2025高考备考数学知识点第3讲　圆的方程

第3讲圆的方程课标要求命题点五年考情命题分析预测1.探索并掌握圆的标准方程与一般方程.2.能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.求圆的方程2022全国卷乙T14；2022全国卷甲T14；2021全国卷甲T20本讲命题重点为求圆的方程，与圆有关的轨迹问题、最值问题，题型既有小题也有大题，难度中等偏易.在2025年高考的复习备考中要重点掌握圆的方程的求解方法、圆的几何性质以及一些隐形圆的命题.与圆有关的轨迹问题与圆有关的最值问题2023全国卷乙T11；2023全国卷乙T12；2021新高考卷ⅠT11学生用书P1741.圆的定义与方程规律总结（1）在圆的一般方程中：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点（－D2，－E2）；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（2）以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径端点的圆的方程为（x－x1）（x－x2）＋（y－y1）（y－y2）＝0.2.点与圆的位置关系圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），圆心C的坐标为（a，b），半径为r，设M的坐标为（x0，y0）.常用结论向量法判断点与圆的位置关系若点P是以AB为直径的圆O所在平面内的一点，则PA·PB＞0⇔点P在圆O外；PA·PB＝0⇔点P在圆O上；PA·PB＜0⇔点P在圆O内.1.[2022北京高考]若直线2x＋y－1＝0是圆（x－a）2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝（A）A.12 B.－12 C.1 D.解析由题意知，圆心坐标为（a，0），且圆心在直线2x＋y－1＝0上，所以2a－1＝0，得a＝12.故选2.[2021上海高考]已知圆x2＋y2－2x－4y＝0，则该圆的圆心坐标为（1，2）.解析解法一易知D＝－2，E＝－4，则－D2＝1，－E2＝2，故圆心坐标为（1，2解法二将圆的一般方程化为标准方程得（x－1）2＋（y－2）2＝5，则圆心坐标为（1，2）.3.[易错题]半径为3，圆心的横、纵坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为（x－3）2＋（y－3）2＝9或（x＋3）2＋（y＋3）2＝9.解析由题意知圆心坐标为（3，3）或（－3，－3），故所求圆的方程为x－324.若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是（－∞，1）.解析解法一方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0可化为（x＋a）2＋（y＋a）2＝1－a，若它表示圆，则需满足1－a＞0，故a＜1.解法二要使方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则需满足（2a）2＋（2a）2－4（2a2＋a－1）＞0，解得a＜1.5.若点（1，1）在圆x2＋y2＋x＋ay＋1＝0外，则实数a的取值范围为（－4，－3）∪（3，＋∞）.解析由题可知12＋a2－4×1＞0，解得a＞3或a＜－3.又点（1，1）在圆外，所以12+12+1+a+1>0，解得a＞－4.故实数a的取值范围为（－学生用书P175命题点1求圆的方程例1（1）[2022全国卷乙]过四点（0，0），（4，0），（－1，1），（4，2）中的三点的一个圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0（答案不唯一）.解析设A（0，0），B（4，0），C（－1，1），M（4，2），圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.若圆过A，B，C三点，则分别将三点的坐标代入，可得F=0，16+4D＋F=0，2－D＋E＋F=0，解得D＝－4，E＝－6，F=0，易得D同理，得过A，B，M三点的圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0；过A，C，M三点的圆的方程为x2＋y2－83x－143y＝过B，C，M三点的圆的方程为x2＋y2－165x－2y－165（2）[2022全国卷甲]设点M在直线2x＋y－1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在☉M上，则☉M的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5.解析解法一（待定系数法）设☉M的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，则2a＋b－1=0，（3－a）2＋b2＝r2，解法二（几何法）设A（3，0），B（0，1），☉M的半径为r，则kAB＝1－00－3＝－13，AB的中点坐标为（32，12），∴AB的垂直平分线方程为y－12＝3（x－32），即3x－y－4＝0.联立得3x－y－4=0，2x＋y－1=0，解得M（1，－1），∴r2＝｜MA｜2＝（3－1）2＋[0－（－1方法技巧求圆的方程的两种方法几何法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.待定系数法①若已知条件与圆心、半径有关，或与切线、弦长、弧长、圆心角、距离等有关，则选择圆的标准方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），根据条件列出方程组，求出a，b，r的值.②选择圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），根据条件列出方程组，进而求出D，E，F的值.训练1（1）已知m为实数，方程（m＋2）x2＋m2y2＋8x＋4y＋5m＝0表示圆，则实数m的值为－1.解析∵（m＋2）x2＋m2y2＋8x＋4y＋5m＝0表示圆，∴m＋2＝m2，∴m＝－1或m＝2.（二次项系数相等）当m＝－1时，原方程为x2＋y2＋8x＋4y－5＝0，（二次项系数化为1后再使用公式）即（x＋4）2＋（y＋2）2＝25.当m＝2时，原方程可化为x2＋y2＋2x＋y＋52＝0即（x＋1）2＋（y＋12）2＝－54，不是圆的方程，∴m＝2不合题意.综上，m的值为（2）[2023郑州市一测]经过点P（1，1）以及圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0交点的圆的方程为x2＋y2＋x－y－2＝0.解析解法一联立得x2＋y2－4=0，x2＋y2－4x+4y－12=0，解得x＝－2，y=0或x=0，y=2，不妨设A−2，0,B0,2,过A，B，P三点的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E解法二联立得x2＋y2－4=0，x2＋y2－4x+4y－12=0，解得x＝－2，y=0或x=0，y=2，不妨设A（－2，0），B（0，2），如图，在平面直角坐标系中作出A，B，P三点，并连接AB，AP，BP，显然△ABP是以AP为斜边的直角三角形，且AP为所求圆的直径，记所求圆的圆心为E，半径为R，则E为AP的中点，且E（－12，12），R＝解法三设过圆x2＋y2－4＝0和圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的交点的圆的方程为x2+y2−4x+4y−12+λx2+y2−4=0，因为此圆经过点P（1，1），所以有1+1−4+4−12+λ1+1−4=0，解得λ＝－5，即所求圆的方程为x2命题点2与圆有关的轨迹问题例2（1）若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为（－3，0）和（7，0），则直角顶点C的轨迹方程为（C）A.x2＋y2＝25（y≠0） B.x2＋y2＝25C.（x－2）2＋y2＝25（y≠0） D.（x－2）2＋y2＝25解析解法一（定义法）线段AB的中点为D（2，0），因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以｜CD｜＝｜AD｜＝｜DB｜，所以点C在以D为圆心，｜AD｜＝5为半径的圆上，所以点C的轨迹方程为（x－2）2＋y2＝25（y≠0）.解法二（直接法）线段AB的中点坐标为（2，0），因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以点C到点（2，0）的距离为12｜AB｜＝5，所以点C（x，y）满足（x－2）2＋y2＝5（y≠0），即（x－2）2＋y（2）已知线段AB的端点B的坐标为（8，6），端点A在圆C：x2＋y2＋4x＝0上运动，则线段AB的中点P的轨迹方程为（x－3）2＋（y－3）2＝1.解析设点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（x0，y0），由于点B的坐标为（8，6），且P为线段AB的中点，∴x＝x0+82，y＝y0+62，于是有x0＝2x－8，y∵点A在圆C上运动，∴点A的坐标满足方程x2＋y2＋4x＝0，即x02＋y02＋4x∴（2x－8）2＋（2y－6）2＋4（2x－8）＝0，化简整理，得x2＋y2－6x－6y＋17＝0，即（x－3）2＋（y－3）2＝1.方法技巧求与圆有关的轨迹问题的几种方法1.直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程.2.定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程.3.相关点代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程.训练2已知定点M（1，0），N（2，0），动点P满足｜PN｜＝2｜PM｜.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）已知点B（6，0），点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程.解析（1）设动点P的坐标为（x，y），因为M（1，0），N（2，0），且｜PN｜＝2｜PM｜，所以（x－2）2整理得x2＋y2＝2，所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.（2）设点Q的坐标为（x，y），点A的坐标为（xA，yA），因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点，所以AQ＝2QB，即（x－xA，y－yA）＝2（6－x，－y），解得x又点A在轨迹C上运动，由（1）有（3x－12）2＋（3y）2＝2，化简得（x－4）2＋y2＝29即点Q的轨迹方程为（x－4）2＋y2＝29命题点3与圆有关的最值问题角度1几何法求最值例3（1）[多选/2021新高考卷Ⅰ]已知点P在圆（x－5）2＋（y－5）2＝16上，点A（4，0），B（0，2），则（ACD）A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时，｜PB｜＝32D.当∠PBA最大时，｜PB｜＝32解析设圆（x－5）2＋（y－5）2＝16的圆心为M（5，5），由题易知直线AB的方程为x4+y2＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝｜5+2×5－4｜5＝115＞4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋115，4易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝115－4，115－4＜1255－4＝1，故过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，｜PB｜＝｜MB｜2－｜MN｜2＝52＋（5－2）2－42＝32，当∠PBA最大时，点P（2）已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.①则yx的最大值和最小值分别为3和－3②则y－x的最大值和最小值分别为－2＋6和－2－6；③则x2＋y2的最大值和最小值分别为7＋43和7－43.解析①（斜率型）原方程可化为（x－2）2＋y2＝3，表示以（2，0）为圆心，3为半径的圆，yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时｜2k－0｜k2+1所以yx的最大值为3，最小值为－3②解法一（截距型）y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，b取得最大值或最小值，此时｜2－0+b｜2＝3，解得b＝所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.解法二（换元法）圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝3，所以设x－2＝3cosθ，y＝3sin则y－x＝3sinθ－3cosθ－2＝6sin（θ－π4）－2，当θ＝3π4时，y－x取最大值6－2；当θ＝7π4时，y－x③解法一（距离型）x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，最大值和最小值在过原点与圆心的直线与圆的两个交点处取得.又圆心到原点的距离为（2－0所以x2＋y2的最大值是（2＋3）2＝7＋43，x2＋y2的最小值是（2－3）2＝7－43.解法二由②中解法二可知，x2＋y2＝（2＋3cosθ）2＋（3sinθ）2＝7＋43cosθ，从而得x2＋y2的最大值和最小值分别为7＋43，7－43.角度2代数法求最值例4（1）[2023全国卷乙]已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是（C）A.1＋322 B.4 C.1＋32解析将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为（x－2）2＋（y－1）2＝9，其表示圆心为（2，1），半径为3的圆.设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最大值，此时｜2－1－z｜2＝3，解得z＝1±32，故z＝x－y（2）[2023全国卷乙]已知☉O的半径为1，直线PA与☉O相切于点A，直线PB与☉O交于B，C两点，D为BC的中点，若｜PO｜＝2，则PA·PD的最大值为（A）A.1+22 B.1+222 C.1＋2解析解法一连接OA，由题可知｜OA｜＝1，OA⊥PA，因为｜OP｜＝2，所以在Rt△PAO中，由勾股定理可得｜PA｜＝1，则∠POA＝π4.设直线OP绕点P按逆时针方向旋转θ后与直线PD重合，则－π4＜θ＜π4，∠APD＝π4＋θ，且｜PD｜＝2cosθ，所以PA·PD=｜PA｜｜PD｜·cos（π4＋θ）＝2cosθcos（π4＋θ）＝12＋22cos（2θ＋π4）≤12＋22，（利用结论cosαcosβ＝12[cos（故选A.解法二以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系，则圆O：x2＋y2＝1，令点P（2，0），因为｜OA｜＝1，且OA⊥PA，所以∠POA＝π4，不妨令A（22，22）.设直线PD的方程为y＝k（x－2），B（x1，y1），C（x2，y2），由y＝k（x－2),x2＋y2=1，得（k2＋1）x2－22k2x＋2k2－1＝0，由Δ＝8k4－4（k2＋1）（2k2－1）＝4－4k2＞0，解得－1＜k＜1，则x1＋x2＝22k2k2+1，y1＋y2＝k（x1＋x2－22）＝－22kk2+1，所以D（2k2k2+1，－2kk2+1），于是PA＝（－22，22），PD＝（－2k2+1，－方法技巧与圆有关的最值问题的常见类型及求解策略1.利用几何法求最值（1）借助两点之间线段最短或垂线段最短求最值，往往会涉及折线段的距离和问题.（2）利用常见代数式的几何意义求最值，如斜率（μ＝y－bx－a），两点之间的距离或其平方（m＝（x－a）2＋（y－b）2），点到直线的距离（d＝1A2＋B2｜2.利用代数法求最值通常会利用已知条件通过换元（如利用sin2α＋cos2α＝1），消元，整体代入等构造函数或利用不等式求最值.注意到圆上一点的最值问题通常转化为到圆心的最值问题.训练3（1）[2024安徽太和中学模拟]已知点P（t，t－1），t∈R，O是坐标原点，Q是圆C：（x－3）2＋（y＋1）2＝1上的动点，则｜PQ｜－｜PO｜的最大值为（C）A.2 B.52 C.3 解析易得点P在直线l：x－y－1＝0上.圆C：（x－3）2＋（y＋1）2＝1的圆心为C（3，－1），半径r＝1，而点Q在圆C上，则｜PQ｜max＝｜PC｜＋r，因此（｜PQ｜－｜PO｜）max＝r＋（｜PC｜－｜PO｜）max.设点C关于直线l的对称点为C'（a，b），则｜PC｜＝｜PC'｜，且有b+1a－3＝－1，a+32－b－12－1=0，解得a=0，b=2，即C'（0，2），因此PC−PO=PC'−PO≤（2）[2023四省联考]若P，Q分别是抛物线x2＝y与圆（x－3）2＋y2＝1上的点，则｜PQ｜的最小值为5－1.解析由题意，知圆的圆心为C（3，0），半径为1.设P（x0，x02），如图，易知｜PQ｜min＝｜CP｜min－1，｜CP｜2＝（x0－3）2＋（x02－0）2＝x04＋x02－6x0＋9.设fx=x4+x2−6x+9，则f'x=4x3+2x−6=2x－12x2+2x+3.因为2x2＋2x＋3＝2（x＋12）2＋52＞0恒成立，所以当x＜1时，f'x<0，函数f（x）在（－∞，1）上单调递减，当x1.[命题点1]写出一个截两坐标轴所得的弦长相等且半径为1的圆的标准方程：x−12解析因为圆截两坐标轴所得的弦长相等，所以可设圆心坐标为（m，m），由圆的半径为1，可得｜m｜＜1，所以可取m＝12，此时圆的标准方程为（x－12）2＋（y－12）2.[向量法判断点与圆的位置关系/2024北京市陈经纶中学模拟]已知A，B（异于坐标原点）是圆（x－2）2＋（y－1）2＝5与坐标轴的两个交点，则下列点中，在圆内的是（D）A.M（0，0） B.N（4，32C.P（2，1－5） D.Q（1，22）解析不妨设A（0，2），B（4，0），则kAB＝－12，直线AB的方程为y＝－12x＋2，显然圆心（2，1）在直线AB上，即弦AB对于A，MA·MB＝（0，2）·（4，0）＝0，所以点M在圆上；对于B，NA·NB＝（－4，2－322）·（0，－322）＝－32＋92对于C，PA·PB＝（－2，1＋5）·（2，－1＋5）＝0，所以点P在圆上；对于D，QA·QB＝（－1，2－22）·（3，－22）＝5－42＜0，所以点Q在圆内.故选D.3.[命题点2，3/2023吉林省通化市模拟]已知直线l1：mx－y－3m＋1＝0与直线l2:x+my−3m−1=0相交于点P，线段AB是圆C：（x＋1）2＋（y＋1）2＝4的一条动弦，且｜AB｜＝23，则｜PA解析易知直线l1恒过点M（3，1），直线l2恒过点N（1，3），且l1⊥l2，所以点P在以MN的中点Q（2，2）为圆心，12｜MN｜＝2为半径的圆上，所以点P的轨迹方程为（x－2）2＋（y－2）2＝如图，取AB的中点D，连接PD，CD，CB，则｜PA＋PB｜＝2｜PD｜.因为圆C圆心为（－1，－1），半径为2，｜AB｜＝23，所以在Rt△BCD中，易得｜CD｜＝1，所以点D在以C（－1，－1）为圆心，1为半径的圆上，所以点D的轨迹方程为x+12+y+12=1，结合图象可知，当P，Q，C，D共线且C，Q在线段PD上时，｜PD｜取得最大值，所以｜PD｜max＝（2+1）2＋（2+1）2＋1＋2＝42＋1，所以｜PA＋PB｜的最大值为82＋2.（也可利用｜PA＋PB｜＝2｜PD｜＝2｜PQ＋QC＋4.[命题点3/2023绵阳市二诊]已知☉C：（x－1）2＋（y－1）2＝3，点A为直线l：y＝－1上的动点，过点A作直线与☉C相切于点P，若Q（－2，0），则｜AP｜＋｜AQ｜的最小值为 （C）A.3＋1 B.23 C.13 D.4解析设A（x，－1），则｜AQ｜＝（x+2）2+1，由题意知，☉C：x－12+y−12=3的圆心C（1，1），半径r＝3，连接CA，CP，∵直线AP与☉C相切于点P，∴｜AP｜＝｜CA｜2记M（1，0），则｜AP｜＋｜AQ｜可表示点A（x，－1）到点M（1，0）的距离与点Ax,−1到点Q（－2，0）的距离之和.易得Q（－2，0）关于直线l：y＝－1的对称点为Q'（－2，－2），连接AQ'，MQ'，AM，则AP+AQ=AM+AQ=AM+学生用书·练习帮P3501.设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0表示圆”的（A）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析若方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0表示圆，则有a2＋4－8＞0，解得a＞2或a＜－2，又“a＞2”是“a＞2或a＜－2”的充分不必要条件，所以“a＞2”是“方程x2+y2+ax2.[2024山西太原师范学院附属中学模拟]圆心在x轴上，且过点（－1，－3）的圆与y轴相切，则该圆的方程是（C）A.x2＋y2＋10y＝0 B.x2＋y2－10y＝0C.x2＋y2＋10x＝0 D.x2＋y2－10x＝0解析因为圆心在x轴上，所以设圆心坐标为（t，0），又圆与y轴相切，所以｜t｜为半径，则根据题意得，（－1－t）2＋（－3－0）2＝｜t｜，解得t＝－5，所以圆的圆心坐标为（－5，0），半径为5，故该圆的方程是（x＋5）2＋y2＝25，展开得3.[北京高考]已知半径为1的圆经过点（3，4），则其圆心到原点的距离的最小值为（A）A.4 B.5 C.6 D.7解析设该圆的圆心为（a，b），则圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝1，∵该圆过点（3，4），∴（3－a）2＋（4－b）2＝1，此式子表示点（a，b）在以（3，4）为圆心，1为半径的圆上，则点（a，b）到原点的距离的最小值为32＋42－14.[2024广东茂名检测]已知圆C：（x－1）2＋（y－1）2＝1，M是圆上的动点，AM与圆相切，且｜AM｜＝2，则点A的轨迹方程是（B）A.y2＝4xB.x2＋y2－2x－2y－3＝0C.x2＋y2－2y－3＝0D.y2＝－4x解析因为圆C：（x－1）2＋（y－1）2＝1，所以圆心C（1，1），半径r＝1.因为M是圆上的动点，所以｜MC｜＝1.又AM与圆相切，且｜AM｜＝2，所以｜AC｜＝｜MC｜2＋｜AM｜2＝5.设A（x，y），则（x－1）2＋（y－1）2＝5，即x2＋y2－2x－2y－3＝0，所以点A的轨迹方程为x2＋y2－25.已知点P（x，y）为圆C：x2＋y2－4x＋3＝0上一点，C为圆心，则PC·PO（O为坐标原点）的取值范围是（C）A.[－3，1] B.[－1，1] C.[－1，3] D.[1，3]解析将圆C的方程x2＋y2－4x＋3＝0化为（x－2）2＋y2＝1，所以圆心C的坐标为（2，0），所以PC＝（2－x，－y），又PO＝（－x，－y），所以PC·PO＝x2＋y2－2x.因为x2＋y2－4x＋3＝0，所以x2＋y2＝4x－3，所以PC·PO＝4x－3－2x＝2x－3，因为x－22+y2=1，所以（x－2）2≤1，所以－1≤x－2≤1，即1≤x≤3.因此－1≤2x－3≤3，从而PC·PO的取值范围为[6.[多选/2024山东潍坊调研]已知△ABC的三个顶点为A（－1，2），B（2，1），C（3，4），则下列关于△ABC的外接圆M的说法正确的是（ABD）A.圆M的圆心坐标为（1，3）B.圆M的半径为5C.圆M关于直线x＋y＝0对称D.点（2，3）在圆M内解析设△ABC的外接圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），则1+4－D+2E＋F=0，4+1+2D＋E＋F=0，9+16+3D+4E＋F=0，解得D＝－2，E＝－6，F=5.所以△ABC的外接圆M的方程为x2+y2−2x−6y+5=0，即（x－1）2＋（y－3）2＝5，故圆M的圆心坐标为（1，3），圆M的半径为5，故A，B正确.因为直线x＋y7.已知点P（2，1）在圆C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0上，点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则圆C的半径为2.解析由圆C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0得（x＋a2）2＋（y－1）2＝a24－b＋1，则C（－a2，1）.由点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，可知圆心C在直线x＋y－1＝0上，则－a2＋1－1＝0①.又点P在圆C上，则4＋1＋2a－2＋b＝0②.由①②得a＝0，b=−8.[2023河北唐山模拟]已知圆C与圆C1：（x－1）2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的标准方程为x2＋（y＋1）2＝1.解析由题意知，圆（x－1）2＋y2＝1的圆心为C1（1，0），半径r1＝1.设圆心C1（1，0）关于直线y＝－x的对称点为（a，b），则ba－1·（－1）＝－1，－a+12＝9.[2024衡水联考]已知点A（0，2），点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则｜PA｜＋｜PQ｜的最小值是25.解析因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，所以圆心C（2，1），半径r＝5.设点A（0，2）关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A'（m，n），所以m+02＋n+22+2=0，n－2m－0=1，解得m＝－4，n＝－2，故A'（－4，－2）.连接A'C交圆C10.[2024山东模拟]若P（x，y）是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，则｜3x－4y＋8｜的取值范围是[3，13].（用区间表示）解析令ω＝｜3x－4y＋8｜＝5×｜3x－4y+8｜5＝5d，其中d表示圆O：x2＋y2＝1上任意一点P（x，y）到直线l：3x－4y＋8＝0的距离.因为圆心O到直线l的距离为h＝832＋（－4）2=85，所以85－1≤d≤85＋1，即35≤d≤135，所以3≤11.已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q（－2，3）.（1）若P（a，a＋1）在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；（2）求｜MQ｜的最大值和最小值.解析（1）因为点P（a，a＋1）在圆C上，所以a2＋（a＋1）2－4a－14（a＋1）＋45＝0，即a2－8a＋16＝0，解得a＝4，所以P（4，5），所以｜PQ｜＝（－2－4）2＋（3－5（2）由x2＋y2－4x－14y＋45＝0得（x－2）2＋（y－7）2＝8，所以圆心C（2，7），半径r＝22，所以｜CQ｜＝（2+2）2＋因为点Q在圆外，所以｜MQ｜max＝｜CQ｜＋r＝42＋22＝62，｜MQ｜min＝｜CQ｜－r＝42－22＝22.12.[2023江苏南京模拟]在平面直角坐标系xOy中，已知点P（－3，0）在圆C：x2＋y2＋2mx－4y＋m2－12＝0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为8，则实数m的取值范围是（A）A.（3－23，1]∪[5，3＋23）B.[1，5]C.（3－23，3＋23）D.（－∞，3－23）∪（3＋23，＋∞）解析圆C：（x＋m）2＋（y－2）2＝16，圆心C（－m，2），半径r＝4，因为点P－3，0在圆内，所以｜PC｜＜r，即（－3+m）2+4＜4，解得3－23设∠ACB＝θ，则S△ABC＝12r2sinθ＝8sinθ，当△ABC的面积最大值为8时，sinθ＝1，∠ACB＝90°，此时△ABC是等腰直角三角形，则圆心C（－m，2）到直线AB的距离d＝rsin45°＝22，则有｜PC｜≥22，即（－3+m）2+4≥22，解得m≤1或m≥5.综上，m∈（3－23，1]∪[5，313.[多选/2024河南郑州联考]已知实数x，y满足曲线C的方程：x2＋y2－2x－2＝0，则下列说法正确的是（AB）A.曲线C围成图形的面积为3πB.y+1x+1的最大值为C.｜x－y＋3｜的最小值是22－3D.过点（0，2）作曲线C的切线，则切线方程为2x＋y－2＝0解析曲线C的方程：x2＋y2－2x－2＝0可化为（x－1）2＋y2＝3，表示以（1，0）为圆心，3为半径的圆.A.曲线C围成图形的面积为πr2＝3π，故A正确；B.y+1x+1表示圆上的点P（x，y）与点Q（－1，－1则圆心到直线PQ：y＋1＝