinθ(1＋tanθ)＋cosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tanθ)))＝eq\f(1,sinθ)＋eq\f(1,cosθ).14．求证：eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(cosαtanα,1＋cosα)＝1.15．求证：eq\f(1＋2sinαcosα,cos2α－sin2α)＝eq\f(1＋tanα,1－tanα).16．求证：tan2x＋eq\f(1,tan2x)＝eq\f(23＋cos4x,1－cos4x).17．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.18．已知tanα＝4eq\r(3)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，α，β均为锐角，求cosβ的值．19．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(2\r(7),7)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(1,2)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求：(1)coseq\f(α＋β,2)；(2)tan(α＋β)．20．已知α，β为锐角，tanα＝eq\f(4,3)，cos(α＋β)＝－eq\f(\r(5),5).(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．21．已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))sinx－eq\r(3)cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的单调性．22．已知函数f(x)＝4tanxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))－eq\r(3).(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的单调性．23．已知函数f(x)＝eq\f(sinx－cosxsin2x,sinx).(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．24．已知函数f(x)＝2eq\r(3)sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)求f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．25．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,4)))＝eq\f(5,13)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－β))＝eq\f(3,5)，且－eq\f(π,4)<α<eq\f(π,4)，eq\f(π,4)<β<eq\f(3π,4)，求cos[2(α－β)]的值．考点四三角函数的图象与性质1．函数y＝eq\r(16－x2)＋eq\r(sinx)的定义域为______________．2．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sinx，则f(x)的解析式是__________________．3．对于函数f(x)＝sin2x，下列选项中正确的是()A．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上是递增的B．f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的最小正周期为2πD．f(x)的最大值为24．函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－2x))(x∈[0，π])的单调递增区间是5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\r(2)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)))＝6．在△ABC中，C>eq\f(π,2)，若函数y＝f(x)在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是()A．f(cosA)>f(cosB)B．f(sinA)>f(sinB)C．f(sinA)>f(cosB)D．f(sinA)<f(cosB)7．已知函数f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)＋φ))是奇函数，当φ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，φ的值为________．8．若函数f(x)＝sinx＋acosx的图象关于直线x＝eq\f(π,6)对称，则a＝________.9．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))单调递增；③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2，其中所有正确结论的编号是()A．①②④ B．②④C．①④ D．①③10．给出下列4个命题：①函数y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,12)))))的最小正周期是eq\f(π,2)；②直线x＝eq\f(7π,12)是函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))的一条对称轴；③若sinα＋cosα＝－eq\f(1,5)，且α为第二象限角，则tanα＝－eq\f(3,4)；④函数y＝cos(2－3x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，3))上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)．11．已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,2)))(x∈R)，下列说法错误的是()A．函数f(x)的最小正周期是πB．函数f(x)是偶函数C．函数f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))中心对称D．函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函数12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|≤\f(π,2)))，x＝－eq\f(π,4)为f(x)的零点，x＝eq\f(π,4)为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,18)，\f(5π,36)))上单调，则ω的最大值为13．对于函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，sinx≥cosx，,cosx，sinx<cosx，))下列命题中正确的是()A．该函数的值域是[－1,1]B．当且仅当x＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时，函数取得最大值1C．当且仅当x＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)时，函数取得最小值－1D．当且仅当2kπ＋π<x<2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)时，f(x)<014．函数f(x)＝eq\f(sinx,|cosx|)在区间[－π，π]内的大致图象是下列图中的()15．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为2π，且满足f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosx，－π≤x<0，,sinx，0≤x<π，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,4)π))＝________.16．已知f(x)＝sin2x＋cosx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，则f(x)的值域为________．17．若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是18．函数f(x)＝eq\f(sinx1－sinx,1－sinx)的奇偶性是()A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又偶函数 D．非奇非偶函数19．求函数f(x)＝2sin2x＋2sinx－eq\f(1,2)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))的值域．20．已知|x|≤eq\f(π,4)，求函数y＝－sin2x＋sinx＋1的最小值．21．函数f(x)＝logeq\f(1,2)cosx的单调递增区间是___________．22．下列函数中，周期为4π的是()A．y＝sin4xB．y＝cos2xC．y＝taneq\f(x,2) D．y＝sineq\f(x,2)23．已知函数f(x)＝logacoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))(其中a>0，且a≠1)．(1)求它的定义域；(2)求它的单调区间；(3)判断它的奇偶性；(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期．24．已知函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋a＋1(其中a为常数)．①求f(x)的单调区间；②若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)的最大值为4，求a的值．26．用“五点法”作出函数y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．①y>1；②y<1.(2)若直线y＝a与y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．27．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部分，则它的振幅、周期、初相分别是()A．A＝3，T＝eq\f(4π,3)，φ＝－eq\f(π,6)B．A＝3，T＝eq\f(4π,3)，φ＝－eq\f(3π,4)C．A＝1，T＝eq\f(4π,3)，φ＝－eq\f(π,6)D．A＝1，T＝eq\f(4π,3)，φ＝－eq\f(3π,4)28．函数f(x)＝1－2a－2acosx－2sin2x的最小值为g(a)(a∈R)．(1)求g(a)；(2)若g(a)＝eq\f(1,2)，求a及此时f(x)的最大值．29．在已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为eq\f(π,2)，且图象上一个最低点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2)).(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,2)))时，求f(x)的值域．30．已知函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).(1)求函数f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的集合；(2)指出函数y＝f(x)的图象可以由函数y＝sinx的图象经过哪些变换得到；(3)当x∈[0，m]时，函数y＝f(x)的值域为[－eq\r(3)，2]，求实数m的取值范围．考点五三角函数的图象变换问题1．已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))，则下面结论正确的是()A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq\f(π,6)个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq\f(π,12)个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq\f(π,6)个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq\f(π,12)个单位长度，得到曲线C22．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移eq\f(π,8)个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,4)C．0 D．－eq\f(π,4)3．将函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq\f(1,4)个周期后，所得图象对应的函数为()A．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))) B．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))C．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))) D．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<eq\f(π,2))的图象上的一个最低点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))，周期为π.(1)求f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x轴向右平移eq\f(π,6)个单位，得到函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的解析式．5．如图，是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的一段图象．(1)求此函数的解析式；(2)分析一下该函数的图象是如何通过y＝sinx的图象变换得来的？考点六三角函数的应用1．直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2米，过点P的一直线与走廊的外侧两边交于A，B两点，且与走廊的一边的夹角为θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜θ＜\f(π,2))).(1)将线段AB的长度l表示为θ的函数；(2)一根长度为5米的铁棒能否水平(即铁棒与地面平行)通过该直角走廊？并说明理由．(铁棒的粗细忽略不计)2．福建沿海的超强台风过后，当地人民积极恢复生产，焊接工王师傅每天都很忙碌．今天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角θ＝eq\f(π,3)，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下的钢板面积最大．试问王师傅如何确定A的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？专题63三角函数章末复习一知识系统整合二规律方法1．在任意角和弧度制的学习中，要区分开角的各种定义，如：锐角一定是第一象限角，而第一象限角不全是锐角，概念要搞清；角度制和弧度制表示角不能混用，如：α＝2kπ＋30°，k∈Z，这种表示法不正确．2．任意角的三角函数，首先要考虑定义域，其次要深刻认识三角函数符号的含义，sinα＝eq\f(y,r)≠sin×α；诱导公式的记忆要结合三角函数的定义去记忆．3．同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1及eq\f(sinα,cosα)＝tanα，必须牢记这两个基本关系式，并能应用它们进行三角函数的求值、化简、证明，在应用中，注意掌握解题的技巧，能灵活运用公式．在应用平方关系求某个角的另一个三角函数值时，要注意根式前面的符号的确定．4．三角函数的诱导公式诱导公式一至六不仅要正确、熟练地掌握其记忆的诀窍，更要能灵活地运用．(1)－α角的三角函数是把负角转化为正角；(2)2kπ＋α(k∈Z)角的三角函数是化任意角为[0,2π)内的角；(3)eq\f(π,2)±α，π±α，eq\f(3π,2)±α，2π－α角的三角函数是化非锐角为锐角；(4)化负为正→化大为小→化为锐角；(5)记忆规律：奇变偶同，象限定号．5．正弦函数、余弦函数的图象与性质(1)五点法作图是画三角函数图象的基本方法，要切实掌握，作图时自变量要用弧度制，作出的图象要正规．(2)奇偶性、单调性、最值、周期是三角函数的重要性质，f(x＋T)＝f(x)应强调的是自变量x本身加常数才是周期，如f(2x＋T)＝f(2x)，T不是f(2x)的周期．解答三角函数的单调性的题目一定要注意复合函数单调性法则，更要注意定义域．6．使用本章公式时，应注意公式的正用、逆用以及变形应用．如两角和与差的正切公式tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ)，其变形公式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)应用广泛；公式cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α的变形公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)常用来升幂或降幂．7．函数y＝Asin(ωx＋φ)主要掌握由函数y＝sinx的图象到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的平移、伸缩等变换．注意各种变换对图象的影响，注意各物理量的意义，A，ω，φ与各种变换的关系．8．三角函数的应用(1)根据图象建立解析式；(2)根据解析式作出图象；(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型；(4)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数模拟．在建立三角函数模型的时候，要注意从数据的周而复始的特点以及数据变化趋势两个方面来考虑．考点一三角函数的概念1．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．[解析]∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(4t2＋－3t2)＝5|t|，当t>0时，r＝5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,5t)＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,5t)＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4)；当t<0时，r＝－5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,－5t)＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,－5t)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4).综上可知，t>0时，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4)；t<0时，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).2．若角α的终边所在直线经过点P(－2,3)，则有()A．sinα＝eq\f(2\r(13),13) B．cosα＝－eq\f(2\r(13),13)C．sinα＝eq\f(3\r(13),13) D．tanα＝－eq\f(3,2)[解析]由三角函数的定义可知，|OP|＝eq\r(－22＋32)＝eq\r(13).∴sinα＝±eq\f(3,\r(13))＝±eq\f(3\r(13),13)，cosα＝±eq\f(2,\r(13))＝±eq\f(2\r(13),13)，tanα＝－eq\f(3,2).3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，则y＝_____.[解析]r＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(16＋y2)，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，所以sinθ＝eq\f(y,r)＝eq\f(y,\r(16＋y2))＝－eq\f(2\r(5),5)，所以θ为第四角限角，解得y＝－8.4．若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是[解析]∵tan600°＝eq\f(a,－4)＝tan(540°＋60°)＝tan60°＝eq\r(3)，∴a＝－4eq\r(3).5．有一个扇形的弧长为eq\f(π,2)，面积为eq\f(π,4)，则该弧所对弦长为[解析]设扇形的半径为R，由扇形的面积S＝eq\f(π,4)，得S＝eq\f(π,4)＝eq\f(1,2)×eq\f(π,2)R，得R＝1，则扇形的圆心角α＝eq\f(l,R)＝eq\f(\f(π,2),1)＝eq\f(π,2)，则弧所对弦长为eq\r(2)R＝eq\r(2)考点二同角三角函数基本关系和诱导公式的应用1．若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－eq\f(\r(5),3)，则sin(－5π＋α)＝[解析]因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－eq\f(\r(5),3)，所以sinα＝eq\f(\r(5),3)，所以sin(－5π＋α)＝sin(－π＋α)＝－sinα＝－eq\f(\r(5),3)2．已知eq\f(1－cosx＋sinx,1＋cosx＋sinx)＝－2，则tanx的值为[解析]已知等式变形得1－cosx＋sinx＝－2－2cosx－2sinx，整理得3sinx＋cosx＝－3，即cosx＝－3sinx－3，代入sin2x＋cos2x＝1中，得sin2x＋(－3sinx－3)2＝1，整理得5sin2x＋9sinx＋4＝0，即(sinx＋1)·(5sinx＋4)＝0，解得sinx＝－1或sinx＝－eq\f(4,5).当sinx＝－1时，cosx＝0,1＋cosx＋sinx＝0，分母为0，不合题意，则sinx＝－eq\f(4,5)，所以cosx＝－eq\f(3,5)，因此tanx＝eq\f(4,3)3．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cosα＝eq\f(\r(30),6)，则|a－b|＝[解析]依题意得：tanα＝eq\f(a,1)＝a，且tanα＝eq\f(b,2)，因此|a－b|＝|tanα|.由cosα＝eq\f(\r(30),6)得sin2α＝1－eq\f(5,6)＝eq\f(1,6)，因此|tanα|＝eq\f(\r(5),5)，所以|a－b|＝eq\f(\r(5),5).4．已知tanα＝－eq\r(3)，eq\f(π,2)＜α＜π，则sinα－cosα＝[解析]由tanα＝－eq\r(3)得cos2α＝eq\f(1,1＋tan2α)＝eq\f(1,4)，又eq\f(π,2)＜α＜π，所以cosα＝－eq\f(1,2)，因此sinα＝tanα·cosα＝eq\f(\r(3),2)，∴sinα－cosα＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)5．已知角α的终边上有一点P(1,3)，则eq\f(sinπ－α－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＋2cos－π＋α)的值为[解析]依题意得tanα＝eq\f(y,x)＝3，则eq\f(sinπ－α－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＋2cos－π＋α)＝eq\f(sinα－cosα,－sinα－2cosα)＝eq\f(tanα－1,－tanα－2)＝eq\f(3－1,－3－2)＝－eq\f(2,5).6．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，tanα＝2，则cosα＝[解析]由tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝2，sin2α＋cos2α＝1，联立得cos2α＝eq\f(1,5)，由α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))知cosα<0，所以cosα＝－eq\f(\r(5),5).7．已知eq\f(3sin（π＋α）＋cos（－α）,4sin（－α）－cos（9π＋α）)＝2，则tanα＝[解析]由已知得eq\f(－3sinα＋cosα,－4sinα＋cosα)＝2，则5sinα＝cosα，所以tanα＝eq\f(1,5).8．已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝________.[解析]由已知得－sinθ－2cosθ＝0，故tanθ＝－2，则eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝eq\f(tanθ＋1,tanθ－1)＝eq\f(－2＋1,－2－1)＝eq\f(1,3).9．已知tanα＝－eq\f(4,3)，求下列各式的值：(1)eq\f(2cosα＋3sinα,3cosα＋sinα)；(2)2sin2α＋sinαcosα－3cos2α.[解析](1)∵tanα＝－eq\f(4,3)，∴eq\f(2cosα＋3sinα,3cosα＋sinα)＝eq\f(2＋3tanα,3＋tanα)＝eq\f(2＋3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3))),3＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3))))＝－eq\f(6,5).(2)2sin2α＋sinαcosα－3cos2α＝eq\f(2sin2α＋sinαcosα－3cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tan2α＋tanα－3,tan2α＋1)＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))－3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))2＋1)＝－eq\f(7,25).10．已知2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝1，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，－π)).求：(1)tanα；(2)eq\f(2sinα－3cosα,4sinα－9cosα).[解析](1)2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝eq\f(2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2＋3tanα－3tan2α,1＋tan2α)，则eq\f(2＋3tanα－3tan2α,1＋tan2α)＝1，即4tan2α－3tanα－1＝0.解得tanα＝－eq\f(1,4)或tanα＝1.∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，－π))，∴α为第二象限角，∴tanα<0，∴tanα＝－eq\f(1,4).(2)原式＝eq\f(\f(2sinα,cosα)－\f(3cosα,cosα),\f(4sinα,cosα)－\f(9cosα,cosα))＝eq\f(2tanα－3,4tanα－9)＝eq\f(－2×\f(1,4)－3,－4×\f(1,4)－9)＝eq\f(7,20).11．已知tanα＝－eq\f(3,4).(1)求2＋sinαcosα－cos2α的值；(2)求eq\f(sin4π－αcos3π＋αcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,2)π－α)),cosπ－αsin3π－αsin－π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,2)π＋α)))的值．[解析](1)2＋sinαcosα－cos2α＝eq\f(2sin2α＋cos2α＋sinαcosα－cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2sin2α＋sinαcosα＋cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tan2α＋tanα＋1,1＋tan2α)，把tanα＝－eq\f(3,4)代入，得原式＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＋1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))2)＝eq\f(\f(9,8)－\f(3,4)＋1,1＋\f(9,16))＝eq\f(22,25).(2)原式＝eq\f(－sinα－cosα－sinαcos\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(7π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))),－cosαsinπ－α[－sinπ＋α]sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))))＝eq\f(－sin2αcosα\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))),－cosαsinα[－－sinα]sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))＝eq\f(sin2αcosαsinα,－cosαsin2αcosα)＝－eq\f(sinα,cosα)＝－tanα，把tanα＝－eq\f(3,4)代入，得原式＝eq\f(3,4).12．已知f(α)＝eq\f(sin2π－α·cos2π－α·tan－π＋α,sin－π＋α·tan－α＋3π).(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝eq\f(1,8)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，求cosα－sinα的值；(3)若α＝－eq\f(47π,4)，求f(α)的值．[解析](1)f(α)＝eq\f(sin2α·cosα·tanα,－sinα－tanα)＝sinα·cosα.(2)由f(α)＝sinα·cosα＝eq\f(1,8)可知，(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinα·cosα＋sin2α＝1－2sinα·cosα＝1－2×eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)，又∵eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，∴cosα<sinα，即cosα－sinα<0.∴cosα－sinα＝－eq\f(\r(3),2).(3)∵α＝－eq\f(47π,4)＝－6×2π＋eq\f(π,4)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(47π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(47π,4)))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(47π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6×2π＋\f(π,4)))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6×2π＋\f(π,4)))＝coseq\f(π,4)·sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2).13．已知－eq\f(π,2)<x<0，sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，则sinx－cosx的值为________．[解析]由sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝eq\f(1,25)，即2sinxcosx＝－eq\f(24,25)，所以(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(49,25).又因为－eq\f(π,2)<x<0，所以sinx<0，cosx>0，sinx－cosx<0，故sinx－cosx＝－eq\f(7,5).14．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于[解析]sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ－2,tan2θ＋1)，又tanθ＝2，故原式＝eq\f(4＋2－2,4＋1)＝eq\f(4,5).15．若sinθ＝eq\f(\r(3),3)，则eq\f(cosπ－θ,cosθ\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))－1)))＋eq\f(cos2π－θ,cosπ＋θsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ)))的值为________．[解析]原式＝eq\f(－cosθ,cosθ－cosθ－1)＋eq\f(cosθ,－cosθ·cosθ＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(1,1－cosθ)＝eq\f(2,1－cosθ·1＋cosθ)＝eq\f(2,sin2θ)＝eq\f(2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝6.16.已知cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，且角α在第四象限，计算：(1)sin(2π－α)；(2)eq\f(sin[α＋（2n＋1）π]＋sin（π＋α）,sin（π－α）cos（α＋2nπ）)(n∈Z)．[解析]因为cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，所以－cosα＝－eq\f(1,2)，cosα＝eq\f(1,2).又角α在第四象限，所以sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(\r(3),2).(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sinα＝eq\f(\r(3),2).(2)eq\f(sin[α＋（2n＋1）π]＋sin（π＋α）,sin（π－α）cos（α＋2nπ）)＝eq\f(sin（α＋2nπ＋π）－sinα,sinαcosα)＝eq\f(sin（π＋α）－sinα,sinαcosα)＝eq\f(－2sinα,sinαcosα)＝－eq\f(2,cosα)＝－4.考点三三角恒等变换的综合应用1．化简eq\r(1－2sinπ＋4cosπ＋4)等于()A．sin4－cos4 B．cos4－sin4C．－sin4－cos4 D．sin4＋cos4[解析]原式＝eq\r(1－2sin4cos4)＝eq\r(sin4－cos42)＝|sin4－cos4|，因为eq\f(5,4)π<4<eq\f(3,2)π，所以cos4>sin4.所以|sin4－cos4|＝cos4－sin4.故选B.2．2sin215°－1的值是[解析]原式＝－(1－2sin215°)＝－cos30°＝－eq\f(\r(3),2).3．若sin2α＝eq\f(1,4)，eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，则cosα－sinα的值是[解析](cosα－sinα)2＝1－sin2α＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).又eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，∴cosα<sinα，cosα－sinα＝－eq\r(\f(3,4))＝－eq\f(\r(3),2).4．已知α为锐角，cosα＝eq\f(\r(5),5)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2α))＝[解析]由α为锐角，cosα＝eq\f(\r(5),5)，∴sinα＝eq\f(2\r(5),5)，故tanα＝2，tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(4,1－4)＝－eq\f(4,3)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2α))＝eq\f(tan\f(π,4)＋tan2α,1－tan\f(π,4)tan2α)＝eq\f(1－\f(4,3),1＋\f(4,3))＝－eq\f(1,7)5．在eq\r(3)sinx＋cosx＝2a－3中，a的取值范围是A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(1,2)))[解析]eq\r(3)sinx＋cosx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))∈[－2,2]，所以－2≤2a－3≤2，解得eq\f(1,2)≤a≤eq\f(5,2).6．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5)，求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))的值．[解析]因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5)，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(5),5).故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝sineq\f(π,4)cosα＋coseq\f(π,4)·sinα＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(5),5)＝－eq\f(\r(10),10).7．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6，4sinB＋3cosA＝1，则C的大小为________．[解析]两式左右两边分别平方相加，得sin(A＋B)＝eq\f(1,2)，则sinC＝sin[π－(A＋B)]＝eq\f(1,2)，所以C＝eq\f(π,6)或C＝eq\f(5π,6).又3sinA＝6－4cosB>2，得sinA>eq\f(2,3)>eq\f(1,2)，所以A>eq\f(π,6)，所以C<eq\f(5π,6)，故C＝eq\f(π,6).8．在△ABC中，已知taneq\f(A＋B,2)＝sinC，则△ABC的形状为()A．正三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形[解析]在△ABC中，taneq\f(A＋B,2)＝sinC＝sin(A＋B)＝2sineq\f(A＋B,2)coseq\f(A＋B,2)，所以2cos2eq\f(A＋B,2)＝1，所以cos(A＋B)＝0，从而A＋B＝eq\f(π,2)，即△ABC为直角三角形．故选C.9．已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，且α为锐角，tanβ＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为[解析]sinα＝eq\f(\r(5),5)，且α为锐角，则cosα＝eq\f(2\r(5),5)，tanα＝eq\f(1,2)，所以tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(\f(1,2)－3,1－\f(1,2)×－3)＝－1.又因为α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，所以α＋β＝eq\f(3π,4).10．已知α，β，γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，则β－α的值为________．[解析]由已知，得sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ.两式分别平方相加，得(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1.所以－2cos(β－α)＝－1，所以cos(β－α)＝eq\f(1,2)，所以β－α＝±eq\f(π,3).因为sinγ＝sinβ－sinα>0，所以β>α，所以β－α＝eq\f(π,3).11．求值：eq\f(sin50°1＋\r(3)tan10°－cos20°,cos80°\r(1－cos20°)).[解析]∵sin50°(1＋eq\r(3)tan10°)＝sin50°eq\f(cos10°＋\r(3)sin10°,cos10°)＝sin50°eq\f(2sin40°,cos10°)＝1，cos80°eq\r(1－cos20°)＝sin10°eq\r(2sin210°)＝eq\r(2)sin210°，∴eq\f(sin50°1＋\r(3)tan10°－cos20°,cos80°\r(1－cos20°))＝eq\f(1－cos20°,\r(2)sin210°)＝eq\r(2).12．化简：eq\f(2sin130°＋sin100°1＋\r(3)tan370°,\r(1＋cos10°)).[解析]原式＝eq\f(2sin50°＋sin80°1＋\r(3)tan10°,\r(1＋cos10°))＝eq\f(2sin50°＋cos10°×\f(cos10°＋\r(3)sin10°,cos10°),\r(2cos25°))＝eq\f(2sin50°＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°＋\f(\r(3),2)sin10°)),\r(2)|cos5°|)＝eq\f(2sin50°＋2sin30°＋10°,\r(2)cos5°)＝eq\f(2[sin45°＋5°＋sin45°－5°],\r(2)cos5°)＝eq\f(2sin45°cos5°＋cos45°sin5°＋sin45°cos5°－cos45°sin5°,\r(2)cos5°)＝eq\f(4sin45°cos5°,\r(2)cos5°)＝2.13．求证：sinθ(1＋tanθ)＋cosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tanθ)))＝eq\f(1,sinθ)＋eq\f(1,cosθ).[解析]左边＝sinθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(sinθ,cosθ)))＋cosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(cosθ,sinθ)))＝sinθ＋eq\f(sin2θ,cosθ)＋cosθ＋eq\f(cos2θ,sinθ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ＋\f(cos2θ,sinθ)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin2θ,cosθ)＋cosθ))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin2θ＋cos2θ,sinθ)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin2θ＋cos2θ,cosθ)))＝eq\f(1,sinθ)＋eq\f(1,cosθ)＝右边．14．求证：eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(cosαtanα,1＋cosα)＝1.[解析]eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(cosαtanα,1＋cosα)＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(cosα·\f(sinα,cosα),1＋cosα)＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(sin2α,1－cos2α)＝eq\f(sin2α,sin2α)＝1.15．求证：eq\f(1＋2sinαcosα,cos2α－sin2α)＝eq\f(1＋tanα,1－tanα).[解析]左边＝eq\f(sin2α＋cos2α＋2sinαcosα,cos2α－sin2α)＝eq\f(sinα＋cosα2,cosα＋sinαcosα－sinα)＝eq\f(sinα＋cosα,cosα－sinα)＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝右边．∴等式成立．16．求证：tan2x＋eq\f(1,tan2x)＝eq\f(23＋cos4x,1－cos4x).[解析]证法一：左边＝eq\f(sin2x,cos2x)＋eq\f(cos2x,sin2x)＝eq\f(sin4x＋cos4x,sin2xcos2x)＝eq\f(sin2x＋cos2x2－2sin2xcos2x,\f(1,4)sin22x)＝eq\f(1－\f(1,2)sin22x,\f(1,4)sin22x)＝eq\f(1－\f(1,2)sin22x,\f(1,8)1－cos4x)＝eq\f(8－4sin22x,1－cos4x)＝eq\f(4＋4cos22x,1－cos4x)＝eq\f(4＋21＋cos4x,1－cos4x)＝eq\f(23＋cos4x,1－cos4x)＝右边．原式得证．证法二：右边＝eq\f(22＋1＋cos4x,2sin22x)＝eq\f(22＋2cos22x,2sin22x)＝eq\f(21＋cos22x,4sin2xcos2x)＝eq\f(sin2x＋cos2x2＋cos2x－sin2x2,2sin2xcos2x)＝eq\f(2sin4x＋cos4x,2sin2xcos2x)＝tan2x＋eq\f(1,tan2x)＝左边．原式得证．17．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.[解析]∵tan2α＝2tan2β＋1，∴tan2α＋1＝2(tan2β＋1)．∴eq\f(sin2α＋cos2α,cos2α)＝2·eq\f(sin2β＋cos2β,cos2β).∴eq\f(1,cos2α)＝eq\f(2,cos2β).∴cos2β＝2cos2α.∴1－sin2β＝2(1－sin2α)．∴sin2β＝2sin2α－1.18．已知tanα＝4eq\r(3)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，α，β均为锐角，求cosβ的值．[解析]因为α，β均为锐角，所以0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，所以eq\f(π,2)<α＋β<π，且sin(α＋β)＝eq\f(5\r(3),14).因为tanα＝4eq\r(3)，所以sinα＝eq\f(4\r(3),7)，cosα＝eq\f(1,7).所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝eq\f(1,2).19．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(2\r(7),7)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(1,2)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求：(1)coseq\f(α＋β,2)；(2)tan(α＋β)．[解析](1)∵eq\f(π,2)<α<π，0<β<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,4)<α－eq\f(β,2)<π，－eq\f(π,4)<eq\f(α,2)－β<eq\f(π,2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2))))＝eq\f(\r(21),7)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β)))＝eq\f(\r(3),2)，∴coseq\f(α＋β,2)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝－eq\f(2\r(7),7)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(21),7)×eq\f(1,2)＝－eq\f(\r(21),14).(2)∵eq\f(π,4)<eq\f(α＋β,2)<eq\f(3π,4)，∴sineq\f(α＋β,2)＝eq\r(1－cos2\f(α＋β,2))＝eq\f(5\r(7),14).∴taneq\f(α＋β,2)＝eq\f(sin\f(α＋β,2),cos\f(α＋β,2))＝－eq\f(5\r(3),3).∴tan(α＋β)＝eq\f(2tan\f(α＋β,2),1－tan2\f(α＋β,2))＝eq\f(5\r(3),11).20．已知α，β为锐角，tanα＝eq\f(4,3)，cos(α＋β)＝－eq\f(\r(5),5).(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解析](1)因为tanα＝eq\f(4,3)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)，所以sinα＝eq\f(4,3)cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝eq\f(9,25)，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(7,25).(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－eq\f(\r(5),5)，所以sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2（α＋β）)＝eq\f(2\r(5),5)，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝eq\f(4,3)，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(24,7)，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝eq\f(tan2α－tan（α＋β）,1＋tan2αtan（α＋β）)＝－eq\f(2,11).21．已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))sinx－eq\r(3)cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的单调性．[解析](1)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))sinx－eq\r(3)cos2x＝cosxsinx－eq\f(\r(3),2)(1＋cos2x)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)cos2x－eq\f(\r(3),2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))－eq\