专题6相似三角形的基本模型课件北师大版数学九年级上册

第四章图形的相似专题6相似三角形的基本模型数学九年级上册BS版专题解读典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版01专题解读◎问题综述相似三角形是初中几何中的重要内容，常常与其他知识点

结合，以综合题的形式呈现，其变化较多，是中考的常考内容.

在学习中要注重解题方法和基本解题模型，以便使相似三角形

的问题迎刃而解.相似三角形的常见基本模型有平行线型、斜交

型、垂直型、旋转型等.数学九年级上册BS版02典例讲练类型一

平行线型基本图形：如图，

DE

∥

BC

.

主要结论：

【思路导航】（1）直接利用“两边成比例且夹角相等的两个三

角形相似”即可证得结论；（2）根据相似三角形的性质和平行

线的判定方法可得

EF

∥

BC

，于是可得△

AEG

∽△

ABD

，△

AGF

∽△

ADC

，再根据相似三角形的性质即可推出结论.

【点拨】熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键.熟悉

“A”型和“X”型模型，能快速找到解题突破口.

如图，在▱

ABCD

中，连接对角线

AC

，延长

AB

至点

E

，使

BE

＝

AB

，连接

DE

，分别交

BC

，

AC

于点

F

，

G

.

（1）求证：

BF

＝

CF

；

（2）若

BC

＝6，

DG

＝4，求

FG

的长.

类型二

斜交型基本图形如下：

如图，点

D

，

E

分别在△

ABC

的边

AB

，

AC

上，且

AB

＝

9，

AC

＝6，

AD

＝3.要使△

ADE

与△

ABC

相似，则

AE

的长

为

⁠.

【思路导航】要使△

ADE

与△

ABC

相似，应分△

ADE

∽△

ABC

和△

AED

∽△

ABC

讨论.

【点拨】对于两个三角形相似，若无明确给出相似符号

（∽），则一般有三种情形.而此题中，由于有公共角，故只

有两种情形.解题的关键是明确分类，并熟练运用相似三角形

的判定.

1.如图，点

D

为△

ABC

的边

AC

上一点，连接

BD

，且△

ABC

∽△

ADB

.

若

AB

＝2

AD

＝2，则

CD

的长为

⁠.（第1题图）3

2.如图，在△

ABC

中，

D

，

E

分别是

AB

，

AC

上的点，

AF

平分

∠

BAC

，交

DE

于点

G

，交

BC

于点

F

.若∠

AED

＝∠

B

，且

AG

∶

GF

＝2∶1，则

DE

∶

BC

＝

⁠.（第2题图）2∶3

类型三

垂直型基本图如下：

如图，折叠矩形

ABCD

，使点

D

落在

BC

边上的点

F

处，折

痕为

AE

.

（1）求证：△

ABF

∽△

FCE

；（2）若

CF

＝4，

EC

＝3，求矩形

ABCD

的面积.

（1）证明：∵四边形

ABCD

是矩形，∴∠

B

＝∠

C

＝∠

D

＝90°.∴∠

BAF

＋∠

AFB

＝90°.由折叠可知，∠

AFE

＝∠

D

＝90°.∴∠

AFB

＋∠

CFE

＝90°.∴∠

BAF

＝∠

CFE

.

∴△

ABF

∽△

FCE

.

解得

BF

＝6.∴

BC

＝

BF

＋

FC

＝6＋4＝10.∴矩形

ABCD

的面积＝

AB

·

BC

＝8×10＝80.【点拨】（1）翻折前后图形对应全等，对应角相等、对应边相

等.（2）本题中，∠

B

＝∠

AFE

＝∠

C

＝90°，称△

ABF

∽△

FCE

这样的相似为“一线三垂直相似”（或“K”型相似），

注意“横纵对应”，即

AB

与

FC

是对应边，

BF

与

CE

是对应边.

如图，在△

ABC

中，∠

ABC

＝90°，

BD

⊥

AC

，点

E

为

BD

的中

点，连接

AE

并延长交

BC

于点

F

，且

AF

＝

CF

，过点

F

作

FH

⊥

AC

于点

H

.

求证：（1）△

ADE

∽△

CDB

；证明：（1）∵

BD

⊥

AC

，

FH

⊥

AC

，∴∠

ADE

＝∠

CDB

＝90°，

BD

∥

FH

.

又∵

AF

＝

CF

，∴∠

DAE

＝∠

DCB

.

∴△

ADE

∽△

CDB

.

（2）

AE

＝2

EF

.

类型四

旋转型基本图形如下：

如图，在△

ABC

与△

ADE

中，∠

ACB

＝∠

AED

＝90°，∠

ABC

＝∠

ADE

，连接

BD

，

CE

.

若

AC

∶

BC

＝3∶4，

CE

＝6，

求

BD

的长.【思路导航】根据相似三角形的判定得出△

ABC

与△

ADE

相

似，得出∠

BAC

＝∠

DAE

，进而证明△

ACE

与△

ABD

相似，利

用相似三角形的性质求解.

【点拨】解答本题的关键是根据相似三角形的判定得出△

ABC

与△

ADE

相似.此类题中，容易被复杂的边角关系扰乱思路，从

而出错，故转化过程中应仔细，并检查.

如图，在正方形

ABCD

中，已知点

F

是

BC

边上