辽宁省沈阳市联合体2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

2023—2024学年度（下）联合体高二期末检测数学（满分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1.答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效.4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.设数列的前项和为，则“是等差数列”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知函数的定义域为，对任意都有，当时，则（）A. B.1 C.2 D.4.已知函数的导函数为，且，则（）A. B. C. D.5.已知随机变量，若，，则（）A.15 B. C. D.6.某工厂生产零件的尺寸指标，若尺寸指标在内的零件为优等品，从该厂生产的零件中随机抽取10000件，则抽取到的优等品的件数约为（参考数据：若，则，，）（）A.6827 B.8186 C.8400 D.95457.已知函数的图象如图所示，经过点，.则函数的解析式可能是（）A.. B.C. D.8.林业部门规定：树龄在500年及以上的古树为一级，树龄在300～500年之间的古树为二级，树龄在100～299年之间的古树为三级，树龄低于100年不称为古树.林业工作者研究树木年龄，多用年轮推测法，先用树木测量生长锥在树干上打孔，抽取一段树干计算年轮个数.由经验知，树干截面近似圆形，年轮宽度依次构成等差数列.现为了评估某棵大树的级别，测量数据如下：树干的周长为，靠近树芯的第5个年轮的宽度为，靠近树皮的第5个年轮的宽度为，则估计该大树属于（取3.14）（）A.一级 B.二级 C.三级 D.不是古树二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.如图，函数的导函数的图象经过点，和，对于函数，下列说法正确的是（）A.在上单调递增 B.在上单调递增C.在处取得极小值 D.在处取得极小值10.已知，且，则下列说法正确的是（）A.有最小值4 B.有最小值C.有最小值 D.的最小值为11.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意，，，都有，则（）A.是奇函数 B.C.的图象关于对称 D.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若命题“，，”为假命题，则的取值范围是______.13.端午节期间，小王、小李、小张和小刘四人分别计划去游玩，现有三个出游的景点：沈阳故宫、张学良旧居、辽宁大剧院，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去沈阳故宫的条件下有人去辽宁大剧院的概率为______.14.已知数列的各项均为1，在其第项和第项之间插入个2（），得到新数列，记新数列的前项和为，则______，______.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（13分）已知数列的前项和为，，，，.（1）求数列和的通项公式；（2）令，证明：.16.（15分）甲、乙两人准备进行台球比赛，比赛规定：上一局中赢球的一方作为下一局的开球方.若甲开球，则本局甲赢球的概率为；若乙开球，则本局甲赢球的概率为，每局比赛的结果相互独立，且没有平局，经抽签决定，第一局由甲开球.（1）求第3局甲开球的概率；（2）设前4局中，甲开球的次数为，求的分布列及数学期望.17.（15分）已知数列满足，，数列满足，，.（1）证明：为等差数列，并求的通项公式；（2）若，记的前项和为，且对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.18.（17分）已知函数.（1）当时，求的极值；（2）当时，求在上的最小值；（3）当时，若在上存在零点，求的取值范围.19.（17分）函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.（1）判断下列函数是否具有性质，并说明理由.①；②.（2）已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.（用含字母的式子表示）

2023—2024学年度（下）联合体高二期末检测数学参考答案及评分标准一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.B【解析】集合，，故.2.A【解析】由是等差数列，得，满足充分性；若，则，得不到是等差数列，不满足必要性，则“是等差数列”是“”的充分不必要条件.3.C【解析】因为函数的定义域为，对任意都有，所以.4.D【解析】因为，所以.令，则，解得.5.A【解析】因为，，所以，即，所以，所以.6.B【解析】由题意可得，即优等品的概率为0.8186，所以从该厂生产的零件中随机抽取10000件，抽取到的优等品的件数约为（件）.7.B【解析】对于A，，其定义域为，有，函数为偶函数，不符合题意；对于B，，有，，当时，，其导数，在区间上，，函数为减函数，在区间上，，函数为增函数，符合题意；对于C，，有，，当时，，其导数，在区间上，，函数为减函数，在区间上，，函数为增函数，不符合题意；对于D，，有，不符合题意.8.C【解析】因为树干周长为，又因为周长，可得.从树芯到树皮，设第个年轮的宽度是，则由题可知，，且是等差数列，则，解得（年），由树龄在100～299年之间的古树为三级，可知该大树属于三级.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）（评分标准：如果正确答案有2个，每个答案3分；如果正确答案有3个，每个答案2分）9.BD【解析】由导函数图象可知，当或时，；当或时，，所以在和上单调递减，在和上单调递增，故选项A错误，B正确；所以在和处取得极小值，在处取得极大值，故C错误，D正确.故选：BD.10.ABD【解析】A选项：由，得，当且仅当，即，时取等号，故A选项正确；B选项：，当且仅当，即，时取等号，故B选项正确；C选项：由，得，所以，当且仅当，即，时取等号，故C选项错误；D选项：由对A选项的分析知且，时取等号，所以，当且仅当，即，时取等号，故D选项正确.故选：ABD.11.BC【解析】由为奇函数，得，即函数关于对称，C正确；由函数关于对称可知.又因为为偶函数，所以，即函数关于对称，则，所以，即，所以，所以是周期为4的周期函数，所以.又，所以，所以，所以，B正确；是偶函数，A错误；对任意的，，且，都有，不妨设，则，由单调性的定义可得函数在上单调递增，又由函数关于对称，所以在上单调递增.又，，，所以，得，D错误.故选：BC.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）（评分标准：14题第1空2分，第2空3分）12.【解析】因为命题“，”为假命题，所以命题“，”为真命题，所以，解得，所以的取值范围是.13.【解析】至少有两人去沈阳故宫的情况有三种：两人去、三人去、四人去，其概率为，至少有两人去沈阳故宫且有人去辽宁大剧院的概率为，所以在至少有两人去沈阳故宫的条件下有人去辽宁大剧院的概率为.14.23985【解析】由题意，将数列的各项按如下数阵排列：其中第（）行有项，则该数阵中，第行最后一项对应数列中的第项.因为，且，所以位于数阵的第63行第9项，故，数列的前2024项中，项的值为1的共63项，项的值为2的项共（项），因此四、解答题（本大题共5小题，共77分）15.（1）解：当时，；………………1分当时，，又，两式相减，得，………………2分化简得.………………3分因为，所以数列是首项为4，公比为16的等比数列，所以（），………………5分所以（）.………………7分（2）证明：由（1）知，所以.………………8分当时，成立；………………9分当时，，故成立.………………12分综上所述，（）均成立.………………13分16.解：（1）设第局甲赢球为事件，则第局乙赢球为事件，其中，则“第3局甲开球”为事件，则.………………5分（2）依题意，则；………………7分；……………….9分；………………11分，………………13分所以的分布列为1234则.………………15分17.（1）证明：因为，，两边同除以，得，………………2分从而，，………………3分所以是首项为1，公差为1的等差数列，………………4分所以（），所以（）………………6分（2）解：由，，所以（），………………7分所以………………9分所以，………………10分则（），………………13分所以，所以，即实数的取值范围是.………………15分18.解：（1）当时，，定义域是，………………1分令，得，变化时，，的变化情况如下表：＋0－则，没有极小值.………………4分（2）当时，，，则.………………5分令，，则，………………6分则在上是增函数，则，所以，即在上是增函数，………………7分则.………………8分（3），，.………………10分令，，，当时，，则在上是减函数，则.①当时，，则在上是减函数，，不合题意；………………12分②当时，，则存在，使，即，变化时，，的变化情况如下表：＋0－极大值则，………………14分只需，解得.综上，的取值范围是.………………17分19.解：（1）①对任意，，所以具有性质.………………2分②对任意，得，取，则，所以不具有