高中数学不等式真题（解析版）

高中数学

专题30不等式真题汇编

1,设实数a满足a<9a3-Ila<|a|.则a的取值范围是.

【答案】ae（一手一手）

【解析】

由a<|a|=a<0.

则由原不等式得：

-1<9a:-11<1=>a2e（渭）.

又a<0,故ae（-雷，一手）.

2.在平面直角坐标系xOy中，点集K=｛（x,y）|（|x|+|3y|-6）-（|3x|+|y|-6）w0｝所对应的平面区域的面

积为.

【答案】24

【解析】

设%=｛（'，y）IR+|3y|-6sO｝・

先考虑点集％在第一象限中的部分，此时，x+3yw6.故这些点对应于图中的△OCD及其内部.

由对称性，知点集对应的区域是图中以原点。为中心的菱形ABCD及其内部.

类似地,设K：=｛（X,y）||3x|+|y|-6<0）.

则点集的对应的区域是图中以0为中心的菱形EFGH及其内部.

由点集K的定义，知K所对应的平面区域是被点集刈、灯中恰一个所覆盖的部分.

因此，本题所要求的即为图中阴影区域的面积S.

由18：X+3y=6,JH：3X+y=6,知两直线的交点为P(：,)

由对称性知IS=85二=8x：x4x：=24.

故答案为：24

3.若实数X、y满足X-4。=2历亏，则x的取值范围是.

【答案】{0}u[4,20]

【解析】

令=a,Jx-y=b(a、b>0))此时，x=y+(x-y)=a2+&-,

且题设等式化为a二+b2-4a=2b.

于是，a.b满足方程(a-2尸+9—1尸=5(*0).

如图，在aOb平面内，点(a,b)的轨迹是以D(L2)为圆心、逐为半径的圆在a、的部分，即点。与弧月CB

并集.

故标与庐e{0}u[2,2、国.

从而，r=n2+fe26{0}u[4,20].

y20

4.在坐标平面上有两个区域M和N,“为,N是随/变化的区域，它由不等式1+l所

y<2-x

确定，/的取值范围是OWfWl,则"和N的公共面积是函数/(/)=.

【解析】由题意知

/(，)-s阴影部分面积

=^AAOB~S^OCD-S,\BEF

.12\2

=1——r——(I-/)

22、7

5.使不等式占+治+一+<7叫对一切正整数〃都成立的最小正整数〃的值为.

【答案】2009

【解析】设/⑺=」一+」一+一+」一.显然/(“)单调递减，则由/(〃)的最大值〃1)<4-20071，可

n+1n+22n+l3

得a=2009.

6.【2018年】设拉是正整数，…,时也也，…也,4B均为正实数,满足％W瓦,。1W4i=L2,…，舞,

H如母…如v二

Q(Q2"'^n'

求证：舞群得端

【答案】证明见解析

【解析】由条件知，刈=221/=12…，几记Z=K,则处二当日巨化为酊k…3VK。

1

O|Aag…0nA--n

要证明「［”.

111=1a.+lA+l

对i=L2,…,n,由于匕21及0<%三4知：

k,a,+L_b『，</：31J4+2

Oi+l!Oj+l_14+14+1,

结合K之七心…心知，为证明①，仅需证明当A>0,尤21。=12时，有口"笺三叱产

②

对〃进行归纳.当片1时，结论显然成立.

当n=2时，由4>O.kL.k2>1可知

治4+工_即.4+工__AI"1-1)(1一二)vQ

4+144-14+1-(4+1)2-

因此〃=2时结论成立。

设"=，〃时结论成立，则当片,“+1时，利用归纳假设知，

kd+工_/1F+v而心…14+:v即刈…

i=l4+1-11L=14+1/4+1-<+14+1-4+1

最n后一步是在③中用〃血…%，治+1(注意的展…L%+aND分别代替心心

从而n=ni+1时结论成立

由数学归纳法可知，②对所有正整数〃成立，故命题得证.

7.设k、m为实数，不等式|小一kx-m|w1M所有的xC[a,b]成立.证明:b—。W2或。

【答案】见解析

【解析】

令f(x)=xz-kx-?n(xe[a,b]),

则f(x)e[-1,1],

于是f(a)=a，-ka-mw1,f(b)=b2-kb-?n<1»

/a+b\/a+b\2a+b

—)=(-I-

故e=/(a)+f(b)-2/(季)<4,

因此，b-a<2在。

8.设/、x2,x?为非负实数，满足/+x；+X?=1.求0cl+3x；：+5猫)&+彳+个)的最小值和最大值。

【答案】最小值为1,最大值为:

【解析】

由柯西不等式得

2

Cq+3x;+54)&+/+卷)2(历历+3仁怎+同腾)=(Xi+如+x3)

=1

当x：=1。二=0/3=0时，上式等号成立，故欲求的最小值为1.

又

(x+3X+5X)式"3%+5》

x23&+畀3)=:

(5xi+空+xj)*6XI+£+6XJ

5x-I(xx+3X2+5X3)+

工焉(64[+6注+64尸

_?

=5

当孙=”==0』=轲，上式等号成立，故欲求的最大值为支

9.设实数4上，a.»・・・，(1McwoAiU6满足9%I>11街(干口▲。、=L，2,・・・,2015).求

(01-ai)(a2-ai)-(a2015-ai016)(a2016-a；)的最大值.

【答案】际

【解析】

fl-aa=a

令P=IIi=i（tF+l）,2017i-

由已知得对i=12…,2015,均有

即一脸上>^a；+「a；+*>0.

若a二”6一珑三0，则PW°・

以下考虑与0”一而>0的情形.

由均值不等式得

P金士袅£：：：%「不）=金（Z=%-£：：%+」

=嘉（21』％一£：：%）=盘翳6砧1-%）

2016.«、,二

=^x2016xi=^P<^.

Zi=2L2J201644420U

当心=0=•••=^^6==时，上述不等式等号成立，且有

9(1,>llaf+1G=1.2,-,2015),此时，P=/.

综上，所求最大值为焉.

10.设册（九之2）的实数.证明：可以选取々，1,…,jW—使得

2

⑵1必产+^=1^0（）<（n+l）（Z"=1af）.

【答案】见解析

【解析】

首先，由。廿的,…,金的对称性，可设42出2…之

此外，若将心,生,…,册中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的(£?=:见尸不减，则问题中的不等式

左边的(£乜)修厂不减，而右边的£：;听不变，并且这一改变不影响％=±1的选取.因此，可进一步设

%>a2>■­>a„>0.

先证明一个引理.

引理设。_>a:>■■■>an>0.则0<Wa..

证明注意到，a(>ai+1(l<ign-1).

于是，当n=2m(meZ+)时，

=[二式出1-即)之0,

n

2(一》飞

m-1

Zfsl\a2i~a2i+i)~anal;

当月=2?n+l(?n6Z+)时，

£：=式-1)16=£二式&[_1一。篦+(!">o,

a

£：=式-1尸田=%-£^i(2i-osi+1)Sax.

回到原题.

由柯西不等式及引理知

n.

(2吟2+[2(—1)1%产

:=1i=i

W"(2：=1a；)+a：<(n+1)(£：=工。；),这就证明/结论.

11.如实数a、b、c满足20+4b=2。，4a+2b=4C,求c的最小值.

【答案】log,3-1

【解析】

将2A2\2c分别记为x、y、z.

则二、y、z>0.

故二+y2=z,x2+y=z2.

nz：—y=x2=(z-y-)2=z2+2y:z+y4.

nz=匕？=-(2y2+-+-).

zy24''yy

当2y;=j,即丫=全时，Zmm=乎.

此时，相应的X而n=f,符合要求.

由于C=log:z.故C的最小值为logK*，=log；3-7.

12.设实数a、b、c满足a+b+c=l,obc>0.证明:时+bc+ca〈等+；.

【答案】见解析

【解析】

若ab+bc+cawt则命题已成立.

4

若ab+bc+ca>上,不妨设a=max{a,b,c}.

4

则由a+b+c=L^lla>j.

故ab+be+ca-j

(a+b+cP11aG

<--------=—<-.①

34124y

注意到，

1

ab+be+ca一二

4

=a(b+c)-1+

=a(l-a)-：+be

三二一士+bc=bc.②

44

当a=］时，式①等号成立，当。==时，式②等号成立.

因此，式①、②中等号不能同时成立.

由于ab+bc+ca-2>0,式①、②相乘得

4

(ab+be+ca-

ab+be+ca--<1ab

4'2e

=»ab+be+ca<2+-4.

13.求证：不等式—1<S善---Inn<-(n=1,2,—)

J=d-+i=

【答案】

【解析】

证明：首先证明一个不等式：

⑴丘<也(1+幻<x,x>0.

事实上，令

h(x)=x-ln(l+x),g(x)=In(l+x)--.

则对x>0.

h'（x）=l一上>°，g'（x）=上一小==>0-

于是

h(x)>ft(0)=0,g(x)>g(0)=0.

在⑴中取x=：得

⑵；n+1<皿1n+：)n<；•

n.

Z—&Tnn,则勺=：,

n1

x-r-=---ln(l+----)

nnxn-+1?t-1

n1

<n1+ln

=_____!____<A

画-1法…

因此Xn</-I<…<Xi=W

又因为

Inn=(Inn-ln(n-1))+(ln(n-1)-ln(n-2))4--+(ln2-Ini)+lnl=Vln(l+=).

*

从而

nn-l

%=2$ln(l+1)

k=lk=l

n-lrt-l

k1nk1

ksiksl

j-1n-1

21

：>-

="Zj(fc+i)fc(k+l)k

k=lk=l

=-l+->-l

n

1.设〃x)=|x+l|+|x|—|x—2],则/■(/(x))+l=O有个不同的解.

【答案】3

【解析】

’—x—3,x<—1

Y_1_1<r<0

因为〃无)二忱+1|+|对_僮-2|=〈，

3%—1,0<x<2

、x+3/x>2

由f(f(乃)+1=。得到f(外=2,或f(x)=0.

由/(彳)二-2,得--个解二=-1；由f(x)=0得两个解t=-3，x=:,共3个解•

2.设函数/'(乃==一2则不等式〃1一/)+/(5%-7)<0的解集为.

【答案】(2,3)

【解析】

因为f(-x)=岑+X=会+X=-/(X),所以f(x)是奇函数。

/,(1-)==--x=(=)*—2*-x,由于y=(Jty=-2x,y=-x都是定义域上的减函数,

所以函数f(x)是R上的减函数，(减函数+减函数=减函数).

由f(l一/)+/(5万-7)<0,得/'(5x-7)<f(x2-1),所以5x-7>/一L即炉-5x+6<0,解之得:

2<x<3.

故答案为：(2.3)

3.若实数4使得不等式仅一23+|2%-团2£12对任意实数》恒成立，则实数a的取值范围是.

【答案】卜g

【解析】

设下履(左£拉)，则|ka-2a|+\2ka-a|>a2,

即对vkwR,恒有

|k-2|+|2k-1|>|a|«|fc-2|+\2k-l|,in>|a|,而|k-2|+\2k-1|^„=所以

|a|<|«ae[-p：].

故答案为：[一；，,

4.已知正整数x,y,z满足xyz=(22-x)(22-y)(22-z),且％+y+z<44,r++z°的最大值和最小

值分别记作M和N,则M+N=.

【答案】926

【解析】

由已知可知xj,z均为小于22的正整数，由题设等式得

2xyz=223-222(x+y+z)+22(xy+yz+zx),

从而ll|xyz,所以x,y,z中至少有一个数等于11.

不妨设x=lL由题设等式得y+z=22,由于y.z都是正整数，又

f=h+?一拼=242+；(y-z)：,

易知，当y=z=ll时，产+z：取最小值242,此时N=1C+242=363.

当|y—z|=|21-1|=20时，y二+z，取最大值，此时M=II：+21:+1?=563.

所以M+N=563+363=926.

5.已知复数z的模为1,则忆一4|二+|2+3"::的最小值为.

【答案】17

【解析】

解：在复平面内,设4(4.0)、B(0.-3),尸为单位圆上的点，

问题转化为求|PA|：+|PB"的最小值,设P(cosa.sina),其中aeR

\PA\2+]PB\2=(cosa-4)2+sin2a+cos3a+(sina+3)2=27+6sina-8cosa

=27+10sin(a+<p)>17

由于aeR,必存在“使sin(a+$)=—1,即等号可以取到.

故答案为：17

6.设n是正整数，当n>100时，，丁+3“+1的小数部分的前两位数是

【答案】49

【解析】

一方面，当n>100时，有

(n+1)~(n2+3n+i)

0<n+—0n=+3n+1=3,,r-—=0.01,

n+；+Vn-+3n+lnn100

所以、年+3舞+1>(n+1)+0.49,

另一方面，7n2+3v+1V九+：=(4+1)+0.5.

故当n>100时，5F+3篦+1的小数部分的前两位数是49.

7.若实数。使得不等式反一2°|+|2%一0|之加对任意实数工恒成立，则实数。的取值范围是

【答案】卜[i]

【解析】

设x=ka(kGR)，则|ka-2a\+\2ka-a|>a2,

即对vkeR,恒有

Ik-2|+\2k-11>|a|«-2|+\2k-l|sin>\a\,而|k一2|+|2k-0而口=：，所以

|a|<f»aG斗

故答案为：目

8.设aeR,若%>0时均有(炉+(1>:-5)(<1%—1)20成立，则&=.

【答案】；

【解析】

当a=0时，显然不能使原不等式对任意的x>0恒成立.因此a工0.注意到y=炉+ax-5的开口向上，所以

必然要求a>0.对于方程K+ax-5=0,设其两根为1工、且x1<0,x:>0,令.由x>0时，原

不等式恒成立，可知4=x?,故卫尹至=；.

解得a=:.

9.若不等式后>”+:(4,b)的解集是(4,b),则实数a=,b=.

【答案】；36

【解析】

解法-：设衣=t,Mr=t=,且te(2.VF),则不等式或：一£+:<0的解集为(2,百)，

所以2、乃是方程。产-1+；=0的两根，即

L1

2+Vb=一,

a

l3

27b=—.

2a

解得a=二,b=36.

9

解法二：设立=y2=ax+；，由不等式、*>ax+；的解集是(4,b),可得两函数%=y2=ax+7

在同一坐标系中的图象.

设两函数图象的交点为A、B,则4(4,2)、B也闹,所以

2=4a+：>、0=ab+:.

解得。=b=36.

9

故答案为：(1)•:(2).36

10.设实数a、b满足不等式||a|-(a+b)|<|a-|a+b||,则a、b的正、负符号分别为.

【答案】a负,b正

【解析】

由已知得

na|-(a+d)]2<(a-|a+d|)3

n屐一21al・(a+b)+(a+b)2<a2-2a|a+b|+(a+b)2

=a二・|a+b|<\a\・(a+&).

由于|x|>无，因此得a<0=>-(-a)­|a+&|<[|a|•(a+b),

约去一a的一|a+b|<a+b.

所以a+b>0=b>—a>0,a为负数且b为正数.

故答案为：a负,b正

11.记“2”表示轮换对称和.设4、氏C为正实数，且满足.对任意整数论2,证明：£儡之廉.

【答案】见解析

【解析】

不妨设内&则'Vb+c>不+b>\la+b,17^=<焉!

由切比雪夫不等式得

J：n=E(Vb+c-；(ZVb+c)(S^=).

又由事平均不等式得

卷‘标三”版b+c)=®.

故根s'序无帚=£帚工售=•二

由已知及均值不等式得£a>3V赤=3.

故

12.证明：sin-+sin->-sin-(neZ).

nnnn+

【答案】见解析

【解析】

原不等式等价于证明：

2sin-+tan->-(neZ).

nnn+T

定义函数

f(x)=2sinx+tanx-3x(0<x<1).

只需证明“%)>()・

显然，f(0)=o,且

f'(x)=2cosx+-——3

cos-x

_:cog-7eg4+1

CO«2X'

定义函数

g(x)=2cos3x-3cos:x+1,

p(0)=0.

则g'(x)=-6cos:x-sinx+6cosx-sinx=6cosx-sinx(l-cosx)>0

=g(x)>0.

于是，ra)>o单调递增.

故f(x)>0,即所证不等式成立

13.证明：对任意实数a、b、c,均有，a=+ab++W：+ac+刀>J3a-+(a+b+c)-,并求等号成

立的充分必要条件.

【答案】见解析

【解析】

设0=((1+，/5)，6=(a+^,yc).

贝ij|a|+161=+ab+b:++ac+c:,

/b+cx23

|a+01=(2a+^r—+-(b+c)2

=J4a=+2a(b+c)+(b+c)。

=j3a2+(a+b+c):.

据三角不等式知

|a|+miN|a+6l,①

即得所要证的不等式.

式①等号成立的充分必要条件为a与。平等且方向相同.

注意到，

a\\^=(a+g)c=(a+g)b

<=>a(b-c)=0.

当a=0时，式①等号成立=be之0.

当b=c时，式①等号恒成立.

综上，式①等号成立的充分必要条件为b=域。=0且儿20.

14.已知£乜1a/(=「，£：/=q，且为>0(i=1,2…n),p、q为常数求的最小值.

【答案】、q

【解析】

设O=2+/a为待定系数).则

Z"=1a^r=£：=〃©+死尸=%汨+2)£匚吗4+W：=My『，①

而£7=1由第=£1=1a,U+yt)=%q+£7=]%%=p,

于是取2=旨则邓.凡乂=0

代入式①得

2a^；=7+Sa'v^7

当且仅当为=y2=•­­=yn=0,即/=x:—,••=xn=A=:时,上式等号成立

故E'aH取得最小值%

15.设/'(X)=W，令％=匕即=:,册+二=f(册)+f(an+J(7i=L2….)，证明：对任何正整数n,有

/(3x2"-1)<a2n</(3x25-二).①

【答案】见解析

【解析】

先用数学归纳法证明：对任何正整数n,有M<册+一

当n=l时，4=：<：=0,命题成立・

当n=2时,a-=-<—=(ij,命题成立.

设n=1.2，.…k(整数k>l)时命题成立.

则n=k+1时，由归纳假设知”一<<ak+1,

由f(x)==1—彳在区间[0,+8)内单调递