速率分布函数

●

理想气体的温度、压强、内能

●

能量均分定理

●概率、概率分布函数、分布率●

平均碰撞频率平均自由程

最可几速率平均速率方均根速率●●

玻尔兹曼能量分布律本章基本要求第四章统计物理学基础

●物质的微观模型、描述系统的状态参量

●

麦克斯韦速率分布律

热力学系统：大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观体系。

外界：热力学系统以外的物体。一、物质的微观模型微观粒子体系的基本特征:(1)分子(或原子)非常小。(4）分子或原子都以不同的速率不停地运动(是杂乱无章的)。(2)热力学系统所包含的微观粒子数非常巨大.(3)分子之间存在相互作用力--分子力.§4-1、统计物理的基本概念宏观量

从整体上描述系统特征和状态的物理量,一般可以直接测量。如压强p、体积V、温度T

（状态参量）等。二、系统状态的描述

微观量

描述系统内微观粒子特征和状态物理量。如分子的质量、直径、速度、动量、能量等。

微观量与宏观量有一定的内在联系.

例如，气体的压强（宏观量）是大量分子撞击器壁的平均效果,它与大量分子对器壁的冲力的平均值有关。

平衡态(equilibriumstate):

在无外界影响的条件下，系统所有可观察的宏观性质不随时间改变的状态。

非平衡态:

不具备两个平衡条件之一的系统.设一容器，用隔板将其隔开,当隔板右移时，分子向右边扩散在这过程中，各点密度、温度等均不相同，这就是非平衡态。但随着时间的推移….

平衡条件:

(1)系统与外界在宏观上无能量和物质的交换，

(2)系统的宏观性质不随时间改变。

终了(平衡态)

扩散(非平衡态)..............................开始隔板..............................抽去隔板...............................（1）平衡态是一种热动平衡；

处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞，每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间改变。（2）平衡态是一种理想概念。两点说明：

系统所受外界影响可以略去，宏观性质只有很小变化时，可近似看作是平衡态。

当系统处于平衡态时，三个状态参量存在一定的函数关系：状态方程物态方程(状态方程)当质量M不变时，有例1

氧气瓶的压强降到106Pa即应重新充气，以免混入其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为32L，压强为1.3107Pa，若每天用105Pa的氧气400L，问此瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。解:

根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气体和剩余气体，设这三部分气体的状态参量分别为使用时的温度为T分别对它们列出状态方程，有设可供x天使用，则有：原有M1每天用量(M2)剩余M3例2

、一自行车轮胎，在温度为00C时打入空气，直到胎内压强1.5atm.(1)由于摩擦与日晒，车胎温度升高到300C，问此时轮胎内压强为多少？(2)在骑车过程中，胎被刺破一小洞而漏气，问当自行车停下胎的温度又降至00C时，胎内漏掉的气体是原有气体的百分之几？解:

(1)设自行车轮胎体积为V0,压强P0=1.5atm,T0=273K,T=303K.胎被刺破前，胎内空气的质量一定，故可由(2)车胎漏气，由于车胎内气体压强最终要与大气压相等，即P1=1.0atm,T1=T0=273K.设此时胎内空气质量为M

,漏气前质量为M设漏掉空气与原有空气的百分比为x，则结论：而当质量改变时，就只能用当质量不变时，有三、分子热运动的无序性和统计规律性什么是统计规律性(statisticalregularity)

大量偶然性从整体上所体现出来的必然性。分子热运动无序性统计性

单个分子运动情况具有很大的偶然性。

大量分子的集体表现存在一定规律性。投骰子实验每一面朝上的概率都是1/6①扔骰子从入口投入小球与钉碰撞落入狭槽(偶然)隔板铁钉②伽尔顿板实验

大量偶然事件整体所遵循的规律——统计规律。再投入小球：

经一定段时间后,大量小球落入狭槽。分布情况：中间多，两边少。重复几次，结果相似。

单个小球运动是随机的,大量小球运动分布是确定的。小球数按空间位置分布曲线

统计规律的特点:

（1）只对大量偶然的事件才有意义.

（2）它是不同于个体规律的整体规律.

（3）总是伴随着涨落.“涨落”现象------测量值与统计平均值之间的偏离。(涨落现象是统计规律的重要特征。)

对平衡态下的热现象进行微观描述，然后运用统计的方法求得：(1)宏观量与微观量的统计平均值的关系，揭示宏观量的微观本质；(2)平衡态下微观量的统计分布。如：分子速度、能量的分布等

统计物理学的任务:(2)各种可能发生的事件的概率总和等于1.（几率归一化条件）概率的性质:(1)概率取值域为四、统计的基本概念1.概率如果N次试验中出现A事件的次数为NA,当N

时，比值NA/N称为出现A事件的概率。2.概率分布函数:

(X)随机变量:在一定条件下,变量以确定的概率取各种不相同的值。1).离散型随机变量(取值有限、分立)(3)互斥事件的概率等于分事件概率之和(4)相容事件的概率等于分事件概率之积表示方式概率:概率密度等于随机变量取值在单位间隔内的概率。

(X)又称为概率分布函数（简称分布函数）。--随机变量x的概率密度

(x)

2).连续型随机变量(取值无限、连续。如分子速率、能量都是…)

随机变量(x)取值在x—x+dx间隔内的概率为dP(x)3.统计平均值（无限次测量）

对于离散型随机变量

算术平均值统计平均值

随机变量的统计平均值等于一切可能状态的概率与其相应的取值

i乘积的总和。

对于连续型随机变量X统计平均值为试比较:（有限次测量时）§4-2理想气体的压强公式、温度公式和内能一、理想气体的微观模型和统计假设分子本身的大小比起它们之间的平均距离可忽略不计。

除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。

分子间的碰撞是完全弹性的。

分子所受重力忽略不计1.理想气体微观模型2.统计假设①分子数密度处处相等；②分子沿各个方向运动的几率均等。亦即：分子速度在各个方向上的分量的各种平均值相等。

一定量的处于平衡态的某种理想气体。设其容器的容积为V,总分子数为N,每个分子的质量均为m。平衡态下器壁各处压强相同，选A1面求其所受压强。二．理想气体的压强公式i分子动量增量i分子对器壁的冲量i分子相继与A1面碰撞的时间间隔单位时间内i分子对A1面的冲量即，i分子对A1面的平均冲力考虑一个分子i，以速度奔向一面元A1，与面元碰撞后返回单位时间内i分子对A1面的碰撞次数所有分子对A1面的平均作用力压强又因为在平衡态下：——分子的平均平动动能宏观量微观量——理想气体的压强公式(3)质量为M理想气体贮存于某容器中，温度为T，根据理想气体微观模型和统计假设,求分子速度在o-xyz坐标中沿各个方向速度的统计平均值为多少？思考:(1)在推导理想气体的压强公式中，没有考虑气体分子间的相互碰撞，如果考虑这一因素，对所得的结果有无影响？平均速度vixNiN=vxdNvx/N=vx(vx)dvx=0+-vx=(对宏观系统没有影响。)（2）能不能用实验直接验证理想气体的压强公式，如果不能，这是因为什么原因？答：不能，公式右边分子的平均平动动能（微观量）是无法用实验观测的。温度是气体分子平均平动动能大小的量度

此式给出了宏观量与微观量的统计平均值间的关系,揭示了温度的微观本质.三、分子的平均平动动能与温度的关系例3

在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加热，使它的温度从270C升到1770C，体积减少一半，试问这时气体分子的平均平动动能变化多少？解：1、自由度i（Degreeoffreedom）确定一个物体的空间位置所需要的最少独立坐标数目。四、能量按自由度均分定理如:

火车:在一线上运动其自由度为1

飞机：在空间飞行

自由度为3（经度、纬度、高度）（经度、纬度）

轮船：在一曲面上运动自由度为2以刚性分子为例双原子分子单原子分子平动自由度t=3平动自由度t=3转动自由度r=2平动自由度t=3转动自由度r=3三原子分子2、能量均分定理自由度转动平动.

刚性分子的自由度数小结单原子分子303双原子分子523三原子(多原子)分子633推广气体分子沿x,y,z三个方向运动的平均平动动能完全相等，可以认为分子的平均平动动能

均匀分配在每个平动自由度上。平衡态下，不论何种运动，对应于每一个可能自由度的平均动能都是能量按自由度均分定理如果气体分子有i个自由度，则分子的平均动能为

如果某种气体的分子有个t个平动自由度,r个转动自由度,s个振动自由度.则分子具有：平均平动动能平均转动动能平均振动动能注意：对应分子的一个振动自由度，除有一份振动的动能外，还有一份等量的势能。结论：分子的平均总能量

常温下,气体分子无振动，则分子的平均动能为五、理想气体的内能分子间相互作用可以忽略不计分子间相互作用的势能=0理想气体的内能=所有分子的热运动动能之总和1mol理想气体的内能为：一定质量（M)理想气体的内能为：理想气体内能仅与温度有关，与压强和体积无关温度改变，内能改变量为：例4.质量为1kg的氧气，其温度由300K升高到350K。若温度升高是在下列3种不同情况下发生的：

(1)体积不变，(2)压强不变(3)绝热。问该理想气体内能改变各为多少？=3.25×104J=××100032528.31×50E=MmolMRTi2ΔΔ解：理想气体内能仅与温度有关，与压强和体积无关因为这三种过程温度变化度相同，所以内能变化相同。例5就质量而言，空气是由76%的N2，23%的O2和1%的Ar三种气体组成(它们的分子量分别为28、32、40)。空气的摩尔质量为28.910-3kg，试计算1mol空气在标准状态下的内能。解：

在1摩尔空气中，有摩尔数O2质量摩尔数N2质量Ar质量摩尔数1mol空气在标准状态下(T=273K)的内能:

平衡态下，理想气体系统中以分子速度为随机变量的气体分子速度分布函数，叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。

温度和压强都涉及到分子的平均动能，即有必要研究一下分子速率的规律。早在1859年由麦克斯韦应用统计概念从理论上推导出来，尔后被实验证实。一、分子速率分布的实验测定§4-3麦克斯韦分子速率分布率速率筛转动，不同速率的分子将投射并粘附在淀积屏上。测定分子速率分布的实验所以，两转盘就叫速率筛。兰媚尔实验（装置置于真空之中）淀积屏P速率筛S’BA狭缝屏分子源

的分子才能通过狭缝到达淀积屏P上。即得：设两转盘相距l，分子速度的大小为v，分子从前到后所用的时间为t，那么，只有满足下面列出了Hg分子在某温度时不同速率的分子数占总分子的百分比。90以下6.290-----140140----190190----240240----290290----340340----390390以上10.3218.9322.718.312.86.24.0实验数据的图示化6.2%10.32%18.93%22.7%18.3%12.8%6.2%4.0%090140190240290340390面积大小代表速率v附近dv区间内的分子数占总分子数的比率--概率速率分布曲线dNN面积=出现在v~v+dv区间内的概率分子出现在v1~v2区间内的概率

曲线下的总面积恒等于1归一化条件f(v)f(vp)vvv+dvv1v2p------速率分布函数------速率分布律即概率(n为分子数密度)说明下列各量的物理意义：？思考题1859年时，麦克斯韦由概率论就导出了理想气体分子在平衡态下速度分布函数的表达式：T----温度m----气体分子质量

k----玻尔兹曼常数二、麦克斯韦分布律及三种统计速率在速度空间里，分子的速度分量限制在内的分子都在一定的体积元：内,其内的分子数占总分子数的百分比为:速度空间1)麦克斯韦速度分布律（概率）以速度的三个分量为轴的直角坐标系所确定的空间麦克斯韦速度分布律2）麦克斯韦速率分布函数令则---叫麦克斯韦速率分布函数---麦克斯韦速率分布律①最可几速率(又叫最概然速率):与分布函数f(v)的极大值相对应的速率极值条件②平均速率大量分子速率的统计平均值3）、理想气体分子的三种统计速率对于连续分布③方均根速率大量分子速率的平方平均值的平方根f(v)v三种统计速率比较：方均根速率最大，最可几速率最小。注意：都与成正比，与或1.三种速率都是统计值，成反比。其大小关系为2.这三种速率，就不同的问题有着各自的应用。讨论

粒子分布情况时就要用到最概然速率；计算分子的平均距离时就要用平均速率；计算分子的平均平动动能时就要用方均根速率。f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2①分子速率与温度关系：麦克斯韦分布曲线的性质温度越高，最概然速率越大②分子速率与质量关系：质量越大，最概然速率越小例1设想有N个气体分子，其速率分布函数为试求:(1)常数A；(2)最可几速率，平均速率和方均根；(3)速率介于0~v0/3之间的分子数；(4)速率介于0~v0/3之间的气体分子的平均速率。解：

(1)气体分子的分布曲线如图由归一化条件最可几速率由决定，即平均速率方均速率方均根速率为(2)(3)速率介于0~v0/3之间的分子数(4)速率介于0~v0/3之间的气体分子平均速率为?注意速率介于v1~v2之间的气体分子的平均速率的计算

例2、某理想气体在温度为T=273K时,压强为p=1.0×10-2atm密度为

=1.24×10-2kg/m3,该气体分子的方均根速率为多少？代入上式，得：解一、玻尔兹曼分布（奥地利物理学家）若气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中气体分子在空间位置不再呈均匀分布气体分子分布规律如何如气体分子处于外力场中，分子能量E=Ep+Ek在麦克斯韦速度分布律中，因子分子动能理想气体分子仅有动能麦克斯韦速度分布可以看作是无外场中分子数按能量的分布§4-4玻尔兹曼分布玻尔兹曼将麦氏分布推广为：

在温度为T的平衡态下，任何系统的微观粒子（经典粒子）按能量分布都与成正比。玻尔兹曼因子经典粒子按能量的分布函数为麦克斯韦—玻尔兹曼分布（M—B分布）C由粒子和外场的性质确定的常数

玻尔兹曼分布律描述的是气体分子（或微观粒子）以能量为随即变量的分布规律。即粒子的运动状态描述采用“相空间”。坐标和速度组成相体积元dw=dvxdvydvzdxdydz相体积元内粒子数为：(玻尔兹曼分布律)能量越低的粒子出现的概率越大，随着能量升高，粒子出现的概率按指数率减小。

外力场中，粒子分布不仅按速率区间v~v+dv分布，还应按位置区间x~x+dx、y~y+dy、z~z+dz分布

实验证明，玻尔兹曼分布律是经典统计的普遍规律，适用于任何经典粒子系统（气、液、固中的分子或原子及布朗粒子等。dN`_______位置区间内的粒子数。+

对速度区间积分可得分布在位置区间的分子数为：单位体积内的分子数--分子数密度势能等于零处的分子数密度得到：

玻尔兹曼分布律描述了气体分子（或微观粒子）数密度按势能的分布规律。把上式中的定积分与常数C的乘积用常数C`表示粒子数按势能分布

若将上式对位置坐标积分也可得到麦克斯韦速率分布率。

按近代理论，粒子所具有的能量在有些情况下只能取一系列分立值E1,E2,…Ei,…EN处于Ei状态的粒子数常数粒子数分布服从玻尔兹曼分布:对于两个任意能级在正常状态下，粒子总是优先占据低能级状态。

氢原子基态能级E1=-13.6eV，第一激发态能级E2=-3.4eV，那么，在室温T=270C时原子处于第一激发态与基态的数目比应该是多少？例如，解：所以，在室温下氢原子几乎都处于基态。二、重力场中粒子按高度的分布由气体状态方程重力场中粒子按高度的分布规律

式中P0为h=0处的大气压强，P为h处的大气压强，m是大气分子质量。大气密度和压强随高度增加按指数规律减小（高空空气稀薄，气压低）两边取对数

测知地面和高空处的压强与温度，可估算所在高空离地面的高度。恒温气压公式

例1、求上升到什么高度时，大气压强减到地面的75%.

设空气的温度恒为00C，空气的摩尔质量0.0289kg/mol。解：由恒温气压公式例2.

飞机起飞前机舱中的压力计指示为1.0atm，温度为27℃；起飞后压力计指示为0.8atm，温度仍为27℃，试计算飞机距地面的高度

h.解：由气体压强随高度变化的规律求得恒压公式：得：§4-7

气体的输运过程

当系统各部分的宏观物理性质如密度、温度或流速不均匀时，系统就处于非平衡态.在不受外界干扰时,系统总是要从非平衡态自发地过渡到平衡态.这种过渡称为输运过程.输运过程有三种：热传导、扩散、内摩擦.如：氮气分子在270C时的平均速率为476m.s-1.矛盾气体分子热运动平均速率高，但气体扩散过程进行得相当慢。气体分子平均速率:一、平均碰撞频率和平均自由程克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。在相同的t时间内，分子由A到B的位移大小比它的路程小得多扩散速率(位移量/时间)平均速率(路程/时间)分子自由程:气体分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。分子碰撞频率:在单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数。

大量分子的分子自由程与每秒碰撞次数服从统计分布规律。可以求出平均自由程和平均碰撞次数。假定每个分子都是有效直径为d的弹性小球。只有某一个分子A以平均速率运动，其余分子都静止。1、平均碰撞次数A

dddvv运动方向上，以d为半径的圆柱体内的分子都将与分子A碰撞球心在圆柱体内的分子一秒钟内:分子A经过路程为相应圆柱体体积为圆柱体内分子数一秒钟内A分子与其它分子发生碰撞的平均次数A

dddvv一切分子都在运动一秒钟内分子A经过路程为一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数平均自由程

平均自由程与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比

当温度恒定时,平均自由程与气体压强成反比2、平均自由程例1计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰撞频率。取分子的有效直径d=3.510-10m。已知空气的平均分子量为29。解：又已知

d=3.510-10m空气摩尔质量为2910-3kg/mol空气分子在标准状态下的平均速率(1)求氮气在标准状态下的平均碰撞频率；

(2)若温度不变，气压降到1.33×10-4Pa，平均碰撞频率又为多少(设分子有效直径10-10m)?(1)碰撞频率公式

例2解：对于理想气体有，即又因为氮气在标准状态下的平均速率若温度不变，气压降到1.33×10-4Pa时同理求得平均碰撞频率：求得氮气在标准状态下的平均碰撞频率：二、三种输运过程*1.内摩擦流体内各部分流动速度不同时,就发生内摩擦现象.相邻流体层之间由于速度不同引起的相互作用力称为内摩擦力,也叫粘滞力.流体沿x方向流速是z的函数流速梯度沿z方向所出现的流速空间变化率。粘滞力的大小与两部分的接触面dS和截面所在处的流速梯度成正比。内摩擦系数或粘度,恒为正值.2.热传导(heatco