高中数学习题1：高中数学人教A版2019 选择性必修 第一册 两条平行直线间的距离公式

2.3.3点到直线的距离公式

2.3.4两条平行直线间的距离

课堂检测•固双基

1.点（1,2）到直线y=2r+l的距离为（）

A.当B,平

C.小D.2小

2.已知两点A（3,2）和8（—1,4）到直线,nr+y+3=0的距离相等，则相为（）

A.0或一2B.$或一6

C.-g或1D.0或3

3.平行直线/i：3x—y=0与'3x—y+«lb=0的距离等于（）

A.1B.0

C.V10D.3

4.已知直线/过点（2,小），倾斜角为120。，求点（1,一小）到直线/的距离.

素养作业•提技能

A组•素养自测

一、选择题

1.已知点M（l,4）到直线/：尔+），-1=0的距离等于1,则实数相等于（）

33

--

A.4B.-4

2.两平行直线x+y+2=0与x+y—3=0的距离等于（）

A.平B.坐

C.5&D.a

3.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（2,6）、8（—4,3）、C（2,一3）,则点A到BC边

的距离为（）

A.|B.印

C.D.45

4.(2020.益阳高一检测)直线2x+3y+\=0与4x+,町，+7=0平行，则它们之间的距离

为()

A.4B.喈

。26620

5.若点4(一3,—4)、8(6,3)到直线/：ov+y+1=0的距离相等，则实数a的值为()

71

--

A.9B.-3

二、填空题

6.已知直线/i：(%—3m+(4—%))，+1=0与直线/2：2(A~3>x-2y+3=0平行，则(与

/2间的距离为一.

7.过点A(—3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是—.

8.若A(l,4)、8(—3,1),过点B的直线/与点A的距离为".

(l)d的取值范围为；

(2)当4取最大值时，直线/的方程为一；

(3)当d=4时，直线/的方程为.

三、解答题

9.已知三条直线/i：4x+y—4=0,h：mx+y=0,h：2x—3/n>—4=0.求，"的值，使

它分别满足以下条件：

(1)/1，，2，，3交于同一点；

(2)/1，11,/3不能围成三角形.

10.两互相平行的直线分别过46,2)、B(—3,-1),并且各自绕着A、8旋转，如果两

条平行线间的距离为土

(1)求"的变化范围；

(2)求当”取得最大值时的两条直线方程.

B组•素养提升

一、选择题

1.已知点4(1,3)、8(3,1)、C(-l,0),则△ABC的面积等于()

A.3B.4

C.5D.6

2.（多选题）（2020・潍坊高一检测）与直线/：3x~4y~\=0平行且到直线/的距离为2的

直线方程是（）

A.3x—4y—ll=0B.3x—4）'+9=0

C.3x~4y+11=0D.3彳-4丫-9=0

3.到两条直线63x—4），+5=0与/2：5x—12），+13=0的距离相等的点尸（x,y）必定满

足方程（）

A.%—4>'+4=0

B.7x+4y=0

C.x—4y+4=0或4x—8y+9=0

D.7x+4y=0或32r-56y+65=0

4.（2020•定州中学高一期末）两直线3》+），-3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的

距离为（）

A.4B.当

妪出

。2620

二、填空题

5.（2020•辽宁省鞍山市高一期末）已知直线/在两坐标轴上的截距相等，且点尸（1,3）到直

线/的距离为山，则直线/的方程为一.

6.（2020•江西省赣州市高一期末）过点4（1,2）且与点尸（3,2）距离最大的直线方程是—.

7.（2020•湖南省长沙市岳麓区高三模拟）已知a+h=3,则.次+廿+10〃-4/29的最

小值为•

三、解答题

8.（2020・定州中学高一期末）已知aABC三边所在直线方程：IAB：3x—2y+6=0,lAc：

2x+3y~22=0,IBC-3x+4），-wt=0（，"GR,mH30）.

（1）判断△ABC的形状；

（2）当BC边上的高为1时，求加的值.

9.已知直线/经过点A（2,4）,且被平行直线小x—y+l=0与8x—y—1=0所截得

的线段的中点M在直线x+y—3=0上.求直线/的方程.

2.3.3点到直线的距离公式

2.3.4两条平行直线间的距离

课堂检测•固双基

1.点（1,2）到直线y=2r+l的距离为（A）

2小

A.

当5

C.小D.2小

|2-2+1|_^5

［解析］点（1,2）到直线y=2x+l的距离为4=

74+1'

2.已知两点A（3,2）和8（—1,4）到直线蛆+y+3=0的距离相等，则根为（B）

A.0或一5B.彳或一6

D.0或3

C.

［解析］由题知直线尔+>+3=0与AB平行或过AB的中点，则有一,〃=_］_3或

义2+一—+3=0,.•.相=2或m=-6.

3.平行直线/i：3x—y=0与方3x—y+回=0的距离等于(A)

A.1B.0

C.VTbD.3

lo-VToi

［解析］d=

《2+(—1)2—

4.己知直线/过点（2,小），倾斜角为120。，求点（1,一小）到直线/的距离.

［解析］:直线/过点（2,小），倾斜角为120°,故直线的斜率为tan120。=一小，故直

线/的方程为y———2）,即小x+y—3A/3=0.则点（1,一"4）到直线I的距离为

I小一小一3小3V§

■\/3+12

素养作业•提技能

A组•素养自测

一、选择题

1.已知点M（l,4）到直线/：〃优+>-1=0的距离等于1,则实数相等于（C）

33

--

A.4B.-4

44

C.D.

33

I解析】由题意得端解得片一*

2.两平行直线x+y+2=0与x+y—3=0的距离等于（A）

A.平B.当

C.5y［2D.也

［解析］直线x+y+2=0与x轴的交点是P（—2,0）,点尸到直线x+y—3=0的距离4

=匕■u=平，即这两条平行线间的距离为平.

3.已知△ABC的三个顶点坐标分别为4（2,6）、8（—4,3）、C（2,一3）,则点A到8C边

的距离为（B）

R幽

D•2

2小

C.D.4小

5

［解析】BC边所在直线的方程为富，即x+y+l=0；则d/Xl+^l+U

—3—32十4

=随

—2•

4.（2020・益阳高一检测）直线2x+3y+l=0与4x+〃q+7=0平行，则它们之间的距离

为（C)

2灰

A.4B.

13

5g75

C.D.

2620

［解析］由题意，得2〃L3X4=0,・••机=6・

7

口一习5布

故两直线2x+3y+1=0与4x+6y+7=0的距离4=木耳手=■

5.若点4一3,—4）、仇6,3）到直线/：ox+y+1=0的距离相等，则实数a的值为（C）

A29B..q

C.一£或一；D.看或;

［解析］由题意及点到直线的距离公式得匕好手=华誓，解得。=一;或一看

yja^+i7"+1。>

二、填空题

6.已知直线/i：(攵-3)x+(4—A)y+l=O与直线6：2(左一3)——2y+3=0平行,则6与

，2间的距离为或2k.

［解析］・・1〃/2,

.j(k-3)X(-2)-2(k-3)(4-k)=0

•［(_2)X］_(4T)X3#0

解得k=3或k=5.

35

当2=3时，Zi：y=-1,h：y—y此时/i与b间的距离为,

13—21

当％=5时，62x-y+l=0,/：4x—2y+3=0,此时人与，2间的距离为了=

2•^/42+(-2)2

亚

10-

7.过点A(—3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是3x—y+原=0.

［解析］当原点与点A的连线与过点A的直线垂直时，距离最大.：垢4=一；，...所求

直线的方程为y—l=3(x+3),即3x—y+10—0.

8.若A(l,4)、过点3的直线/与点A的距离为d.

(1)J的取值范围为10,51:

(2)当d取最大值时，直线I的方程为4x+3y+9=。；

(3)当4=4时，直线/的方程为7x+24y-3=0或x=-3.

I解析］(1)用数形结合法容易得到，当直线/LAB时，d取最大值，当/经过A、8时,

1取最小值，

...0W4W5.

］4—13

(2)当d=5时，ki=-7-，kAB="［/

KAB1一(—3)4

4

・二直线/的方程y—1=—§(冗+3),即：4x+3y+9=0.

(3)设/：>一1=&。+3),即:kx-y+3k+\=0,

由A(l,4)到/距离为4知

近岸-4...k—24,

当斜率攵不存在时，工=一3也满足题意.

故所求直线方程为：7x+24y—3=0或1=—3.

三、解答题

9.已知三条直线八：4x+y—4=0,fc：nr+y=0,h：2x—3my—4=0.求团的值，使

它分别满足以下条件：

(1)/Hh,，b交于同一点；

(2)/1,/2,b不能围成三角形.

［解析］⑴由4x+y—4=0得y=-4x+4代入h,b的方程中分别得汨=〃?_4'X2=

6/〃+2

I+6〃2’

由——4；=丁6m丁+27,解得加=-1或2右经检验都符合题意•

相一46根十I3

2

(2)首先由(1)知，当机=-1或1时，不能围成三角形；

2

又kl\=-4,kh=—tn,kh=^~,

则

若h〃b,则m=4；若/]〃3

由于助与的异号,显然/2与/3不平行.

、12、

综上知，/n=-l9一不§或4.

10.两互相平行的直线分别过A(6,2)、5(—3,-1),并且各自绕着A、B旋转,如果两

条平行线间的距离为〃

(1)求d的变化范围；

(2)求当d取得最大值时的两条直线方程.

［解析］解法一：(1)设两条直线方程分别为

y=kx+b\和y=kx-\-bi,

\2=6k+b]bx=2-6k

则।即＜

I-1=-3k+b?b2=3k-l

也一历|J9A—3|

而d=,两边平方整理得

qi+0一Ni+必

即（81一心）产-54A+9一法=0,

由于kGR,所以/=542—4（81—法）（9一/）》0,整理得4d2（心一90）W0,.•.0VdW3E.

,—54

（2）因d=3也时，&=（8][90）X2=-3,

故两直线方程分别为3x+y-20=0和3%+y+10=0.

解法二：（1）由图形可知，当两平行线均与线段A8垂直时，距离4=|48|=3也最大,

当两直线都过A、B点时距离4=0最小，但平行线不能重合.

.♦.OVK®.

（2）两直线方程分别是：3%+y—20=0和3x+y+10=0.

B组•素养提升

一、选择题

1.已知点41,3）、仇3,1）、C（-l,0）,则△ABC的面积等于（C）

A.3B.4

C.5D.6

［解析］设AB边上的高为〃，则SAABc=^\AB\h.|AB|=d（3—l）2+（l—3尸2啦,AB

边上的高/?就是点C到直线4B的距离.AB边所在的直线方程为匕==，即x+y—4

1—33一1

=0.点C到直线x+y—4=0的距离为^—节^——=^,因此，SZMBC=；X2&X左=5.

2.（多选题）（2020•潍坊高一检测）与直线/：3x—4y—1=0平行且到直线/的距离为2的

直线方程是（AB）

A.3x-4y-11=0B.3x-4y+9=0

C.3x-4y+ll=0D.3x-4y-9=0

I解析］设所求直线方程为3x-4y+m=0,由题意得^

解得m=9或一IL

3.到两条直线小3工-4），+5=0与/2：5xT2y+13=0的距离相等的点P（x,y）必定满

足方程（D）

A.x—4y+4=0

B.7x+4y=0

C.x-4y+4=0或4x—8y+9=0

D.7x+4y=0或32x-56y+65=0

I解析］结合图形可知，这样的直线应该有两条，恰好是两条相交直线所成角的平分

|3x-4y+5||5x~12y+13|CTrT3x—4y+55x-12y+13

线.由公式可得•^32+；-4)2即5=±13)

^/52+(-12)2

化简得7x+4y=0或32x-56y+65=0.

4.（2020•定州中学高一期末）两直线3x+y-3=0与6x+冲+1=0平行，则它们之间的

距离为（D）

A.4B.智

巡D巡

。26J20

［解析］二•直线3x+y—3=0与6x+my-\-1=0平行，

••.9=与"一］，解得机=2.

31—3

因此，两条直线分别为3x+y—3=0与6x+2y+1=0,

即6x+2y-6=0与6x+2y+l=0.

...两条直线之间的距离为"=屁，^=焉==祟・

二、填空题

5.(2020•辽宁省鞍山市高一期末)已知直线/在两坐标轴上的截距相等，且点尸(1,3)到直

线/的距离为则直线I的方程为x—y=0或7x+y=0或x+y—2=0或x+y—6=0_.

I解析］由题意知，若截距为0,

则设所求直线/的方程为y=fcx(&W0).

由题意知£2=巾,解得左=1或一7,此时直线/的方程为工一y=0或7x+y=0.

7片+F1

若截距不为0,则设所求直线/的方程为x+y-a=0(a^0).

由题意知世滑=也，解得。=2或。=6,此时直线/的方程为x+y—2=0或x+y

—6=0.

综上，所求直线/的方程为x—y=0或7x+y=0或x+y~2=0或x+y—6=0.

6.(2020.江西省赣州市高一期末)过点A(l,2)且与点P(3,2)距离最大的直线方程是丁=

1.

［解析］如图，当过点A的直线恰好与直线4尸垂直时，所求直线与点P的距离最大，

故所求直线方程为x=l.

7.(2020•湖南省长沙市岳麓区高三模拟)已知a+b=3,

小值为」啦

I解析I由题意易得点P(a,①在直线x+y—3=0上,

而、ca+^+iOa—46+29=、(a+5)2+(i>—2)2,因此原问题可以转化为求点P(a,/?)与

点4一5,2)的距离的最小值，又点4-5,2)到直线工+厂3=0的距离dJT%—31=3啦,

故班2+右2+10。―46+29的最小值为36.

三、解答题

8.(2020•定州中学高一期末)已知△ABC三边所在直线方程：lAB-3x-2y+6=0,lAC-

2x+3y~22=0,he：3x+4)，一〃z=0(mGR,%#30).

(1)判断△ABC的形状；

(2)当BC边上的高为1时，求，〃的值.

32

［解析］⑴直线AB的斜率为a=5，直线AC的斜率为心c=—1,

所以kAB'kAC~-1,

所以直线A8与AC互相垂直,

因此，AABC为直角三角形.

3x-2y+6=0目x—2

(2)解方程组-2x+3y—22=0'可,,即42,6).

)=6

13X2+4X6-，/130fl

由点到直线的距离公式得d=

V^+455

.,|30一，

当d=l时，七~~1=1,即|30一训=5,

解得m—25或m—35.

9.已知直线/经过点4(2,4),且被平行直线东