高中数学中抽象函数的解法及练习

抽象函数解法

由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号/(X)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地

掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：

一、求表达式：

1.换元法：即用中间变量表示原自变量X的代数式，从而求出/(X),这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的

灵活性及变形能力。

X

例1：己知/(----)=2尤+1,求/(x).

X+1

解：设一^―=〃，则x=—，/(M)=2—+1=---:.f(x)=---

x+11-ui-u1-u1-x

2.凑配法：在已知/(g(x))=/?(x)的条件下，把6(x)拼凑成以g(〃)表示的代数式，再利用代换即可求/(X).此解法简洁，还

能进一步复习代换法。

例2：已知/(XH---)=/----,求/(X)

解：,:/(%+—)=(x+—)(x2-1+—)=(x+—)((x+-)2-3)又:IX+工1=1xlH----->1

XXXXXX1x1

**•fM=-3)=x3-3x,

3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3.已知/(X)二次实函数，且/(工+1)+/0-1)=犬+2%+4,求/(X).

解:设/(工)=。工2+，则+=Q(X+1)2+/X+1)+C+Q(X_1)2+伙工一])+。

2(〃+c)=4

99131o3

=2。犷+2bx4-2(a4-c)=r+2x+4比较系数得<2。=1=>a=—9h=l,c=—/.f(x)=—厂+x+—

2b=2——

4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式.

例4.已知y=/(x)为奇函数，当x>00t,/(x)=lg(x+1)f(x)

解:；/(X)为奇函数，.•・/(X)的定义域关于原点对称，故先求XV。时的表达式0・・,-X>0,・・・/(-x)=lg(—x+l)=lg(l-x),

lg(1+x),x>0

・・・/(元)为奇函数,・・・1§(1一幻=/(一1)=一/(幻・••当XV0时/(元)二一1虱1一元)・・・/(x)=(

[-lg(l-x),x<0

例5.一已知/(X)为偶函数，g(x)为奇函数，且有/(x)+g(x)=------,求/(x),g(x).

x-1

解:〈/(X)为偶函数，g(x)为奇函数，・•・/(t)=/(x),g(r)=-g(x),

不妨用-X代换/(X)+g(x):——........①中的X,

x-1

・•・/(-X)+g(-x)=------7即fM-g(x)=--------……②

-X-1X+1

IX

显见①+②即可消去g(x)，求出函数/(X)==一再代入①求出g(x)=二一

X-1X-1

二、利用函数性质，解/(X)的有关问题

1.判断函数的奇偶性：

例7已知/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),对一切实数x、y都成立，且/(O)w0,求证/(x)为偶函数。

证明：令x=o,则已知等式变为/(y)+/(->)=2/(0/(y)……①

在①中令y=0则2/(0)=2/(0)v〃0)孙••"0)=1•••f(y)+f(-y)=2f(y)/.f(-y)=f(y)f(x)为偶函数。

2.确定参数的取值范围

例8:奇函数/(X)在定义域(-1,1)内递减，求满足了(I—加)+/(1—/)<0的实数机的取值范围。

解：由/(I一〃2)+/(1<0得/(I一①)<一/(1一加2),・.・/(x)为函数,/(I一加)<一］)

-1<1-771<1

又,.•/(X)在(-1,1)内递减，/.<-1</M2-1<1=>0</H<1

\-m>HI2-1

3.解不定式的有关题目

例9：如果/(x)=ax2+法+c对任意的f有/(2+/)=/2—。,比较/(1)、/(2)/(4)的大小

解：对任意f有/(2+f)=/2-f)x=2为抛物线y=ax?+£>x+c的对称轴

又•.•其开口向上/(2)最小，/(1)=/(3；•在［2,+8)上，/(X)为增函数

•••f(3)<f(4),.,.f(2)</(1)</(4)

五类抽象函数解法

1、线性函数型抽象函数

线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。

例1、已知函数/(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=/(x)+/(y),且当x>0时，/(x)>0,/(-1)=-2,求/(x)在区间

［-2,I］上的值域。

分析：由题设可知，函数f(x)是V=尢兀(4*°)的抽象函数，因此求函数f(x)的值域，关键在于研究它的单调性。

解：设勺<对则叼>0,当X>0时,/(X)>0./(X2-Xi)>0

•.•/(4)=7IS-哥)+X」=/(X2-Xi)+/(Xi),

.，心)-/(X1)=/⑴-勺)>0,即〃心)>/U1),.../(%)为增函数。

在条件中，令>=-x,则/>(°)X),再令x=y=o,则/(0)=2/(0),f(0)=0,故f(-x)=f(JC),f(x)

为奇函数，

.../(1)=-y(-1)=2,又-2)=2/(-1)=-4,

：.f(x)的值域为［-4,2］.

例2、已知函数/(x)对任意%丁**，满足条件/(X)+f(y)=2+/(x+y),且当x>0时，/(x)>2,f(3)=5,求不等式

/(a2-2a-2)<3的解。

分析：由题设条件可猜测：/(x)是y=x+2的抽象函数，且/(X)为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数

符号，从而可求得不等式的解。解：设马<勒，则工2F〉0,•当X>0时J(x)>2,F)>2,则

〃心)=/[(x2-xO+Xi]=/(心-X1)+/(m)-2>2+/(X1)-2=/(々)，

即1/(心)>/01),.•/(x)为单调增函数。

..J⑶=/(2+1)="2)+/(1)-2=[/(I)+1A1)-2]+/(1)-2=3/(1)-4(又⑶=5>./(1)=3o

i2

.f(a-2a-2)<f(J)i.a-2a-2<\,即/-2a-3<0,解得不等式的解为-1<”3。

2,指数函数型抽象函数

例3、设函数/(X)的定义域是(-8,+8),满足条件:存在占*与，使导/"”/(修)，对任何彳和/0+丁)

成立。求：

(1)/(0)；(2)对任意值-判断了(X)值的正负。

分析：由题设可猜测/(X)是指数函数丁二°，的抽象函数，从而猜想f(0)=1且/(X)>0o

解：⑴令尸0代入〃x+y)N/(x)'J(»,则〃x)=W(0)...

=°。若/a)=0,则对任意为~2,有=/。2)=°,这与题设矛盾，.♦./(X)却，.•./(0)=1。

(2)令y=9，则，(2x)=/(X)'1/⑶=U(X)]2°,又由⑴知f(x)和，二/⑵)>0,即/■)>0,故对任意x,f

(x)>0恒成立。

例4、是否存在函数/(X),使下列三个条件•：ay(X)>3XWN；②+切=/&>>/(%),a,beN-⑨仁)=4。同时

成立？若存在，求出/(X)的解析式，如不存在，说明理由。

分析：由题设可猜想存在了(')=a”,又由/(2)=4可得a=2.故猜测存在函数/(©=2",用数学归纳法证明如F：

1

⑴旧时，••・/⑵=川+1)=小)/】)=[〃1)]2=4,又。加时，AX)>01,,/(1)=2=2>结论正确。

⑵腮”匕(上21且丘加时/㈤=2\则A-1时，/…7g川)=2、2=2"..1+1时,

结论正确。

综上所述，x为一切自然数时/(X)=2\

3、对数函数型抽象函数

对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。

例5、设八X)是定义在(0,+8)上的单调增函数，满足/3)=1/(%)+/Cx)>fg=1,求：

(2)若f(x)+f(x-8)<2,求X的取值范围。

分析：由题设可猜测/(X)是对数函数丁="g3'的抽象函数，/(1)=0,/(9)=2.

解：(1)V/(3)=/(1X3)=/(1)+/(3)；A/(1)=0O

(2)[⑼=/(3x3)=/(3)+/(3)=2,从而有ya)+/(x-8)<f(9).

即/[x(x-8)”/(9),.../(X)是(0,+8)上的增函数，故

x(x-&49

x>0

J8>°,解之得：8〈忘9。

例6、设函数y=f(公的反函数是y=g(x).如果/(")=/(a)+/(6),那么g(a+b)=g(a)-g(b)是否正确，试说明理

由。

分析：由题设条件可猜测)，=/(x)是对数函数的抽象函数，又♦.4=/'(x)的反函数是y=g(x),：.y=g(x)必为指数函数的抽象函

数，于是猜想g(a+b)=g(a)-g(b)正确。

解：设/(a)=m,f(b)=n,由于g(x)是/(x)的反函数，，g(，")=a,g(n)=b,从而

附+”=1/(a)+1/S)=/(a3)=〃g(M，g5)]....g(m).&⑺=g(机+“)，以a、b分别代替上式中的小”即得g(a

+b)=g(a)-g(b)»

4、三角函数型抽象函数

三角函数型抽象函数即由二角函数抽象而得到的函数。

例7、己知函数/(x)的定义域关于原点对称，且满足以下三条件:

①当勺，句是定义域中的数时，有了(万)一/(勺).

@f(a)=-l(a>0,“是定义域中的一个数)；

③当OVxV2a时，f(x)<0o

试问：的奇偶性如何？说明理由。

(2)在(0,4a)上/(X)的单调性如何？说明理由。

分析：由题设知/(x)是『=-C'gX的抽象函数，从而由y=-C'gX及题设条件猜想：/(%)是奇函数且在(0,4a)上是增函数(这

里把a看成4进行猜想)。

解：(I)V/(x)的定义域关于原点对称，且狗，叼是定义域中的数时有

〃々_崂=△粒&止+1

/(^2)~f(xl)一\X1_X2,_01一心)在定义域中。•・•

力与)力6)+1__〃盯)/勺)+1

/[-(Xj-xa)]=/(x2-%1)-/(%1-X2)

/(再A/5)

.V(%)是奇函数。

(2)设0<3<处<2。，则0<》2—&<2a,\•在(0,2a)±.f(x)<0,

：.f(xt),f(x2),f(x2-xt)均小于零，进而知/(々)-/(孙)中的/。。-/(心)<°,于是f(占)Vf5),.•.在(0,

2a)±/(x)是增函数。

/(<2)=/(2a-<2)=1

又/(a)-」(2a),/⑷-/(2a),.../(2”)=0,设2aVxV4a,则0

V1—2aV2a,

/…)

」(2a)-/(x)-/(x),于是/(X)>0)即在(2，4°)上/(x)>0«设2a〈X|Vx2〈4a,则0〈必一

,…二4红皿里

xt<2a,从而知/5),一应)均大于零。/(X2—X1)VO,/(再)-/(向)，二/。。-/(心)<°,即

/(X1)</(x2),即/(x)在(2a,4a)上也是增函数。综上所述，/(x)在(0,4a)上是增函数。

5、骞函数型抽象函数

黑函数型抽象函数，即由黑函数抽象而得到的函数。

例8、已知函数/(*)对任意实数x、y都有/'(盯)=/(x)-f(>-),且/(T)=1,/(27)=9,当0sxe1时，,0)*[0J)。

(1)判断f(x)的奇偶性；

(2)判断/(X)在[0,+oo)上的单调性，并给出证明；

(3)若a2°且」(a+1)"酒，求”的取值范围。

2

分析：由题设可知/(x)是累函数V=*3的抽象函数，从而可猜想/(%)是偶函数，且在[(),+00)上是增函数。

解：(I)令丫=一1,则/(一x)=/(x)-/(-I),V/(-1)=1,

/(-X)=/(x),/(x)为偶函数。

...o<A<i〃勺)=〃区，叼)=/(%)•八町)

(2)设0"彳1〈马，JX2,X2X2

丁(&)<1

x

时，1/(x)e[O，D,2,.-./(x,)</(x2),故—x)在o,+8)上是增函数。

⑶v/(27)=9,又“3X9)=/(3)x/(9)=/(3)./(3)y(3)=[/(3)]\

-9=[/(3)]3./(3)=V9.J(a+1)4珊J(a+1)"(3)

••，・•，•，••，

...a20,。+1,3匕0,+8)一.尸+1«3,即4<2又aNO,故0WaW2。

抽象函数常见题型解法综述

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类

问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：

一、定义域问题

例1.已知函数/(')的定义域是[1,2],求f(x)的定义域。

解：,(/)的定义域是[1,2],是指2,所以/(一)中的父满足<4

从而函数f(x)的定义域是[1,4]

评析：一般地，已知函数,(。(彷)的定义域是A,求f(x)的定义域问题，相当于已知,(。(»)中x的取值范围为A,据此求0(月的

值域问题。

_/[logl(3-x)]

例2.已知函数/(x)的定义域是.1'2],求函数2的定义域。

解：/(X)的定义域是[-1‘2],意思是凡被f作用的对象都在[一卜2]中，由此可得

-1<log1(3-x)<2=>(―)2<3-x<(―)-1=>1<x<—

2224

力log1(3-切[1,11]

所以函数5的定义域是4

评析：这类问题的一般形式是：已知函数f(x)的定义域是A,求函数,(°(约)的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解

此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知°(力的值域B,且&=月，据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。

二、求值问题

"2)=1"(6)=,②,a))=/W+/Cy),求的)，㈣的值。

例3.已知定义域为尺+的函数f(x),同时满足下列条件：①'

解：取才=2，^=3,得〃6)=〃2)+"3)

"2)=1,/(6)=：1/(3)=--4

因为5,所以5

又取x=>=3

o

/⑵=1,/(6)=:

评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取*=2,y=3,这样便把已知条件5与欲求的f(3)沟通了起

来。赋值法是解此类问题的常用技巧。

三、值域问题

例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y,/0+丁卜/⑶力沙总成立，且存在为二心，使得

求函数,(X)的值域。

解：令xr=0,得〃0)=30『即有"0)=0或40)=1。

若"0)=0,则/a)=/(x+0)=/(x)〃0)=0,对任意xeR均成立，这与存在实数占*与，使得/(々)。/⑴)成

立矛盾，故八°)0°,必有"°)=1。

由于/"+»)=对任意X、yeK均成立，因此，对任意xeR,有

/«=g+/=/(1)/(y)=[/A]2>0

乙乙乙乙乙

下面来证明，对任意xe凡/⑶#0

€

设存在，°”,使得了(而)=°,则〃°)=丽)=/(x0)/(-x0)=0

这与上面己证的/(°)0°矛盾，因此对任意*€乩/⑶

所以J。)>°

评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。

四、解析式问题

X-1

一、/(%)+/(—)=1+%

例5.设对满足XX。，X#1的所有实数X,函数满足X，求f(x)的解析式。

工一1T-1

/«+/(——)=l+x⑴——

解：在X中以x代换其中X,得：

TT-112X—1

/(-)+/(--;)=——(2)

XX-1X

1

再在(1)中以矛一1代换X,得

/df+/S)=Yx-2(3)

x-1x-1

/(x)=

(1)一⑵+⑶化简得:2x(x-l)

x-1

评析：如果把x和X分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，

使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。

五、单调性问题

例6.设f(X)定义于实数集上，当工>0时，且对于任意实数X、y,有/(x+y)=/(X)/3,求证：在R上

为增函数。

证明：在丁(x+，)=/(x)/O)中取x=y=O,^/(0)=[/(0)]2

若/(0)=0,令入>0，y=0,则/(x)=0,与矛盾

所以」(0)0°,即有/(0)=1

当x>0时，/U)>1>0,当x<。时，-X>0,，(-x)>1>0

而/(x)J(T)=/(0)=i

/(%)=—5—>0

所以/(r)

又当工=。时，y(0)=1>o

所以对任意XwR,恒有/(X)>°

设-8<应<x2<400,则为一公>0,f(x2-Xj)>1

所以」(心)=1y[勺+—勒)]=/(X1)/(X2-X。>/(%1)

所以V=在R上为增函数。

评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给

关系式及所求的结果相关联。

六、奇偶性问题

例7.已知函"(X)(X6凡XH°)对任意不等于零的实数补心都有-冷)=/⑻+/02),试判断函数f(x)的奇偶

性。

解：取马=-1，心=1得：/(-1)=/(-1)+/(1),所以/。)=°

又取X】=，2=一1得：/(I)=/(-1)+了(一1),所以」(—1)=0

再取为1=X，X?=—1则/(―x)=/(—1)+/(x),即《/(—幻=/(X)

因为,(X)为非零函数，所以,(X)为偶函数。

七、对称性问题

例8.已知函数y=」(x)满足“X)+/D=2002,求广1(力+广1(2002-X)的值.

解：已知式即在对称关系式“a+x)+/3-x)=2B中取a=0,5=2002,所以函数y=/。)的图象关于点(o,2002)对

称。根据原函数与其反函数的关系，知函数^二,的图象关于点(2002,0)对称。

所以/-1(x+1001)+/T(1001_x)=0

将上式中的x用XT。。1代换,得广匕)+/"(2002-力=0

评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数丁=/(")对一切实数x都满

足/3+芯)+/("；0=2",则函数y=/(x)的图象关于点(a,b)成中心对称图形。

八、网络综合问题

例9.定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m,n,总有/S+*)=/(M/㈤，且当xX)时，0<f(x)<U

(1)判断f(x)的单调性;

(2)设工={(小川|/(冷JC/)>/(i)},

5=((x,y)\f(ax-y+42)=1,aeK},若AI5=0；试确定a的取值范围。

解：(1)在/(冽+%)=./(«)中，令加=1,«=o,得/(D=/(1)/(0),因为/(1)0°,所以/(0)=1

在/("2+%)=/("«)•1/(管)中令那=X,«=-X

因为当时，°</(工)<1

所以当x〈0时一%〉0，0(/(-x)<1

而x)=/(0)=l

/(x)=—^->1>0

所以/(-x)

又当x=0时，〃0)=1>0,所以，综上可知，对于任意xeR,均有了。)>0。

设一8<々<工2<+00,则工2一占>0，0</(^2一占)<1

所以/。2)=/[X1+(X2-&)]=/U1)-/(x2-&)</(Xi)

所以丁=/(X)在R上为减函数。

(2)由于函数y=f(x)在R上为减函数，所以/炉)=/(一+刑⑴

即有‘+y*<i

又/(ax-y+J5)=l=/(0),根据函数的单调性，^ax-y+42=0

_^_>1

由月I3=0,所以直线ax-y+四=0与圆面/+1/<1无公共点。因此有+］,解得一iwawi。

评析：(1)要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f(o)的取值问题，二是f(x)>0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些

要在抽象函数式中进行.由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。

抽象函数专题练习

抽象函数专题复习

1.己知函数y=/W(xSR,#0)对任意的非零实数为，％2,恒有大用乙)=人匹)短工2)，

试判断./(X)的奇偶性。

2已知定义在［—2,2］上的偶函数，/(X)在区间［0,2］上单调递减，若了(1—〃?)勺(〃2),求实数机的取值范围

3.设f(x)是R上的奇函数，且f(x+3)=—f(x),求f(1998)的值。

4.设函数f(x)对任意.,超e0,1都有f(匹+X2)=f(x,)-/(x2),已知1

f(1)=2,求f(3，/(：)；

5.已知f(x)是定义在R上的函数，且满足：f(x+2)［1—f(x)］=1+

f(x),f(1)=1997,求f(2001)的值。

6.设f(x)是定义R在上的函数，对任意x,ySR,有f(x+y)+f(x—y)=2f(x)f(y)且f(0)和.

(1)求证f(0)=1；

(2)求证：y=f(x)为偶函数.

7.已知定义在R上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为(2,6),试翔ff(4,8)是y=f(2—x)的递增区间还是递减区

间？

8.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a,b,当a+b#),都有>0

a+b

(1).若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小；

(2).若£&3)+/(3'_9*_2)<0对*£［-1，1］恒成立，求实数k的取值范围。

9已知函数J(x)是定义在(一8,3］上的减函数,已知/'(十一sin尤)Vf(a+l+cos2x)对xeR恒成立,求实数a的

取值范围。

10.已知函数/(x),当x,yeR时,恒有/(x+y)=/(x)+/(y).

(1)求证：/(x)是奇函数；

⑵若/(-3)=。,试用表示/(24).

11.已知/(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a,heR,都满足：/(«•b)=af(h)+hf(a)■

⑴求/(0)J⑴的值；

(2)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论；

⑶若/⑵=2,%=)(〃e%*)，求数列｛un｝的前n项和%.

n

12.已知定义域为R的函数/(x)满足/(/(x)-x2+x))=/(x)-x2+x.

⑴若八2)=3,求1m/(0)=a,/(a)；

(2)设有且仅有一个实数%,使得/(为)=%,求函数/(万)的解析表达式.

13.已知函数/(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m+〃)=/(〃?)+/(〃)+；,且f(~)=0,当x>g时，

fM>o.

⑴求了⑴；

⑵求和〃1)+/(2)+/(3)+.•.+/(〃)(〃GN*)；

14.已知函数y(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m+〃)=f(jn)・f(n)，且当x>0时,0<f(x)<1-

⑴证明：/(0)=1,且时;0(x)〉l;

(2)证明：/(x)在R上单调递减；

闭设人=｛(%,〉)|/(/)・/()；2)>八1)｝出=｛(乂),)|/(公一>+2)=1,4€火｝,若4口8=0),试确定4的取值范围

15.已知函数f(x)对任意实数x,乃均有/(x+y)=f3+f(y),且当x>0时，f(x)>0,f(-1)=-2,

求/(x)在区间［-2,1］上的值域。

16.已知函数/(x)对任意冗丁6五，满足条件/(x)+/(y)=2+/(x+y),且当x>0时，f(x)>2,/(3)=

5,求不等式/(。2_2a_2)<3的解。

17、设函数y=/Q)的定义域为全体R,当x<0时，且对任意的实数x,yGR,有了(X+y)=

小)_1

成立，数列｛外｝满足=,且一"-%)(neN*)

2%+1，

(I)求证：y=/Q)是R上的减函数；

(II)求数列的通项公式；

k1人*

(IH)若不等式————;--——【床_■Mo对一切neN*均成立,求k的

(1+的)(1+%).(1+%)侬+71

最大值.

18、设函数y(x)满足/(0)=1,且对任意都有

(I)求的解析式；

(H)若数列｛%)满足：%+1=3/(%)-1(„ey),且为=1,求数列｛%｝的通项；

3(1

(III)求证：-<1+—i—<2,(«e7T).

19、若数列｛%｝满足-播=£其中d为常数，则称数列｛%｝为等方差数歹ij.已知等方差数列｛4｝满足%>0,

以1=1,以5=3.

(I)求数列｛%｝的通项公式；

f21」

(II)求数列J««(-)\的前当项和

答案：

1.解：令丫=—1>Y=X,得/(一X)=f(—1)+/(X)..①为了求/(—1)的值，令丫=1,=—1,贝IJA—1)=

川)战一I)，即川)=0,再令x=x,=-1得川)=犬一1)M—D=纨一I)1)=0代入①式得

A—X)=/a),可得大月是一■个偶函数。

2.分析：根据函数的定义域，一加，皿6［-2,2］,但是1—加和机分别在［—2,0］和［0,2］的哪个区间内呢？如果就

此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则/⑴有性质/J)=/。)=/(山)，就可避免一场大规模讨论。

解：・・・/a)是偶函数，川―加)4⑼可得〃卜冷＜外〃力，・••於)在。4上是单调递减的，于是

|1-m|>|m|

<0<|1-AH|<2

0<\m\<2

即r22化简得一Wmv10

\-2m-\-m>m—

--2<\-m<22

-2<m<2

3.解：因为f(x+3)=—f(x),所以f(x+6)=f((x+3)+3)=—f(x+3)=f(x),故6是函数f(x)的一个周期。又f(x)是奇函

数，且在x=0处有定义，所以f(x)=O从而f(1998)=f(6x333)=f(O)=O。

・解：山"七+/尸%"区)'…陷知⑺="沙蕾°'

4xfXe[0，l]

•••川)=f[/(1)]2，f(1)=2,

i1同理可得11

=22./(一)=2」

5.解：从自变量值2001和1进行比较及根据已知条件来看，易联想到函数f(x)是周期函数。由条件得f(x)

故

f(x+2)f(x+4)=,]+〃x)所以f(x+8)=

l+/(x)1+—1_

二__1_=/(x)

1-/W/(x+4)

|_l+/(x)/(x)

1-/W

所以f(x)是以8为周期的周期函数，

从而f(2001)=f(1)=1997

说明：这类问题出现应紧扣己知条件，需用数值或变量来迭代变换，经过有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代

过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。

6.硼：(1)问题为求函数值，只需令x=y=O即可得。

(2)问题中令x=0即得f(y)+f(―y)=2f(0)f(y),

且f(0)=1.所以f(y)+f(—y)=2f(y),因此y=f(x)为偶函数.

说明：这类问题应抓住f(x)与f(―x)的关系，通过已知条件中等式进行变量赋值。

7.解：由y=f(x)是偶函数且在(2,6)上递增可知，y=f(x)在(-6,-2)上递减。令u=2—x,则当xd(4,8)时，

U是减函数且ue(—6,—2),而f(u)在(-6,—2)上递减，故y=f(2—x)在(4,8).■增。所以(4,8)是y=f(2—x)

的单调递增区间。

8.解：(1).因为a>b,所以a—b>0,由题意得

/(“)+/(〃)>0,所以f(a)+f(―b)>0,又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(―b)=—f(b),f(a)

a-b

-f(b)>0,即f(a)>f(b)

(2).由(1)知f(x)在R上是单调递增函数，又f(h3、)+f(3'—9、—2)〈仇得f(—3')<f(9'-3,+2”

故-3'+2,所以k<?

3V+——1

3'

令t=ri，所以kVt+2，而1+2之2拒，即kV25T

3£匕,3]7—I—7

3tt

9.解:/(/—sinjOW/g+l+cos。)"仇」

=

/-sinxK3/-3<sinx。2一34-1

(2+1+COS2X<3=><a-2<-cos2x"2W0

2〃2a>c+x

a—sinxN+1+cosx-a-\osxsma2-a-\>-

4

—5/2<Q<>/2I--

aw2=-亚匕产

a<------或Q>-------

22

10.(1)证明:令.=一/，f(x-x)=/(x)+f(-x)=>/(x)+/(-x)=/(0)

令x=y=0,贝。(0)=2/(0)="0)=0

二f(x)+f(-x)=0/(-x)=-/(x)A/(x)是奇函数。

(2)•••/(24)=”3)+/(21)=2/⑶+/(18)=...=8〃3)

又•；/(—3)=an/(3)=-an/(24)=一8a

11.(1)解：令a=/,=o，则/(0)=o

令a=b=l，则/(I)=2/(1)n/(I)=0

⑵证明:令a=b=-l，则/⑴=2/(-1)，⑴=0—,•/(-1)=0

令a==-1，则f(-x)=xf(-l)-f(x)=-f(x)

•,*/(x)是奇函数。

9

⑶当abwO时，f(a・b)f(b)f(a)'令x_fM则g(a・6)=g(a)+g(b)

-----;—=~;—+------g⑴=------

abbax

故g(a")=〃如)'所以>(a")=a"•g(a")=〃a"g(a)="a"T'(a)

•i<iAi

/(2)=2J⑴=/(2・R=2/孑+弓/(2)=0

乙\^乙)乙

'({IT⑵=4'故〃”+》呼…*)

12.解:⑴：对任意xeR，函数/(x)满足/(/a)-/+幻)=/(幻-丁+x，且/⑵=2

二/(/⑵-22+2)=/⑵-22+2,则/⑴=1

：/(0)=a，/(/(0)—02+0)=/⑼_()2+0="3+0=f(a)=a

(2)•.•对任意xeR，函数/(X)满足了(〃功_段+初=/(工)_炉+工,有且仅有一个实数汇使得/a。)」。

2

对任意xw/?'^/(x)-x+x=x0

上式中,令x=x(/则/■(龙0)-疗+寸/

./(Xo)=Xo，故/_。2=0=/=0或/=］

若尤。=0,则/⑺-八.。，则/⑺力一，但雄/7=X有两个不相同的实根与题设茅盾，故守0

若拓=1，则/(劝_/+彳=［，则/(了)=*2_》+1，此时方程/-x+l=X=>(x-l)2=0有两个相等的头根，

即有且仅有一个实数小,使得/(%)=/

一fM=X2-x+l(xG/?)

13.(1)解：令］，则11111

“=〃=5占+5)=2占)+『/⑴=5

⑵1111

/(l)=-,/(«+l)=/(l)+/(n)+-=-+/(n)+-=/(«)+l

二数列｛/(〃)｝是以।为首项』为公差的等差数列，故

2

/(D+/(2)+f(3)+...f(n)=nn(n-l)=n2

+---1-----------------=---

222

(3)任取x,马€R,<x2，则

f(x2)-f(xi)=f[(x2-xl)+xi]-f(xi)=f(x2-xl)+f(xl)+--f(xl)=f(x2-xl)+^

f（x2-xi+^）＞0

二/区）＜/（々）

...函数/（X）是R上的单调增函数.

14、.⑴证明:令加=0,"=1,则f(0+1)=/(0)./(1)

'••当x>0时，0</(X)<1，故/⑴>0，•'•/(0)=1，•••当x>0时，0</(x)<1

二当X<0时，一X〉0，则