高中数学-正弦函数余弦函数的图像教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计-U.4.1正弦函数、余弦函函数的图像》

1、教学目标

1、知识目标

(1)能利用正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数

的图象；

(2)会用“五点法”作出正弦函数和余弦函数的简图。

2、能力目标

通过学习如何用正弦线画出正弦函数的图像，并在此基础上由诱导公式画出余弦

函数的图像，使学生进一步了解从特殊到一般，从一般到特殊的辩证思想方法和

分析、探索、化归的科学研究方法在解决数学问题中的应用。根据教学内容和采

取的教学方法及手段，教给学生一些学习方法，做到授之于渔。

2、学情分析

本节课是在学生已经学习了任意角三角函数的定义，三角函数线，三角函数的诱

导公式等知识基础上进行学习的，主要是对正弦函数和余弦函数的图象进行系统

的研究。根据过去研究指数函数、对数函数的步骤，引导学生利用函数图像研究

函数性质，因此引出图像的形成，学生较易接受。作函数的图象方法有两种：描

点法和几何法。描点法在初中已学过，手续比较烦，并且很难认识新函数y=sinx

的图象的真实面貌。这课主要介绍几何画法，也就是用正弦线作出正弦曲线，这

是一种全新的作图方法。学生刚学习三角函数线，这就为用几何法作图提供了基

础，能不能正确应用来画图，还需要老师做进一步的指导。

3教学重点、难点

(1)利用正弦线画出正弦函数y=sinx的图象；

⑵利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线。

4教学过程

教学活动

活动1【导入】引入

借助多媒体课件让学生观察波动图象演示，激起学生的兴趣.指出这种形状的曲

线就是今天要研究的正、余弦函数的图象。

提出问题：如何作出该曲线呢？

(以设问和探索的方式导入新课，创设情境，激发思维，让学生带着问题，有目

的地参与到课堂活动中)

复习1.弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

2.正、余弦函数定义：设。是一个任意角，在。的终边上任取（异于原点的）一

点P（x,y）

P与原点的距离r（'=J⑻+1W=疗”>°）

—sincr=—

则比值厂叫做。的正弦记作：厂

xx

一COSCZ=—

比值r叫做a的余弦记作：r

3.正弦线、余弦线：设任意角a的终边与单位圆相交于点P（x,

的垂线，垂足为M,则有

yX

sina=—=MPcosa=—=OM

r,r

向线段MP叫做角a的正弦线，有向线段OM叫做角a的余弦线.

活动2【导入】描点法作图

1.提出问题：如何用描点法画一般函数的图象？

2.学生回答作图步骤：（I）列表；（II）描点（III）连线。

（缺点：描点法在取函数值时，有时不能确定精确值，点的定位不准。如何精确

定位呢？）

活动3【讲授】几何法作图

⑴如何作角”拜正弦线、余弦线?

（2）作出函数y=sinx的图象

第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点°、以°】为圆心作单位圆，从这个圆

与x轴的交点A起把圆分成n（这里n=12）等份.把x轴上从0到2n这一段分成

n（这里n=12）等份.（预备：取自变量x值一弧度制下角与实数的对应）.

.乃7T冗

第二步：在单位圆中画出对应于角‘了,万，…，2n的正弦线正弦线（等

价于“列表”）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相

应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点”）.

第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx,

xGfO,2兀］的图象.

根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平

行移动，每次移动的距离为2兀，就得到y=sinx,x^R的图象.

把角x(xe⑷的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x

重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数丫=<!^的图象.

探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换

得到余弦函数的图象？

cosx=sin(xd——)—

根据诱导公式2，可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移2单位

即得

余弦

函数

y=co

sx的

图象.

(课

件第

三页

“平移曲线”)

正弦函数丫=5皿*的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.

思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？

活动4【讲授】课件展示

多媒体展示课件，规范作图过程和步骤，统一认识y=sinx（xE[O,2组）和

y=cosx（xe[0,2兀]的图象，在此提醒学生在直角坐标系中，横、纵坐标轴的长度

单位必须一致。否则画出的图象不是正弦函数的真实面貌。

活动5【讲授】“五点法”作图.

让学生观察已作出的正弦曲线，余弦曲线图象的形状特征，分析讨论，提炼出五

个关键点，归纳出“五点法”作图步骤。

观察y=sinx,xG[O,2兀]的图象，在作图连线过程中起关键作用的是哪几个点？

能否利用这些点作出正弦函数的简图？

关键五点：（0,0）、（£,1）、（71,0）、（―,-1）.（271,0）o

22

事实上，只要指出这五个点，y=sinx,xG[0,2兀]的图象形状就基本定位了。因

此在精确度要求不高时，我们就常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它

们连结起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图。

类似地，请同学们说出在函数y=cosx,xe[0,2和的图象上，起关键作用的五个

点的坐标。能否借助这些点来作简图？

（设计意图：通过直观形象培养学生的观察分析能力，通过知识的迁移培养学生

组建新知识的能力。）

要求：

（I）掌握正（余）弦曲线的形状；

（II）注意正（余）弦曲线的弯曲“方向”。

活动6【练习】检测训练

画出下列函数的简图：

®y=sinx,xW[O,2兀]

②y=l+sinx,xG[0,271]

xG[0,2兀]

活动7【讲授】总结巩固

这节课主要学习了正弦函数和余弦函数图象的三种基本方法：几何法、五点法、

平移变换法。掌握五点基本作图法及变换作图的思想。从知识的形成来看，函数

y=sinx的图像是个基本的图像，y=cosx及其它相关的较复杂的三角函数图像都

可以由它经过变换而得到。

活动8【讲授】课外思考

正弦函数、余弦函数的图像具有哪些性质？

（设计意图：通过思考，一可以巩固所学知识，二可以为下面学习正弦函数、余

弦函数的性质打下良好基础。）

学情分析一《1.4.1正弦函数、余弦函数的图像》

学情分析

1、学生的能力基础

本节课是在学生已经学习了任意角三角函数的定义，三角函数线，三角函数

的诱导公式等知识基础上进行学习的，主要是对正弦函数和余弦函数的图象进行

系统的研究。根据过去研究指数函数、对数函数的步骤，引导学生利用函数图像

研究函数性质，因此引出图像的形成，学生较易接受。作函数的图象方法有两种：

描点法和几何法。描点法在初中已学过，手续比较烦，并且很难认识新函数y=

sinx的图象的真实面貌。这课主要介绍几何画法，也就是用正弦线作出正弦曲

线，这是一种全新的作图方法。学生刚学习三角函数线，这就为用几何法作图提

供了基础，能不能正确应用来画图，还需要老师做进一步的指导。

2、学生的学习方法

由于本课时内容具有较高的抽象性，学生们会感到困难，因此在教学中，除了

引导学生自主、探索、合作学习以外，还通过启发式教学，设置一定量的问题情

境，来激发学生的学习兴趣和进一步培养他们分析、归纳、概括能力。在此基础

上，他们能够掌握基本的思维方法，特别是抽象逻辑思维、辩证思维、创造思维

有了较大的发展。观察力、记忆力、想象力有了一定的提高，认知活动的自觉性，

认知系统的自我评价和自我控制能力也有了相应的发展。

效果分析——0.4.1正弦函数、余弦函数的图像》

通过大家激烈的讨论，感觉很有启发。我个人认为，从总体上来说，这还是

一堂比较成功的探究式教学的课程。本节课体现了新课改的理念，充分调动了学

生学习和探究的积极性，提高了学生的数学素养。

一、本节课的成功之处

1、在教师的帮助和启迪下，学生重温正弦函数、余弦函数在单位圆中的构

造过程，对于其函数图像的形成提出自己的质疑，主动探究图像的形成过程，体

现了数学与实际生活的紧密联系，更强调学习是一个主动建构知识、发展能力的

过程。

2、在座的同学具备较为扎实的数学功底和勇于探索的科研精神。

3、课堂上的分组，使得不同层次的学生通过小组合作取长补短，相互学习，

共同提高。由此可见，教学的最终目的是为了使学生在全面发展的基础上实现有

个性的发展，分层只是一种偶尔为之的手段，不是目的，不必在教学过程中刻意

为之，更不必时时分层、事事分层。

4、课堂设计思路：

（基础）-----------------►（核心）-----------------

（延伸）

二、本节课的"遗憾"之处

教学永远是一门遗憾的艺术，本节课还有些不尽人意的地方，如：

1、课堂气氛不够活跃，问题的提出应该一石激起千层浪般激发学生回答的

热情，而不要采取老师点名的方式。如果同学发言声音太小，老师最好能重复一

下，以便于其他同学都能够听到。大声一点！很好！

2、适时适度启发仍然重要，需要技巧，需要细心。教学力求帮助每个层面

的学生都得到发展和进步。

设计教案，就是设计学生的未来，让我们少一些"遗憾"，多一些"惬意"。

教材分析一《1.4.1正弦函数、余弦函数的图像》

可以从以下几个方面分析教材

1、教材的地位和知识的前后联系：函数的性质的研究常常以图像直观为基础。

正弦函数、余弦函数的教学也是如此，先研究它们的图像，在此基础上再

研究它们的性质,在学习了单位圆中三角函数的定义和三角函数线的相关

知识的基础上，我们定义了正弦函数、余弦函数，并学习刻画其图像，这

既帮助学生深入理解高中数学对三角函数的定义推广，也为后面学习三角

函数性质打下基础。

2、教材学习方法：由于正弦线、余弦线已经从"形"的角度描述了三角函数，

因此，利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图像是一个自然的想法，当

然，我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来

作图，从画出的图形中观察得出五个关键点彳导到"五点法"画正弦函数、

余弦函数的简图。

3、教学重点、难点

(1)重点：正弦函数、余弦函数的图像。

(2)难点：将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图像上的点；正

弦函数、余弦函数图像间的关系。

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象

自主学习

□知识梳理

i.正弦曲线、余弦曲线

⑴定义:正弦函数y=sinx(xGR)和余弦函数产cosx(xeR)的图象分别叫做

曲线和曲线.

(2)图象：如图所示.

51ry=sinx^cER

一不7F

_ATlS-<4nrx

7IT51T

一竽~T~

⑵

2.“五点法”画图

步骤：

⑴列表:

匹3兀

0兀2兀

X2~2

sinx010-10

COSX10-101

(2)描点:

画正弦函数y=sinx,犬6[0,2n]的图象，五个关键点是画

余弦函数)，=cosx,xe[0,2;t]的图象，五个关键点是

(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图.

3.正、余弦曲线的联系

依据诱导公式cosx=sin(x+；),要得到y=cosx的图象，只需把)，=sinx的图象向

平移方个单位长度即可.

□自主探究

已知0WXW2TT,结合正、余弦曲线试探究sinx与cosx的大小关系.

对点讲练

知识点一利用“五点法”作正、余弦函数的图象

【例I】利用"五点法"画函数y=-sinx+l(0WxW2?t)的简图.

回顾归纳作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y=sin

X或y=COSX的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与X轴的交点.“五点法"是

作简图的常用方法.

变式训练I利用“五点法”画函数y=-l—cosx,xG[0,2句的简图.

知识点二利用三角函数图象求定义域

【例21求函数次》)=1gsinx+216一向的定义域.

回顾归纳一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间

端点的取舍.

变式训练2求函数兀0=正最W+lg(8x—%2)的定义域.

知识点三利用三角函数的图象判断方程解的个数

【例3】在同一坐标系中，作函数y=sinx和y=lgx的图象，根据图象判断出方程sinx

=lgx的解的个数.

回顾归纳三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这

正是数形结合思想方法的应用.

变式训练3求方程/=cosx的实数解的个数.

⑥课堂小结

1.正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合

思想解决三角函数问题的基础.

2.五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高

考常考知识点之一.

课时作业

一、选择题

I.函数y=sinx（xGR）图象的一条对称轴是（）

A.x轴B.y轴

C.直线y=xD.直线

2.函数y=—cosx的图象与余弦函数y=cosx的图象（）

A.只关于x轴对称B.关于原点对称

C.关于原点、x轴对称D.关于原点、坐标轴对称

3.如果XG[0,2TT],则函数y=Nsinx+p—cosx的定义域为（）

「兀3兀一

A.[0,K]B,I2»y

C.看71D.[竽,2九

4.在（0,2兀）内使sinx>|cosx|Mx的取值范围是（）

心（11司3兀、B.Q（冗,57T~|M（不5兀y3兀j"|

C但9D国弱

C\4'VU\4'4J

5.已知函数y=2sinxCwxW：）的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，那么此

封闭图形的面积（）

A.4B.8C.4兀D.2兀

二、填空题

6.函数）=事上的定义域为__________.

J1+sinx

7.函数y=42cosx+1的定义域是.

8.设0WxW2兀，且|cosx-sinx|=sinx-cos元，则x的取值范围为

三、解答题

9.利用“五点法”作出下列函数的简图：

（l）y=—sinx（0WxW2兀）；（2）y=1+cosX（0WLW2TI）.

10.分别作出下列函数的图象.

(l)y=|sinx|,x^R；(2)y=sin|x|,x£R.

§1.4三角函数的图象与性质

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象

答案

知识梳理

1.⑴正弦余弦

2.（2）（0,0）,（J,1）,（7t,0）,修,—（2兀,0）（0,1）,俘0）,（7t,—1）,（芋,0）,

(2兀，1)

3.左

自主探究

解正、余弦曲线如图所示.

兀5兀

②当时，sinx>cosx.

IT5兀

③当或7<xW2兀时,sinx<cosx.

对点讲练

【例1】解利用“五点法”作图

取值列表：

7U3兀

02兀

X271T

sinx010-i0

1—sinx10121

描点连线，如图所示.

y

变式训练1解取值列表得:

匹3兀

02兀

X271T

COSX10-101

-1—cosx-2-10-i-2

描点连线，如图所示.

TT3or

sinx>0

【例2】解由题意，x满足不等式组，

16—冷0

[—4WxW4

即,作出y=sinx的图象，如图所示.

Ismx>0

结合图象可得：4,—7i)U(0,Ji).

（8x—A2>。[0<¥<8

变式训练2解由”,得>八.

Icosx^O（COSGO

画出y=cosx,[0,3兀]的图象，如图所示.

结合图象可得：xe（0,[u修,yj.

【例3】解建立坐标系xOy,先用五点法画出函数y=sin%，不£[0,2兀]的图象，再依次

向左、右连续平移2几个单位，得到y=sinx的图象.

描出点信,-1）,（1,0）,（10,1）并用光滑曲线连接得到y=lgx的图象，如图所示.

由图象可知方程sinx=lgx的解有3个.

变式训练3解作函数y=cosx与y=W的图象，如图所示,

由图象，可知原方程有两个实数解.

课时作业

1.D

2.C[结合图象易知.]

7t

3.C「・飞后120且一cosx20,y兀-]

4.A

[Vsinx>|cosx|,

/.sinx>0,Ax^（0,兀），在同一坐标系中画出y=sinx,xW（0,兀）与y=|cosx|，

后0,兀）的图象，观察图象易得xd仔，y）.|

y=2sinx,》之，屈的图象与直线y=2围成的封闭平面图形面积相当于由x=

571

了，

y=0,y=2围成的矩形面积，即5=管甘）义2=4兀.]

/JIJI

6.1—/+2k兀，］+2E（攵WZ）

1+sinx#O=sinxW-1,

解析x应满足:

cosx^O,

综合正、余弦函数图象可知:

—^+2kn<x^^+2kn.

7.2E-用，2E+专］，伏WZ）

解析由2cosx+120,得cos

:.2E一用《2%兀+与，kGZ.

「兀5n

8.不T

解析由题意知sinx—cosxBO,即cosxWsin尤，在同一坐标系画出y=sin尢，［0,2兀］

与y=cosx,元引0,2兀］的图象，如图所示:

观察图象得：gx〈竽

9.解利用“五点法”作图.

(1)列表：__________

K3兀

X0712兀

2T

sinx010-i0

—sinx0-10i0

描点作图，如图所示.

(2)列表:

7T3兀

X071271

2T

cosX10-101

1+cosx210i2

描点作图,如图所示.

sinx（2&兀2k兀+兀）

10.解（l）y=|sinx|一1,/GZ）.

-sinx（2k7t+ii<x^2kn+2it）

其图象如图所示,

sinx(xNO)

(2)y=sin|x|=

-sinx(x<0)

其图象如图所示,

课后反思——《1.4.1正弦函数、余弦函数的图像》

本节课的设计意图：以科学探究为主线，精心设计问题串，引导学生一步

一步地构建数学中函数模型，激发学生兴趣，让学生积极参与探究活动，最终

达到学生理解掌握正弦函数、余弦函数的图像，并会用五点法作简图。课后老

师们给了许多很好的建议，收获很大。反