高考数学二轮复习 考前回扣6 不等式讲学案 理-人教版高三全册数学学案

回扣6不等式

IT基础回归

1.一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的步骤：一化（将二次项系数化为正数）；二判（判断4的符号）；三解（解

对应的一元二次方程）；四写（大于取两边，小于取中间）.

解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑:①二次项系数,

它决定二次函数的开口方向；②判别式/,它决定根的情形，一般分/>0,/=0,/〈0

三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小.

2.一元二次不等式的恒成立问题

fa>0,

（1）病+6匠+0〉0（收0）恒成立的条件是1

ZK0.

水0,

(2)ax+bx+c<0(aW0)恒成立的条件是'

A<0.

3.分式不等式

■^4>0(<0)of(x)g(x)>0«0)；

俄x)

得03。）今4x)^x)20(W0),

&x)W0.

4.基本不等式

⑴三力迎（a,6G（0,+8））,当且仅当a=6时取等号.

（2）在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”、

“定”、“等”的条件.

5.线性规划

⑴可行域的确定，“线定界，点定域”.

（2）线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.

（3）线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个.

易错提醒

1.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错.

2.解形如一元二次不等式a/+6x+c>0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注

意分a>0,a〈0进行讨论.

3.应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把头W0直接转化为f（x）•g（x）WO,

而忽视g（x）#0.

4.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函

1O

数的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函数y=x+-（x〈0）

y/x+2x

时应先转化为正数再求解.

5.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数

解.

6.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如三是指已知区

x十2

域内的点（X,力与点（一2,2）连线的斜率，而（X—l）2+（y—1）2是指已知区域内的点（x,。

到点（1,1）的距离的平方等.

出回归训练

1.(2016•全国I)若3>6>1,0<水1,贝!!()

A.成〈6，B.alj^ba

C.alogbC<blogacD.logaC〈logbC

答案C

解析对于A：由于OGG,・,•函数p=/在R上单调递增，则3故A错；

1c1

对于B：由于一1<0,・•・函数尸X’T在(1,+8)上单调递减，：.a>b>l^a-<b-

=b对VaH,故B错；

ITr十rLEtr,.S}.X\.JMilCr।-111C.111C厂R一

对于C：要比较alog/和方logaC,只需比较-j—和----，只需比较w—和j-----,只需比

InbIna,blnbalna

较

61nZ?和alna构造函数F(x)=xlnx(x>l),则-(x)=lnx+l>l>0,f(x)在(1,+00)

上单调递增，因此/*(〃)>_f(6)>00alna>61n6>00一^—<.,,又由得lnc<0,

~ainabinb

IncInca

A-；----->7；----7=^bLogc>aLogc,C正确；

alnaZ?lnbab

Inc]nc

对于D：要比较log/和log/,只需比较^—和「，

InaInb

而函数尸Inx在(1,+8)上单调递增，故a>6>loln4〉ln6>0011J1?又由。〈水1，

InaIn力

得lnc<0,

IncIncr-3-3

--->；----<=^logc>log/；c,故D错，故选C.

Inainba

2.若不等式2Af+Ax-6三0的解集为空集，则实数A的取值范围是()

O

A.(—3,0)B.(—8,—3)

C.(-3,0]D.(—8,-3)U(0,+8)

答案C

-3%<0,

解析由题意可知，2Ax"+而一6<0恒成立，当A=0时成立，当斤0时需满足《

8〔4<0,

代入求得一3<A<0,所以实数A的取值范围是(-3,0].

3.已知a>0,6>0,若不等式一7一之一[WO恒成立，则m的最大值为()

6a~\~bab

A.4B.16C.9D.3

答案B

解析依题意辰]3+J](3a+6)=10+包+与，

\abjab

363a

10+一+T216,故/W16,勿的最大值为16.

ab

4.已知向量a=(q2),6=(1,77-1),若aLb,则2"+4〃的最小值为()

A.2B.2yli

C.4D.8

答案C

解析因为向量a=(%2),b=(1,〃-1),aLb,

所以勿+2(7?—1)=0,即/+2刀=2.

所以2®+4"22尸7=2吸通=2狼=4

'[2"=4",\m=X，'

当且仅当,即1时，等号成立，

[111+o2/1=2,o,n=~

\[27

所以2卯+4〃的最小值为4,故选C.

2x~\~y—5WO,

的解集记为Az=41,有下面四个命题:

5.不等式组《3x—y20,

、x—2y^0

Pi：V(x,力£〃z21;加3(xo,jo)RD,z》l；

R：V(x,力£〃zW2;A：3(xo,Jb)GD,Z<0.

其中为真命题是(

A.pi,RB.Pl,R

C.pi,P4D.s，pi

答案D

作出可行域如图所示，因为2=事的几何意义是可行域内的点与点/(T,T)连

解析

线的斜率，可知与。连线斜率最小，与8连线斜率最大，联立方程可得C(2,1),8(1,3),

2

所以z的最小值为耳，最大值为2,所以选项.R正确，故选D.

0

6.设f{x}=ln^0<a<b,则下列关系

式中正确的是()

A.q=r<pB.q=f>p

C.p=r〈qD.p=r>q

答案c

解析V0<a<6,,•・空5

又•."(x)=lnx在(0,+8)上为增函数,

a+6

故，即q>p.

]]]]1__

又r=­[f{a)+/(A)]=5(lna+lnZ?)=^].na+^lnb=In(aZ?)'=f(y[dti)=p.

故p=r<q,故选C.

x—y+520,

7.己知x,y满足条件x+y\O，则z=y—51的最大值为（）

x十3

21

A.

3

C.2D.3

答案D

解析作出可行域如图所示.

V-1V--1

因为z=F=,八,经过点（一3,1）的直线斜率最大的是直

线X—y+5=0与直线x+y=0的交点12，§与该点的连线，故

5

5T°….

痂ax=z=3,故选D.

5,

x+KO,

8.若x,y满足约束条件＜x—y+22O,且目标函数z=ax—y取得最大值的点有无数

、x+2y+22O,

个，则z的最小值等于（）

3

-2--

A.B.2

C.

1

1

-D.

2-

-

答案C2

解析由题意可知，因为z=ax—p,所以z,故直线y=ax—z的截距为一z,作出

平面区域如图阴影部分所示，故a=一看故直线尸一z,所以当直线y=一z过点

（一1,1）时，目标函数的最小值Zmin=—1）—1=一；，故选C.

9.（2016•山东）若变量x,y满足<2x—3f9,则/+/的最大值是（）

A.4B.9C.10D.12

答案C

"x+Z2,

解析满足条件«2x—3j<9,

x^O

的可行域如图阴影部分（包括边界）所示，/+/是可行域上的动点（x,。到原点（0,0）距离

的平方，显然，当x=3,尸一1时，/+/取得最大值，最大值为10.故选C.

/■/--I—9

10.若不等式不或〃・丁在方£（0,2］上恒成立，则a的取值范围是（）

11

R

6-6-

arl_2

D.—,1

6?kO

答案D

t1Q9913。

解析一,而在区间（0,2］上单调递减，.•"+：22+5=丁，-7-T

•『+9

十

卷（当且仅当方=2时等号成立），又^^=:+W=2,+j2一5

・・十%.2七十廿一）（当且仅当—2时等号成立），故d的取值范围是1，1.

19

11.已知x>0,y>0,且［+］=1,若2x+y2以恒成立，则实数力的取值范围是

当卬取到最大值时，x=.

答案（一8,8］2

2、v

解析2x+y=（2x+y）-+-=—+-+4三8,

\xy）yx

由2x+y2以恒成立，得力W8；当切取到最大值时满足

ri2

一(+-=1

Xy

4x_y

x'

x=2.

12.二次不等式加+6x+cV0的解集为卜或>,则关于x的不等式eV—6x+a

>0的解集为.

答案{x[一3<x<一2}

1

ARC

---且a<O51

解析由已知，一36则Q―铲，=-故不等式c-a>0可

a6ca)

化为x+5x+6V0,解得一3VxV—2.

12

13.已知圆/+7—2矛―49+3=0关于直线ax+6y—3=0(a>0,6>0)对称，贝卜+彳的最

ab

小值为.

答案3

解析由题意圆f+产一2x—4y+3=0关于直线ax+6y—3=0(a>0,6>0)对称，即圆心

(1,2)在直线ax+8一3=0(a>0,6>0)上，即a+26=3(a>0,6>0),

14154

19十^

-3-3-3-3-

所以六=31引3当且仅当二=7，即a=6=l时取

等号.

14.要制作一个容积为4m\高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是20元

/m2,侧面造价是10元/m)则该容器的最低总造价是元.

答案160

解析由题意知，体积k=4m3,高分=1m,

4

所以底面积S=4m2,设底面矩形的一条边长是xm,则另一条边长是】m,又设总造价是y

元，则y=20X4+10X(2x+g三80+20\^2^[=160,当且仅当2x=p即x=2时取得

等号.

15.解关于x的不等式*+a：2wx+l.

x~\

解原不等式可化为丁厂一(x+1)WO,

1

即WO,

X~1

-1

当a=0时，有---7^0,所以x>L

x—1

当aWO时，

1

x——

「X•a11

①当aVO时，有---7^0,且一VI,所以xW-或x>l；

x—1aa

1

Xa11

②当OVdVl时，有一7<0,且一〉1,所以lVxW一；

x—1aa

③当a=l时，有^~所以x60,

x—1

1

x—a11

④当a>l时，有一-^0,且一<1,所以一Wx<L

x-1aa

综上，

当a<0时，原不等式的解集为(一8,1u(1,+8),

当a=0时，原不等式的解集为(1,+8),

当0<a<l时，原不等式的解集为[1,[,

当a=l时，原不等式的解集为。，

当a>l时，原不等式的解集为1).

16.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车

流速度/(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到

200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时,

车流速度为60千米/小时，研究表明：当2