双曲线及其标准方程 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程1课前预习素养启迪1.双曲线的定义一般地,我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的

等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这

叫做双曲线的焦点,

叫做双曲线的焦距.差的绝对值两个定点两焦点间的距离2.双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程

(a>0,b>0)

(a>0,b>0)焦点坐标

a,b,c的关系c2=

F1(-c,0),F2(c,0)

F1(0,-c),F2(0,c)a2+b2[问题]在双曲线的定义中,(1)若常数=|F1F2|,则点P的轨迹是什么?答案:(1)若常数=|F1F2|,则点P的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线.(2)若常数>|F1F2|或常数为0呢?答案:(2)若常数>|F1F2|,则点P的轨迹不存在;若常数为0,则点P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线.DDAB2课堂探究素养培育求双曲线的标准方程角度1定义法[例1]已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程.(1)用定义法求双曲线方程,应依据条件辨清是双曲线的一支,还是全部曲线.(2)与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解.(3)如果题设条件涉及动点到两定点的距离,求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解.[针对训练]已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程.角度2待定系数法[例2]求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)定位置:根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上,不能确定时应分类讨论.(3)寻关系:根据已知条件列出关于a,b(或m,n)的方程组.(4)得方程:解方程组,将a,b(或m,n)的值代入所设方程即为所求.[针对训练]根据下列条件,求双曲线的标准方程.双曲线标准方程的应用焦点三角形双曲线中的焦点三角形双曲线上的点P与其两个焦点F1,F2连接而成的△PF1F2称为焦点三角形.令|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,因为|F1F2|=2c,所以有(1)定义:|r1-r2|=2a.(1)若∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积;(2)若∠F1PF2=60°,△F1PF2的面积是多少?若∠F1PF2=120°,△F1PF2的面积又是多少?双曲线的实际应用[例5]相距2000m的两个哨所A,B,听到远处传来的炮弹爆炸声.已知当时的声速是330m/s,在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所听到的时间迟4s,试判断爆炸点在什么样的曲线上,并求出曲线的方程.解答实际应用问题时,要注意先将实际问题数学化,条件中有两定点,某点与这两定点的距离存在某种联系,解题时先画出图形,分析其关系,看是否与双曲线的定义有关,再确定解题思路、步骤.[针对训练]A,B,C是我方三个炮兵阵地,A在B正东6km,C在B北偏西30°,相距4km,P为敌炮阵地,某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号,由于B,C两地比A距P地远,因此经过4s后,B,C才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1km/s,若A炮击P地,则炮击的方向角是

(南、北)偏

(东、西)

度.

北