双曲线的简单几何性质高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册_第1页
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3.2.2双曲线的简单几何性质1课前预习素养启迪1.双曲线的几何性质F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)|F1F2|=2cx≤-ax≥aRy≤-ay≥aR坐标轴原点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)A1A22aB1B22bab(1,+∞)2.等轴双曲线实轴和虚轴

的双曲线叫做等轴双曲线,它的渐近线方程是

,离心率为e=

.等长y=±x[问题]离心率刻画了双曲线的什么几何特征?答案:离心率刻画了双曲线的“张口”大小.离心率越大,双曲线的“张口”越大,反之亦然.CCAC12课堂探究素养培育双曲线的简单几何性质[例1]求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.(3)由c2=a2+b2求出c值,从而得到双曲线的几何性质.由双曲线的性质求双曲线的方程(3)若双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6,求双曲线方程.(1)由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法,同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤.当双曲线的焦点不明确时,方程可能有两种形式,此时应注意分类讨论,为了避免讨论,也可设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0),从而直接求得.双曲线的离心率角度1求离心率4(3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+q·ac+r·a2=0(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+q·e+r=0求解.角度2求离心率的取值范围直线与双曲线的位置关系[例5]已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;[例5]已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.[针对训练]已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),试在下列条件下讨论实数k的取值范围.(1)直线l与双曲线有两个公共点;[针对训练]已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),试在下列条件下讨论实数k的取值范围.(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点;[针对训练]已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),试在下列条件下讨论实数k的取值范围.(3)直线l与双曲线没有公共点.双曲线方程的各种形式解析:由题意得4-a2=a+2,所以a2+a-2=0,所以a=1或a=-2(舍去).故

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