《随机过程》课件第4章

第4章平稳过程4.1平稳过程的定义与性质4.2平稳过程的功率谱密度4.3平稳过程的谱分解4.4平稳过程的各态历经性4.5线性系统中的平稳过程习题四

在上一章，我们主要从随机过程的均值函数和相关函数这两个数字特征来研究它的概率规律性。本章将用类似的方法来讨论更为特殊的一类二阶矩过程——平稳过程。平稳过程只要求均值函数和相关函数存在且不随时间的推移而变化，这在实际问题中往往易于实现，数学上也比较容易处理。平稳过程是一类应用十分广泛的随机过程，它在雷达、通信等随机信号分析中起着非常重要的作用。本章着重介绍宽平稳过程的相关函数、功率谱密度和各态历经性等基本概念，并将讨论平稳过程在线性系统中的应用、平稳过程的谱分解等内容。

4.1平稳过程的定义与性质

平稳过程有严平稳过程和宽平稳过程之分，前者是对有限维分布函数的要求，后者只是对均值函数与相关函数的要求。

4.1.1定义

首先给出严平稳过程的定义。

定义4.1.1设X={X(t)，

t∈T}是随机过程，如果对任意n≥1，

t1

，

t2

，…，

tn∈T和实数τ

，当t1

+τ，

t2

+τ，…，

tn+τ∈T时，(X(t1

)，

X(t2

)，…，

X(tn

))与(X(t1+τ)，

X(t2+τ)，…，

X(tn+τ))有相同的联合分布函数，则称X是一严(或强、狭义)平稳过程。

换言之，若随机过程X(t)的任意有限维分布函数沿t轴作平移时是不改变的，则X(t)就是严平稳过程，严平稳过程描述的物理系统，其概率特征不随时间的推移而改变，特别地，对任意t∈T，

X(t)的概率分布相同。

一般来说，严格用定义来判断某个随机过程的严平稳性是很困难的，但是，若产生随机过程的主要物理条件在时间过程中不改变，则此过程就可以认为是严平稳的。在无线电电子学的实际应用中所遇到的随机过程，有很多可以近似认为是严平稳的随机过程。例如，一个工作在稳定状态下的接收机，其输出噪声就可以认为是严平稳的随机过程;而当刚接上电源时的输出噪声则应认为是非平稳过程。另外，有些非平稳过程，在一定的时间范围内，也可以作为严平稳过程来处理。

将随机过程划分为平稳过程和非平稳过程有着重要的实际意义，因为若过程是平稳的，则可使问题的分析大为简化。例如，我们要测定一个电阻的热噪声的统计特性，因电阻热噪声属平稳随机过程，故无论何时进行测量，都能得到相同的结果。

严平稳过程的任意有限维概率分布不随时间的推移而改变，反映在它的一、二维概率分布上具有下列性质:

若{X(t)，

t∈T}是严平稳过程，则它的一维概率分布与时间无关，而它的二维概率分布只与t1

、t2

的时间间隔有关，而与时间起点无关。

如前所述，要确定一个随机过程的有限维分布族，并进而判定随机过程的严平稳性是十分困难的，因此，在工程实际中，通常只在相关理论的范围内考虑平稳随机过程问题。所谓相关理论是指:只限于研究随机过程一、二阶矩的理论，即主要研究随机过程的均值函数、相关函数和功率谱密度等的理论。

随机过程的一、二阶矩函数虽不能像多维概率分布那样全面地描述随机过程的统计特性，但它们在一定程度上能够相当有效地描述随机过程的某些重要特性。以电子技术为例，

若平稳过程X(t)表示噪声电压(或电流)，则由它的一、二阶矩函数可以求出噪声的直流平均功率、总平均功率、功率谱密度等重要参数。显然，得到了这些参数，就能解决许多工程技术问题。又如，对于工程技术中常遇到的正态随机过程来说，只要给定了均值函数和相关函数，该随机过程的多维概率密度也就完全确定了。

由于有些随机过程的概率特征主要由它的一阶矩和二阶矩函数决定。下面给出在应用上和理论上更为重要的另一种平稳过程的概念。

定义4.1.2设X={X(t)，

t∈T}是二阶矩过程，如果

(1)对任意t∈T，

mX(t)=E[X(t)]=mX=const(与t无关的常数);

(2)对任意s，

t∈T，

RX(s，

t)=RX(t-s)，即其相关函数仅与t-s的大小有关，而与s、t的取值无关，则称X为宽(或弱、广义)平稳过程，简称为平稳过程。

应该指出，这两种平稳过程在名称上虽有强弱、严宽、狭义与广义之分，但本质上并不存在如同它们名称所用的文字所显示的含义。弱平稳过程一定是二阶矩过程，而严平稳过程则不一定是二阶矩过程，从而也就不一定是弱平稳过程。当然，如果严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程，这可由严平稳过程的定义推得。反过来，宽平稳过程也不一定是严平稳过程，这是因为仅一、二阶矩平稳并不能决定分布函数的平稳。

对于正态过程，宽平稳性与严平稳性是等价的，这是因为正态过程的有限维分布完全由其均值函数和协方差函数所确定。

在讨论随机过程的平稳性时，有时考察其均值函数与协方差函数也是可行的，这是因为对于平稳过程，其均值函数为常数，从而协方差函数为

说明协方差函数与相关函数同时仅依赖于t-s，而与s、t无关。

今后如无特别声明，所讨论的平稳过程都指的是宽平稳过程。平稳过程在实际问题中是经常遇到的随机过程之一，例如照明用电网中电压的波动过程，无线电技术的随机噪音，军舰的颠簸过程，飞机飞行时关于事先规定的飞行水平面的波动过程都是平稳过程。由于平稳过程的数学期望是常数，因此从直观上看，它的样本函数都是围绕y=E[X(t)]=m的水平直线而上下波动的。但要判断一随机过程是否为一平稳过程就不能仅凭直观，还需依据定义4.1.2来判断。

例4.1.1(随机相位周期过程)设s(t)是一个周期为T的连续函数，

Φ是服从区间[0，

T]上均匀分布的随机变量。定义X(t)=s(t+Φ)，

t∈(-∞，

∞)，称X(t)为随机相位周期过程。试讨论它的平稳性。

解

由于X(t)的均值函数

是一个与t无关的常数，而X(t)的相关函数

其值仅与τ有关，而与t无关，因而随机相位周期过程是一平稳过程。

例4.1.2(随机电报信号)在电报信号传输中，信号是由不同的电流符号c、-c给出，且对任意的t

而电流的发送又有一个任意的持续时间，电流变换符号的时间是随机的，设X(t)在[0，

t)内的变号次数N(t)是强度为λ的Poisson过程，试讨论{X(t)，

t≥0}的平稳性。

与t无关，可见随机电报信号{X(t)，

t≥0}是平稳过程。

例4.1.3设W={W(t)，

t≥0}是参数为σ2的Wiener过程，

a为正实数，令

试证明X={X(t)，

t≥0}是严平稳的正态过程。

证明由X(t)=W(t+a)-W(t)服从正态分布N(0，

σ2a)，有

另一方面，对s，

t≥0，由于RW

(s，

t)=σ2

min(s，

t)，故X的相关函数为

可见RX

(t，

t+τ)与t无关，这便证明了X是宽平稳过程。

由于Wiener过程是正态过程，而X的有限维分布可表为W的有限维分布的线性变换，故X(t)的有限维分布是多维正态分布，因此X是正态过程。

由于正态过程的严平稳和宽平稳等价，故X是一严平稳的正态过程。

4.1.2平稳过程自相关函数的性质

定理4.1.1平稳过程X={X(t)，

t∈T}的相关函数RX(τ)具有以下性质:

(4)RX(τ)具有非负定性，即对于任意自然数n，任意t1

，

t2，…，

tn∈T及任意复数α1

，α2，…，

αn

，有

证明

推论4.1.1对于平稳过程，由于其相关函数的特殊要求，我们可猜想它均方连续、均方可微、均方可积的判别条件也可简化，这有如下的三个定理。

定理4.1.2平稳过程X={X(t)，

t∈T}均方连续的充要条件是相关函数RX(τ)在点τ=0处连续，且此时RX(τ)处处连续。

证明X连续当且仅当R(s，

t)在所有(t，

t)处连续，这又当且仅当R(τ)在τ=0处连续，这当且仅当R(s，

t)在某个(t0

，

t0)处连续，可进一步当且仅当R(τ)处处连续。

利用均方可微准则及其推论可以证明以下定理。

定理4.1.3对平稳过程X={X(t)，

t∈T}

(1)X均方可微的充要条件是其相关函数RX(τ)在点τ=0处二次连续可微。

(2)若X均方可微，则其均方导数过程{X‘(t)，

t∈T}仍为平稳过程，且其均值mX'=0

，相关函数RX″(τ)=-R″X(τ)。

推论4.1.2设{X(t)，

t∈T}是一均方可微的实平稳过程，则对任意t∈T，

X(t)与X'(t)不相关。

证明由于{X(t)，

t∈T}是实平稳过程，故E[X(t)X‘(t)]=-R’(0);又R(-τ)=R(τ)，故R‘(-τ)=-R’(τ)，即R‘(0)=-R’(0)，从而R‘(0)=0，故E[X(t)X’(t)]=-R‘(0)=0。

推论4.1.3设{X(t)，

t∈T}是一均方可微的正态平稳过程，则对任意t∈T，

X(t)与X'(t)相互独立。

定理4.1.4设{X(t)，

t∈R}为均方连续的平稳过程，

f(t)为分段连续函数，则在任何有限区间上，积分

在均方意义下存在，且对任一分段连续函数g(t)，有:

证明因为X(t)是均方连续的，故RX(s，

t)在(t，

t)处，从而也在(s，

t)处连续。因此普通的二元分段连续函数RX

(t-s)f(t)f(s)存在二重积分

再由均方可积准则可知，在均方意义下，积分

由相关函数的定义及均方可积准则可知(4.2.1)式成立。

4.1.3联合平稳过程的互相关函数及其性质

在实际应用中，常常需要同时研究两个或两个以上随机过程的统计特性。例如，接收机输入端往往有信号和噪声，而二者均可能是随机的，为了从噪声中检测出有用的信号，除了必须考虑它们各自的统计特性外，还要同时研究信号和噪声两个过程的联合统计特性。设{X(t)，

t∈T}，{Y(t)，

t∈T}为两个随机过程，在实际工作中，除了要求{X(t)，

t∈T}，{Y(t)，

t∈T}是平稳的外，还要求它们之间的统计联系也是平稳的。

例如，{X(t)，

t∈T}，{Y(t)，

t∈T}都是平稳过程，现在要问{Z(t)=X(t)+Y(t)，

t∈T}是否为平稳过程?如果{X(t)，

t∈T}代表原发信号，{Y(t)，

t∈T}代表随机干扰，它们都是平稳过程，而且相互独立，则{

Z(t)，

t∈T}就表示接收到的信号，我们自然希望它也是平稳的，这在线性系统理论或信号检测理论中是十分重要的，这样就引出了所谓联合平稳的概念。

定义4.1.3平稳过程{X(t)，

t∈T}和平稳过程{Y(t)，

t∈T}称为联合平稳的(或称为平稳相关的)，如果对任意τ，

RXY

(s+τ，

t+τ)=RXY(s，

t)，即其互相关函数RXY(s，

t)=RXY(t-s)仅与t-s的大小有关，而与

s、t的取值无关。

由此可以定义它们的互相关函数为

例4.1.4设平稳过程{X(t)，

t∈T}和{Y(t)，

t∈T}是平稳相关的，讨论随机过程{Z(t)=X(t)+Y(t)，

t∈T}的平稳性。

解由于

故{Z(t)，

t∈T}是平稳过程

定理4.1.5平稳相关的平稳过程{X(t)，

t∈T}和{Y(t)，

t∈T}的互相关函数RXY(τ)具有下列性质:

(1)RXY(τ)=RYX(-τ)，特别当{X(t)，

t∈T}和{Y(t)，

t∈T}为平稳相关的实平稳过程时，有

(2)对任意的复常数α，

β，

αX(t)+βY(t)也是平稳过程，且它的相关函数满足:

(3)|RXY(τ)|2

≤RX(0)RY(0)，

|RYX(τ)|2≤R

X(0)RY(0)

定理的证明请读者自行给出。

4.2平稳过程的功率谱密度

Fourier变换在许多理论和实际应用中是一种有效的分析方法，它确定了时域与频域的转换关系。我们知道，只要函数f

(t

)在(-∞，

+∞)上绝对可积，就可以求出它的ourier变换，即求出它的频谱，这一情况称为确定性函数的谱分析。现在我们要用Fourier变换这一有效工具来分析平稳过程。平稳过程的相关函数是在时域上描述随机过程的统计特征。

为在频域上描述平稳过程的统计特征，需要引进谱密度的概念。谱密度的概念在平稳过程的理论及应用中扮演着十分重要的角色。在数学上看，它是相关函数的Fourier变换，它的物理意义是功率谱密度。

4.2.1谱函数和谱密度的定义

我们先从数学角度引进谱密度。实际上，由定理4.1.1与定理4.1.2知，均方连续的平稳过程的相关函数是连续非负定的。由此及定理1.3.2知，它可作为特征函数，于是由特征函数与分布函数之间的一一对应，我们有以下定理。

定理4.2.1(维纳—辛钦定理)均方连续平稳过程{X(

t)，

t∈T}的相关函数RX(τ)可表示为

其中FX

(ω

)是(-∞，

∞)上的非负、有界、单调不减、右连续的函数，且

证明若RX(0)=0，则RX(τ)≡0。此时，

FX(ω)≡0即为定理中所要求的。

若RX(0)>0，令则f

(τ

)连续、非负定，且在τ=0处等于1，由Bochner—辛钦定理可知，

f(τ

)一定是某一随机变量的特征函数，从而，存在分布函数G

(ω

)，使得

显然，

FX

(ω)=2πRX(0)G(ω)，即为定理中所要求的。

定理4.2.1中的函数FX

(ω)称为平稳过程{X(t)，

t∈T}的谱函数，而(4.2.1)式称为平稳过程相关函数的谱展式。

如果存在函数S

X(ω)，使

则称S

X

(ω)为{X(t)，

t∈T}的谱密度。谱函数类似于分布函数，而谱密度则与密度函数类似。定理4.2.1说均方连续平稳过程的谱函数一定存在，以下定理给出了谱密度存在的一个条件。

定理4.2.2如果平稳过程X={X(t)，

t∈T}的相关函数RX(τ)绝对可积，即

则X存在谱密度SX(ω)，且有维纳—辛钦公式

可见，

SX

(ω)是相关函数SX

(τ)的Fourier变换，

SX

(τ)是SX

(ω)的Fourier逆变换。

利用特征函数与分布函数之间的关系不难证得以上定理，具体证明请读者给出。

例4.2.1设{X(t)，

t∈T}是平稳过程，相关函数RX(τ)=αe-β|τ|，其中α，β是正数，求{X(t)，

t∈T}的谱密度和谱函数。

例4.2.2设Y={Y(t)，

t∈(-∞，

+∞)}是实正交增量过程，

E[Y(t)]=0，且E{[Y(t)-Y(s)]2

}=|t-s|，

-∞<s，

t<+∞，令X(t)=Y(t)-Y(t-1)，

t∈(-∞，

+∞)，证明X={X(t)，

t∈(-∞，

+∞)}是平稳过程，求其自相关函数和对应的谱密度函数。

解由于

可见相关函数RX

(t，

t+τ)与t无关，因此X

是平稳过程，其自相关函数为

从而其谱密度函数为

例4.2.3设F(x)是任一单调不减、右连续的有界函数，且F(x)=0，又设X、Y是两个相互独立的随机变量，

X

以F(x)/F(+∞)为其分布函数，

Y服从区间[0，

2π]上的均匀分布。对t∈(-∞，

+∞)，令

试证明{X(t)，

t∈(-∞，

+∞)}是均值为0的平稳过程，且F(x)是其谱函数。

证明设F(x，

y)是(X，

Y)的联合分布函数，

FX(x)、FY(y)分别为X、Y的分布函数，因为

故有

因此X是一均值为0的平稳过程，且F(x)是其谱函数。

从这个例子可以看出，任一单调不减、右连续的有界函数都可以作为某个平稳过程的谱函数，且上式中的RX

(τ)就是该平稳过程的相关函数。

对于平稳序列有类似于定理4.2.1的结论。

定理4.2.3(平稳时间序列的相关函数的谱分解定理)平稳时间序列{X(n)，

n∈Z}的相关函数RX(m)可表为

其中FX

(ω)是(-π，

π]上的非负、有界、单调不减的右连续的函数，且FX

(-π)=0，

FX

(π)=2πRX

(0)。

这个定理的证明要用到Herglotz引理，具体证明参阅参考文献[3]。

定理4.2.3中的函数FX

(ω)，

ω∈(-π，

π]称为平稳时间序列{X(n)，

n∈Z}的谱函数。进而，如果存在函数SX

(ω)，使

则称SX

(ω

)，为{X(n)，

n∈Z}的谱密度。

如果相关函数绝对可和，即

则可以证明FX

(ω)可微，且这时有

例4.2.4(无限滑动和)设{X(n)，

n=0，

±1，2，…}为复的互不相关的随机变量序列，且E[X(n)]=0，

D[X(n)]=σ2

，{cn}为满足

的复数序列，令

求Y={Y(n)，

n=0，

±1，

±2，…}的谱密度。

解因为

故Y为复平稳序列，且其相关函数为

由于

故Y存在谱密度，且其谱密度为

4.2.2谱密度的物理意义

上面我们从数学观点定义了平稳过程的谱密度。谱密度的概念来自无线电技术，在物理学中它表示功率谱密度。下面我们利用频谱分析方法讨论平稳过程的功率谱密度。

在信号与系统理论中，我们知道，设x(t)为一确定性的功率信号，则x(t)在频率ω处的功率谱密度为

对于平稳过程，有以下定理。

定理4.2.4设RX(τ)是平稳过程{X(t)，

t∈T}的相关函数，如果RX(τ)绝对可积，则有

其中

证明因为

故

4.2.3谱密度的性质

由定理4.2.4可得以下第一个性质。

性质4.2.1SX

(ω

)为实值非负函数。

性质4.2.2实平稳过程的谱密度为偶函数。

证明由于实平稳过程的相关函数是实函数，故由Fourier变换的性质立即可得:

性质4.2.3

该性质的证明是显然的。第一式表明谱密度曲线下的总面积(即平均功率)等于相应平稳过程的均方值;第二式表明谱密度的零频率分量等于相关函数曲线下的总面积。

性质4.2.4设X={X(t)，

t∈T}，

Y={Y(t)，

t∈T}为两个正交的平稳过程(即R

XY(s，

t)=0)，则Z={Z(t)=X(t)+Y(t)，

t∈T}的谱密度为SZ(ω)=SX(ω)+SY(ω)，这里SX(ω)、SY(ω)分别为X(t)、Y(t)的谱密度。

证明由于X与Y正交，故RZ(τ)=RX(τ)+RY(τ)，因此Z为平稳过程，且其谱密度SZ(ω)=SX(ω)+SY(ω)。

例4.2.5已知平稳过程X={X(t)，

t∈T}的谱密度为

求X的相关函数和平均功率。

解由于

其中F

-1表示Fourier逆变换。特别地，平均功率为

4.2.4联合平稳过程的互谱密度及其性质

定义4.2.1设RXY

(τ

)为联合平稳的两个平稳过程X={X(t)，

t∈T}，

Y={Y(t)，

t∈T}的互相关函数，若

则其Fourier变换

称为X与Y的互谱密度。

互相关函数RXY(τ

)是在时域上描述平稳过程X和Y的相互关系，互谱密度SXY(ω)则是在频域上描述它们的相互关系。

根据定义容易证明互谱密度具有如下的性质:

性质4.2.5

性质4.2.6SXY(ω)=SYX(ω)，即SXY(ω)与SYX(ω)互为共轭函数。

性质4.2.7若X与Y为实的，则SXY

(ω)的实部Re[SXY(ω)]是偶函数，虚部In[SXY(ω)]是奇函数。

性质4.2.8

其中

性质4.2.9(互谱不等式)

4.3平稳过程的谱分解

在4.2节中我们研究了平稳过程相关函数的谱分解。本节我们进一步讨论平稳过程本身的谱分解。由前面可得到:两两互不相关的复谐波的有限叠加而成的随机过程

是平稳过程。反之，在很一般的条件下，平稳过程{X(t)，

-∞<t<∞}可以表示为无穷多个复谐波的叠加，不过这种叠加要表示为积分形式。不失一般性，在本节我们假设mX=

E[X(t)]=0，否则我们只须讨论X(t)-mX(t)。

4.3.1平稳过程的谱分解

定理4.3.1(平稳过程的谱分解)设X={X(t)，

-∞<t<∞}是零均值、均方连续的复平稳过程，其谱函数为F(ω)，则X

可以表示为

其中

称为X的随机谱函数，它具有以下性质:

(1)E[Z(ω)]=0;

(2)Z={Z(ω)，

-∞<ω<∞}是正交增量过程;

(3)对于任意的ω1<ω2

，

证明设a，

b是F的连续点，且a<b。

第一步，定义

我们证明，当T→∞，

ZT

(a，

b)均方收敛到某一随机变量Z(a，

b)。令0<S≤T，则

下证，对于任意ε>0，

|ω-a|>ε，

|ω-b|>ε，上式中内层积分当T→∞时趋于0。为此将上式中内层积分改写为

由于

令S，

T→∞可知，

E[|ZT

(a，

b)-ZS(a，

b)|2

]→0。故存在二阶随机变量Z(a，

b)，使得

第二步，如果(a，

b)、(c，

d)是两个互不相交的区间，则Z(a，

b)和Z(c，

d)是正交的。

设a、b、c、d是F的四个连续点，则由(4.3.2)式知E[Z(a，

b)Z(c，

d)]存在，且

因此

第三步，存在正交增量的二阶矩过程{Z(t)}，使得

由式(4.3.3)知

又当a，

c→∞时，有

因此

将(4.3.6)式代入(4.3.3)式知{Z(t)}是正交增量过程。再将(4.3.6)式代入(4.3.5)式，即可得(4.3.4)式。

第四步，设a<b是F的两个连续点，则由

由于{Z

(ω)}是正交增量过程，且满足(4.3.4)式，故积分

存在。且由(4.3.7)式和相关函数的谱分解公式，得

所以有

这就证明了，当{X

(t)}的谱函数连续时，(4.3.1)式成立。

当a

不是F的连续点时，定义这时，上述证明的本质性公式(4.3.3)~(4.3.9)都成立。故此时(4.3.1)式也成立。

下面说明定理4.3.1的实际意义。由(4.3.1)式

将区间[-T，

T]等分为2N个子区间，由均方积分的意义

说明均方连续的平稳过程X(t

)可以看成振幅为

角频率为kT/N的谐波分量的有限叠加和的均方极限。简单地说，

X

(t

)是角频率ω在(-∞，

∞)中变化的谐波分量ej

tωdZ(ω)无限叠加的和。

对于实平稳过程，定理4.3.1中的结论可写为如下推论中的形式。

推论4.3.1(实平稳过程的谱分解)设X={X(t)，

-∞<t<∞}是零均值的、均方连续的实平稳过程，其谱函数为

F

(ω)，则X可以表示为

其中

它们具有以下性质:

4.3.2平稳过程序列的谱分解

对于平稳序列也有类似的谱分解定理。

定理4.3.2(平稳序列的谱分解)设X={Xn

，

n=0，

±1，

±2，…}是零均值的平稳序列，谱函数为F

(ω)，则X可以表示为

其中

具有以下性质:

(1)E[Z(ω)]=0;

(2){Z(ω)，

-∞<ω<∞}是正交增量过程;

(3)对于任意ω1<ω2

，有

推论4.3.2(实平稳序列的谱分解)设X={Xn，

n=0，

±1，

±2，…}是零均值的实平稳序列，谱函数为F(ω)，则X可以表示为

其中

称为X的随机谱函数，它们具有以下性质:

例4.3.1设ε={εn

，

n=0，

±1，

±2，…}是实平稳过程，

E

(εn

)=0，对应的随机谱函数为{Zε(ω)，

ω∈[-π，

π]}，又假设{an

，

n=0，

±1，

±2，…}是实数列，满足

(1)试证明X={Xn

，

n=0，

±1，

±2，…}是平稳过程，并求其随机谱函数;

(2)若ε

有谱密度函数Sε(ω

)，求X的谱密度函数。

解

(1)由类似第3章例3.1.1知，条件

保证作为均方极限是存在的，且

另一方面，有

于是RX(n+k，

n)只依赖于时差k，这便证明X是平稳过程。

(2)设X

的谱函数和谱密度函数分别为FX(ω)和SX(ω

)，

Fε(ω)为ε

的谱函数，则有

从而

请读者考虑线性系统的输入、输出的随机谱函数之间的关系。

4.4平稳过程的各态历经性

在实际工作中，确定随机过程的数学期望及相关函数是很重要的。例如飞机在高空飞行时，因受湍流的影响产生机翼振动，在选择制造飞机的材料时，就要考虑在时间变化过程中机翼振幅的大小(它是一随机过程)的均值及方差。又如在电路中电子不规则运动的热骚动引起电位的脉动(通常称为热噪声)，要考虑其脉动范围、噪声功率等就归结为求一随机过程的方差、相关函数等数字特征。

由第2章知，欲求出随机过程的数字特征，就需知该过程的一、二维分布函数，这在实际问题中是一件很困难的事。实际上，对于随机过程X，所能得到的往往是通过试验而得到的一个样本函数x

(t

)或是一个样本函数在若干时刻，如t0

，

t1

，…，tn

所对应的值x(t0

)，

x(t1

)，…，

x(tn)。因此就提出如下的问题:能否通过某个样本函数x(t)或是样本函数在某些时刻的取值x(t0

)，

x(t1

)，…，

x(tn)所携带的信息来估计该随机过程的数字特征?

若我们研究的是平稳过程X={X(t)，

t∈(-∞，

∞)}，确定X的均值mX

和相关函数RX

(τ)，根据大数定律，一种很自然的想法是进行很多次试验得到的许多样本函数x1

(t

)，x2(t)，…，

xn(t)。对固定的t1

，均值

用这样的方法计算均值和相关函数，需要很大的n。但在实际问题中，常常很难测得很多样本函数。这时，我们自然想到通过一个样本函数x(t)能否估计平稳过程的均值mX和相关函数RX

(τ)。因为对不同的样本函数x(t)，在[-T，

T]上的均值是不同的。这时，我们想到当T充分大时，是否有mT≈E[X(t)]。根据均方收敛的意义，上述问题就是在什么条件下有

4.4.1平稳过程的各态历经性的概念和条件

基于以上讨论，我们给出如下的定义。

定义4.4.1设X={X(t)，

t∈(-∞，

∞)}是平稳过程。

(1)如果均方极限存在，则称之为X在(-∞，

∞)上的时间平均，记为<X(t)>;

(2)对于固定的τ，若均方极限

t存在，则称之为X在(-∞，

∞)上的时间相关函数，记为<X(t)X(t+τ)>。

从定义看，平稳过程的时间平均<X

(t)>是随机变量，时间相关函数<X(t)X(t+τ)>是随机过程，而mX

是常数，

RX

(τ)是普通函数。

定义4.4.2设X={X(t)，

t∈(-∞，

∞)}是平稳过程。

(1)若以概率1，有<X(t)>=mX，则称X

的均值具有各态历经性。

(2)若对任意的τ，以概率1，有<X(t)X(t+τ)>=RX(τ)，则称X的相关函数具有各态历经性;特别地，若对

τ=0时，上式成立，则称X的均方值具有各态历经性。

(3)均值和相关函数都具有各态历经性的平稳过程X称为各态历经过程。各态历经性又称为遍历性。

例4.4.1设X(t)=acos(ω0t+Θ)，

t∈(-∞，

∞)，其中a，

ω0是实常数，

Θ

服从区间(0，

2π)上的均匀分布，讨论X的各态历经性。

解易知X是平稳过程，且

故X的均值和相关函数都具有各态历经性。因此，

X是各态历经。

应当指出，并不是所有平稳过程的均值和相关函数都具有各态历经性。

例4.4.2设X(t)=Y

，其中D[Y]≠0，则X(t)为平稳过程，且

而Y不是常数，从而与E(Y)并不以概率1相等，说明X的均值不具有各态历经性。

与前一样，下面的定理将均值各态历经性用协方差函数来判别。

定理4.4.1设X={X(t)，

t∈(-∞，

∞)}是平稳过程，则X均值各态历经(<X(t)>=mX

)的充要条件为

证明随机变量等于常数mX

的充要条件是均值为mX

而方差为零，而<X>存在时均值必定为mX

，故下证其方差为零。

而

故D[<X(t)>]=0

，即<X(t)>=mX

的充要条件为(4.4.1)式成立。

推论4.4.1实平稳过程X={X(t)，

t∈(-∞，

∞)}的均值各态历经的充要条件为

证明由于X为实平稳过程，所以RX(-τ)=RX(τ)，从而RX(τ)是τ的偶函数，因而由定理4.4.1即知结论成立。

推论4.4.2若平稳过程{X(t)，

t∈(-∞，

∞)}的相关函数RX(τ)满足

证明由于故对任意ε>0，存在T1

，使当|τ|≥T1

时，有|CX(τ)|<ε，于是

故

上面讨论的随机过程在(-∞，

∞)上，如果是在[0，

∞)上，则有以下推论。

推论4.4.3设X={X(t)，

t≥0}是一均方连续的平稳过程，则X的均值各态历经的定义可改为

且X是均值各态历经的充要条件也可改为

证明与定理4.4.1类似。

例4.4.3设X(t)=Acosωt+Bsinωt，

t∈(-∞，

∞)，其中ω

是常数，

A，

B是相互独立的随机变量，且EA=EB=0，

DA=DB=σ2

>0，讨论X均值的各态历经性。

解

易知X是一均方连续的平稳过程，且mX=0，

RX(

τ)=σ2cosωτ，因为

故X的均值具有各态历经性。

现在讨论平稳过程相关函数的各态历经性。

定理4.4.2设X={X(t)，

t∈(-∞，

∞)}是均方连续的平稳过程，且对任意的τ，X(t)X(t+τ)也是均方连续的平稳过程，则X的相关函数各态历经的充要条件是

证明事实上，若令Z(t)=X(t)X(t+τ)，则X的相关函数的各态历经性等价于随机过程Z(t)的均值历经性。而CZ(u)=RZ(u)-|RX(τ)|2

，于是由定理4.4.1立得。

推论4.4.4设X={X(t)，

t∈(-∞，

∞)}是实均方连续的平稳过程，且对任意的τ，Z(t)=X(t)X(t+τ)也是均方连续的平稳过程，则X的相关函数各态历经的充要条件是

以下推论讨论定义在[0，

∞)上的随机过程。

推论4.4.5设{X(t)，

t∈[0，

∞)}是均方连续的平稳过程，且对任意的τ，

X(t)X(t+τ)也是均方连续的平稳过程，则{X(t)，

t∈[0，

∞)}的相关函数各态历经定义可改为且{X(t)，

t∈[0，

∞)}的相关函数各态历经的充要条件是

以上各推论的证明均可仿定理4.4.1的推论4.4.1和推论4.4.2的证明得到。一般来说，这些条件都难以验证，故我们讨论最常见的正态过程的相关函数的各态历经性。

定理4.4.3设X={X(t)，

t∈(-∞，

∞)}是实平稳的正态过程，若RX

(τ)=0，则X的相关函数各态历经。

4.4.2各态历经性与谱函数的关系

本小节对均方连续平稳过程，进一步讨论各态历经性的条件。由定理4.2.1知，均方连续平稳过程存在谱函数，利用谱函数可以得到各态历经性的另一种充要条件。

定理4.4.4设X={X(t)，

-∞<t<∞}是一均方连续的平稳过程，且E[X(t)]=m，则X的均值各态历经的充要条件是X

的谱函数F

(ω)在ω=0处连续。

证明充分性:不妨设m=0，否则考虑X-m即可。由于X

是均方连续的，故由定理4.4.1有零均值正交增量过程Z(ω)使得

其中

因此

由于|ΦT

(ω)|≤1且

于是由有界收敛定理得

因此当且仅当F

(ω

)在ω=0处连续时X的均值各态历经。

利用以上定理中的条件，我们可进一步得到判别各态历经性的条件。以下几个推论中所得的条件都是关于自相关函数的，这有别于上一节中的自协方差函数。

推论4.4.6设{X(t)，

-∞<t<+∞}是均方连续的平稳过程，则X

的均值具有各态历经的充要条件为

证明由相关函数的谱展式知

由此与以上定理类似的可证得。

以上推论中的条件(4.4.5)比前面定理4.4.1中的条件(4.4.1)要简单。．

推论4.4.7设{X(t)，

t≥0}是一均方连续的实平稳过程，则X的均值各态历经的充要条件是

推论4.4.8设{X(t)，

-∞<t<∞}是一均方连续的平稳过程，且对任一固定的τ，X(t)X(t+τ)也是均方连续的平稳过程，对固定的τ，若用Rτ(u)表示X(t)X(t+τ)的相关函数，则

则X的相关函数各态历经的充要条件为

当X为实的时，其充要条件为

4.4.3均值函数与自相关函数的估计式

现在我们回过头来讨论，如何解决本节开头提出的问题，即对具有各态历经性的平稳过程，怎样利用一个样本函数来估计其均值和相关函数。

设x

(t)，

t∈[0，

∞)是平稳过程X={X(t)，

t∈[0，

∞)}的样本函数。若X的均值具有各态历经性，即

此式中的积分可以采取将[0，

T]等分的方式进行计算，即

由于均方收敛必依概率收敛，故对任意的ε>0，有

于是，当

T、N相当大，且T/N很小时，有

根据小概率事件原理，一次抽样得到的样本函数x(t)，可以认为一定有

下面介绍相关函数RX

(τ)的近似估计。考虑τ=r(T/N)，其中r=0，

1，

2，…，

m固定。若相关函数具有各态历经性，则对任意的ε>0，有

因而

4.5线性系统中的平稳过程

在通信技术中，需要研究一个通信系统输入的随机信号的统计特性与该系统输出的随机信号的统计特性之间的关系。对于线性时不变系统，如果输入(或激励)是一随机过程，则其输出(或响应)也是随机过程。这时，我们自然会提出下列问题:

(1)若输入是平稳过程，其输出是否为平稳过程?

(2)若已知输入的统计特性，如何求出输出的统计特性?

(3)输入与输出的统计关系如何?

这些问题是本节所要讨论的内容。

4.5.1线性时不变系统的基本概念

为了便于本节内容的叙述，首先简要地介绍一下线性系统的基本理论。在这里仅限于讨论单输入单输出的线性系统情形。

一般地，系统的输出响应与输入响应之间的关系(见图4－1)可表示为

式中:x(t)代表系统的输入;y(t)表示系统的输出;符号L是对输入信号进行某种运算的标志，称为算子，它代表着各种数学运算方法，如加法、乘法、微分、积分等。值得指出的是，式(4.5.1)中x是一个函数，

y是一个函数，

L是以函数x为变量的函数，故严格来写有y(t)=L(x)(t)，但为简单起见，我们仍用式(4.5.1)的写法。图4－1线性系统示意图

设x1

(t

)、x2

(t)表示两个输入信号，

y1(t)、y2(t)是与之相应的两个输出信号即y1

(t)=L[x1

(t)]，

y2

(t)=L[x2

(t

)]，若对任意的常数α、β有

则称L是线性系统。

若对任意的常数τ，有

则称L是时不变系统。

设L是线性时不变系统，是一列信号，且yn(t)=L[xn(t)](n=1，

2，…)，若当

则称L是保持连续性的线性时不变系统。本节研究保持连续性的线性时不变系统。

定理4.5.1设L是线性时不变系统，若其输入为x(

t)=ejωt，则其输出y(t)为

证明L(ejωt)=y(t)，则由L的时不变性得

另一方面由线性性知，对固定的τ，有

取t=0得

存在，称之为系统L的脉冲响应函数。

由上述可知，若对每一系统均以x

(t

)=ejωt作为标准的输入信号，这样H

(ω)就仅与系统L

有关，因此一个系统的频率响应函数H

(ω

)或脉冲响应函数h(t)完全表达了保持连续性的线性时不变系统的数量特征。因此当给定了H(

ω)(或h(t))就表示给定了一个保持连续性的线性时不变系统L。反之，若L已知，也就是说H(ω)是已知的。由于H(ω)不一定是绝对可积的，故h(t)不一定存在，因此当L已知时，并不能说h(t)是已知的。

4.5.2线性时不变系统对随机输入的响应

现在我们对保持连续性的线性时不变系统L，输入X是平稳过程时，定理4.5.1中的结论是否还成立?

定理4.5.2设输入X={X(t)，

t∈(-∞，

∞)}是平稳过程，

RX(τ)和SX(ω)分别为其相关函数和谱密度，且RX

(τ

)绝对可积，

L

是线性时不变系统，其脉冲响应为h(t)，频率响应为H

(ω)，且满足:

则有

(均方积分)也是平稳过程;

(2)Y的均值函数和相关函数分别为

(3)Y存在谱密度，且

证明由条件(2)，根据均方可积准则可知，

Y(t)存在，且

由此可见，输出Y也是平稳过程。且(2)同时获证。由于

故Y的谱密度存在，且

例4.5.1(R－C电路系统)如果输入电压X={X(t)，

t∈[0，

∞)}是实平稳过程，其均值为0，相关函数为RX

(τ)=σ2e-β|τ|，β>0，

β≠α=1/(RC)，

Y(t)表示输出电压，它们之间的关系由随机微分方程Y'(t)+αY(t)=αX(t)给出，其中α=1/(RC)为常数，求输出过程Y及其相关函数RY(τ)与谱密度SY(ω)。

解

(1)将X(t)=ejωt代入Y'(t)+αY(t)=αX(t)得频率响应函数H(ω)=α/(jω+α)，从而脉冲响应函数为

因此

(2)由于输入过程的谱密度

故输出过程Y(t)的谱密度为

(3)因为

从而Y的相关函数和平均功率分别为

4.5.3线性时不变系统的输入、输出的互相关函数与互谱密度

定理4.5.3设线性时不变系统L的输入和输出分别为平稳过程X={X(t)，

t∈(-∞，

∞)}和Y={Y(t)，

t∈(-∞，

∞)}，且X存在谱密度SX(ω)，则系统的输入X与输出Y平稳相关，且它们的互谱密度函数为

其中H(ω)为L的频率响应。

证明由(4.5.6)式可得

与t

无关，所以，

X

与Y是平稳相关的。又因为RXY

(τ

)是X的相关函数RX

(τ)与脉冲响应函数h

(t

)的卷积，所以，

RXY(τ)的Fourier变换是RX

(τ)的Fourier变换与h(t)的Fourier变换的乘积，即X与Y的互谱密度SXY(ω

)是X的谱密度SX

(ω)与系统的频率响应函数H(ω

)之积，故(4.5.9)式成立。

(4.5.9)式也是线性时不变系统中的一个重要公式。它和定理4.5.2中的(4.5.8)式同等重要。后者借助于输入、输出的功率谱帮助我们分析输入、输出的统计特性;而前者是从输入功率谱和输出输入的互谱中求得系统的频率响应。换句话说，已知SX

(ω)及SXY(ω)，要求SY

(ω

)，则可通过(4.5.9)式求出H(ω)，再由(4.5.8)式可以得到SY

(ω)。

例4.5.2求例4.5.1中的输入过程X与输出过程Y的互相关函数与互谱密度。

解

(1)

(2)当τ>0时，

习题四

1.设随机过程X(t)=Acos(ωt+Θ)，其中A具有Rayleigh分布，即其概率密度函数为式中Θ服从区间[0，

2π]上的均匀分布，且A、Θ相互独立，试研究X是否为平稳过程。

2.设X

是一平稳过程，且有T使得X(t)=X(t+T)，

∀t，称X为周期平稳过程，

T

为其周期，试证X的相关函数也是以T为周期的周期函数。

3.设X、Y是两个相互独立的实平稳过程，试证明Z(t)=X(t)+Y(t)也是平稳过程。

4.设{X(t)，

-∞<t<∞}是n阶均方可微的平稳过程，证明{X(n)(t)，

-∞<t<∞}是平稳过程，且RX(n)(τ)=(-1)nR(2n)X(τ)。

5.设{X(n)}是一均值为0的平稳时间序列，证明:

(1)Z(n)=AX(n)+BX(n-m)仍是一平稳时间序列;

(2)若数列{Ak}绝对收敛，即

(3)若{X(n)}是一白噪声，试求

的相关函数及其谱函数。

6.设X(t)是雷达在t时的发射信号，遇目标返回接收机的微弱信号是aX(n-τ1

)，

a≪1，

τ1是信号返回时间，由于接收到的信号总是伴有噪声的，记噪声为N(t)，于是接收机接收到的全信号为Y(t)=aX(t-τ1

)+N(t)，若X、Y是平稳相关的平稳过程，试求RXY(τ);进而，若N

(t)的均值为0，且与X(t)相互独立，试求RXY(τ)。

7.设X(t)=sinΘt，其中Θ是服从区间[0，

2π]上的均匀分布的随机变量，试证:

(1){Xn

，

n=0，

±1，

±2，…}是一平稳时间序列;

(2){X(t

)，

-∞<t<∞}不是平稳过程。

8.设{X(t)，

-∞<t<∞}为零均值的正交增量过程，

E|X(t)-X(s)|2=|t-s|

，试证Y(t)=X(t)-X(t-1)是平稳过程。

11.设宽平稳过程{Y(t)，

t∈(-∞，

∞)}的自相关函数为RY(τ)=e-|τ|，对满足随机微分方程X‘(t)+X(t)=Y(t)的宽平稳过程解{X(t)，

t∈(-∞，

∞)}。

(1)求X的均值函数、自相关函数和功率谱密度;

(2