上海市实验学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

上海实验2023学年第二学期高二年级数学期中2024.05一、填空题（本大题满分40分，共有10题．）1．己知直线经过两点，，则它的斜率为________．2．己知椭圆的方程为，则它的焦点坐标为________．3．己知函数，则________．4．已知点在抛物线上，则到的准线的距离为________．5．己知点，，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是________．6．圆在点处的切线方程为________．7．已知点，在直线和上分别有点和，则的周长最小值为________．8．已知实数，满足，则的最大值是________．9．设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为________．10.已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则下列命题正确的是________．（1）的准线为；（2）直线与相切；（3）；（4）．二、选择题（本大题满分16分，共有4题．）11．是直线和直线垂直的（）条件.A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要12．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于，两点，则（）.A． B． C． D．13．已知直线与图，点，则下列说法错误的是（）.A．若点在圆上，则直线与圆相切B．若点在圆内，则直线与圆相离C．若点在圆外，则直线与圆相离D．若点在直线上，则直线与圆相切14．双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（）.A． B．C． D．三、解答题（本大题满分44分，共有4原，解答下列各题必须写出必要的步骤）15．（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）己知圆内一点，过点的直线的倾斜角为，直线交圆于，两点．（1）求当时，弦的长；（2）当弦被点平分时，求直线的方程．16．（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）已知、，若动点满足．（1）求动点的轨迹的方程；（2）若斜率为1的直线与曲线交于，两点，且，求直线的方程．17．（本题满分12分，第1小题4分，第2小题8分）己知为坐标原点，双曲线的焦距为4，且经过点（1）求的方程；（2）若直线与交于，两点，且．（i）设直线的方程为，求证：；（ii）求的取值范围．18．（本题满分12分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分）如图，椭圆的上、下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于、两点，动点、分别在直线与椭圆上．（1）求线段的长；（2）若线段的中点在轴上，求的面积；（3）是否存在以、为邻边的矩形，使得点在椭圆上？若存在，求出所有满足条件的点的纵坐标；若不存在，请说明理由．四、附加题19．（本题共10分，第1小题5分，第2小题5分）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．（1）求的斜率；（2）若，求的面积．20．（本题满分10分，第1小题2分，第2小题8分）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．（1）求的方程；（2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．

参考答案一、填空题1.;2.，;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.（2）（3）（4）；9．设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为________．【答案】【解析】根据题意可得,设,又点在椭圆上,∴椭圆的离心率为.10.已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则下列命题正确的是________．（1）的准线为；（2）直线与相切；（3）；（4）．【答案】（2）（3）（4）；【解析】（1）因为在抛物线上,所以,得:

所以抛物线的准线方程为:,故（1）错误.（2）,所以直线的方程为:由可得,抛物线方程为:联立直线和抛物线方程可得：可得：因为,所以方程有唯一解所以直线与抛物线相切,故（2）正确.

（3）若直线的斜率不存在,则直线的方程为,直线与抛物线只有1个交点,不合题意.所以直线的斜率存在.设直线的方程为:,联立可得:所以故（3）正确（4）故（4）正确.故答案为:（2）（3）（4）.二、选择题11.A12.D13.C14.D13．已知直线与图，点，则下列说法错误的是（）.A．若点在圆上，则直线与圆相切B．若点在圆内，则直线与圆相离C．若点在圆外，则直线与圆相离D．若点在直线上，则直线与圆相切【答案】C【解析】圆心到直线的距离,若点在圆上,则,所以,则直线与圆相切故A正确;若点在圆内,则,所以,则直线与圆相离,故B正确；

若点在圆外,则,所以,则直线与圆相交,故C错误；若点在直线上,则,即，所以直线与圆相切,故D正确，综上故选C.14．双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（）.A． B．C． D．【答案】D【解析】因为过作一条渐近线的垂线,垂足为,则,所以,联立,可得,,即,

因为直线的斜率,整理得,

(1)(2)联立得,,故双曲线方程为.故选：D.三．解答题15.（1）（2）16.（1）（2）17．（本题满分12分，第1小题4分，第2小题8分）己知为坐标原点，双曲线的焦距为4，且经过点（1）求的方程；（2）若直线与交于，两点，且．（i）设直线的方程为，求证：；（ii）求的取值范围．【答案】（1）（2）（i）略（ii）【解析】(1)由题意知,的方程为;

(2)（i）略（ii）当斜率不存在时,设,

由,此时,

当斜率存在时,设方程:,,

联立,消去化简得则,

,即且,

则,即,

又

令,则且,或,-,

令,则在上单调递减,在上单调递增,

则,即,,综上,的取值范围为;18．（本题满分12分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分）如图，椭圆的上、下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于、两点，动点、分别在直线与椭圆上．（1）求线段的长；（2）若线段的中点在轴上，求的面积；（3）是否存在以、为邻边的矩形，使得点在椭圆上？若存在，求出所有满足条件的点的纵坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）存在满足题意的点,其纵坐标为-1或【解析】（1）依题意得:,由轴,得:,代入椭圆方程得：,

所以线段的长为(2)显然,线段的中点在轴上,则,即轴,

所以(3)假设存在以为邻边的矩形,使得点在椭圆上,显然,设,1),,则,

因为四边形是矩形,一定为平行四边