高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）专题研究二数列的综合应用(原卷版+解析)

专题研究二数列的综合应用编写：廖云波题型一等差、等比的综合应用【例1-1】已知集合，，将中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列，设数列的前n项和为．（1）若，求m的值；（2）求的值．归纳总结：【练习1-1】已知等差数列公差分别为，(1)求数列的通项公式；(2)求中既在数列中，又在数列中的所有数之和.题型二数列与不等式【例2-1】已知首项为1的数列的前n项和为，且，数列的前n项和为，若，且，则___________.【例2-2】已知数列的前n项和为，且，.（1）求的通项公式；（2）设若，恒成立，求实数的取值范围.归纳总结：题型三放缩法求数列和的范围【例3-1】正项数列的前n项和为，，，则______．其中表示不超过x的最大整数．【例3-2】已知数列的前项和为，且满足，(1)求和(2)求证：．归纳总结：【练习3-1】已知正项数列的前项和为，满足．(1)求数列的前项和；(2)记，证明：．题型四数列与函数【例4-1】已知函数.证明：(1)当，不等式恒成立；(2)对于任意正整数，不等式恒成立（其中为自然常数）归纳总结：【练习4-1】已知函数.（1）证明：时，；（2）证明：.题型五数列的实际应用【例5-1】小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是___________元.【例5-2】某牧场2022年年初牛的存栏数为1200，计划以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出100头牛，按照该计划预计______年初的存栏量首次超过8900头.（参考数据：，）归纳总结：【练习5-1】为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（

）（取，）A．32500元 B．40000元 C．42500元 D．50000元【请完成课时作业（四十一）】

【课时作业（四十一）】1．一种预防新冠病毒的疫苗计划投产两月后，使成本降64%，那么平均每月应降低成本（

）A．20% B．32% C．40% D．50%2．用分期付款的方式购买一件电器，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元及欠款的利息，月利率为1%，则买这件电器实际花（

）．A．1105元 B．1255元 C．1305元 D．1405元3．形如的数被称为费马数，费马完成了,,,,的验证后，于1640年提出猜想：费马数都是质数，但由于及之后的费马数都实在太大了，费马也未能完成验证及证明.直到1732年才被数学家欧拉算出不是质数，从而宣告了费马数的猜想不成立.现设，若任意，使不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A．(1,+∞) B． C．(,+∞) D．4．正项数列的前n项和为，，则（

）其中表示不超过x的最大整数.A．18 B．17 C．19 D．205．【多选题】在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．初始感染者传染个人为第一轮传染，第一轮被传染的个人每人再传染个人为第二轮传染，…．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，初始感染者为1人，则（

）A．第三轮被传染人数为16人 B．前三轮被传染人数累计为80人C．每一轮被传染的人数组成一个等比数列 D．被传染人数累计达到1000人大约需要35天6．【多选题】已知数列满足，，前n项和为，则（

）A． B． C． D．7．等差数列{an}的公差d≠0满足成等比数列，若=1，Sn是{}的前n项和，则的最小值为．8．已知等差数列满足，且前四项和为28，数列的前项和满足.(1)求数列的通项公式，并判断是否为等比数列；(2)对于集合A，B，定义集合.若，设数列和中的所有项分别构成集合A，B，将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前30项和.9．已知数列中，，.(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；(2)若不等式对于恒成立，求实数的最小值.10．已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前n项和，且满足，，数列的前n项和为.（1）求数列的通项公式及数列的前n项和.（2）是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由.11．数列是首项为1，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）证明：.12．已知函数.（1）若，求a的值；（2）证明：.专题研究二数列的综合应用编写：廖云波题型一等差、等比的综合应用【例1-1】已知集合，，将中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列，设数列的前n项和为．（1）若，求m的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）2282.【解析】（1）由，则数列中前m项中含有A中的元素为2，4，6，…，26，共有13项，有B中的元素为3，9，27，共有3项，从而得出答案.（2）根据题意可得数列中前50项中含有B中的元素为3，9，27，81共有4项，数列中前50项中含有A中的元素为，共有46项，分组可求和.【详解】解：（1）因为，所以数列中前m项中含有A中的元素为2，4，6，…，26，共有13项，数列中前m项中含有B中的元素为3，9，27，共有3项，所以．（2）因为，，所以数列中前50项中含有B中的元素为3，9，27，81共有4项所以数列中前50项中含有A中的元素为，共有46项，所以．归纳总结：【练习1-1】已知等差数列公差分别为，(1)求数列的通项公式；(2)求中既在数列中，又在数列中的所有数之和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用已知求出，，再利用等差数列的通项即得解；（2）设，得到，设是由数列的公共项组成的数列，则为首项为3，公差为12的等差数列，即得解.（1）解：由，可得，联立，可得①，令，可得，与联立，可得，与联立得②.由①②得：.（2）解：设，则，得，由，可得，所以，即，设是由数列的公共项组成的数列，则为首项为3，公差为12的等差数列，且.在中有，所以的前8项和为.题型二数列与不等式【例2-1】已知首项为1的数列的前n项和为，且，数列的前n项和为，若，且，则___________.【答案】0【分析】先由得到，利用与的关系证明是等差数列，进而求出、，再利用裂项抵消法求出，再分为奇数、偶数利用放缩法进行求解.【详解】由，得，即，当时，，；可知当时，，，两式相减整理，得，所以是以1为首项，0为公差的等差数列，所以，，所以，所以，等价于；当n是正奇数时，，因为，所以；当n是正偶数时，，因为，所以；综上所述，的取值范围为，则整数的值为0.故答案为：0.【例2-2】已知数列的前n项和为，且，.（1）求的通项公式；（2）设若，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由递推关系化简求得数列通项公式.（2）先用错位相减法求得bn的通项公式，然后求最大值，即可求得参数的取值范围.【详解】（1）由，则数列是以为首项，为公比的等比数列，则.（2）由（1）知，①，两边同乘得，②，①-②得，，故，，取，当时，恒成立，则恒成立，即数列从第二项开始是单减的，又，故数列的最大项为，若恒成立，则.归纳总结：【练习2-1】题型三放缩法求数列和的范围【例3-1】正项数列的前n项和为，，，则______．其中表示不超过x的最大整数．【答案】16【分析】先依据题给条件求得的表达式，再利用放缩法得到，进而求得的值.【详解】当时，由，可得即，则，又则数列是首项为1公差为1的等差数列，，又数列为正项数列，则由，得当时，令，则则16故答案为：16【例3-2】已知数列的前项和为，且满足，(1)求和(2)求证：．【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）利用可得，从而可求及.（2）利用放缩法及裂项相消法可证不等式成立.（1）时，，时，，所以，所以数列是以为首项，公差为的等差数列．所以，即，当时，，当时，，不满足上式，所以，（2）当时，，原式成立．当时，所以．归纳总结：【练习3-1】已知正项数列的前项和为，满足．(1)求数列的前项和；(2)记，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据，整理后，根据等差数列的性质可知是首项为1，公差为1的等差数列（2）先对进行放缩，然后利用分母有理化进行裂项后求和.(1)解：由题意得：等式两边同乘，得整理得，由，得，即是首项为1，公差为1的等差数列∴，；(2)，∴，，∴，综上可证：．题型四数列与函数【例4-1】已知函数.证明：(1)当，不等式恒成立；(2)对于任意正整数，不等式恒成立（其中为自然常数）【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）要证不等式成立，即证恒成立，令，利用导数判断单调性求出最值可得答案；（2）由（1）知，令则转化为，利用放缩法和等比数列求和可得答案.(1)要证不等式成立，即证恒成立，，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，，所以恒成立.(2)由（1）知，令则，所以，即归纳总结：【练习4-1】已知函数.（1）证明：时，；（2）证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由，即在定义域内为增函数，即可证明结论.（2）根据（1）结论，令可得，将所得的n个式子相加，结合对数运算性质、放缩法即可证不等式.【详解】（1）时，，故为增函数，；（2）由（1）知：，令时，有，故，，…，，将式相加得：，∴.题型五数列的实际应用【例5-1】小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是___________元.【答案】6250【分析】根据等额本息还款法，列出方程，利用等比数列前项和即可求解.【详解】设每年还款的金额为，由题意可知：，所以故答案为：6250【例5-2】某牧场2022年年初牛的存栏数为1200，计划以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出100头牛，按照该计划预计______年初的存栏量首次超过8900头.（参考数据：，）【答案】2036【分析】可以利用“每年存栏数的增长率为”和“每年年底卖出100头”建立相邻两年的关系，用待定系数法构造等比数列，求出通项公式即可求解.【详解】设牧场从2022年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…，，…，其中，由题意得，并且，设，则，则0.2x＝100，则x＝500，∴，即数列{}是首项为，公比为1.2的等比数列，则，则，令，则，即，即，所以，因此.2022+14=2036年年初存栏数首次突破8900，故答案为：2036归纳总结：【练习5-1】为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（

）（取，）A．32500元 B．40000元 C．42500元 D．50000元【答案】B【分析】设摊主6月底手中现款为，n月月底摊主手中的现款为，n+1月月底摊主手中的现款为，则可得二者之间的关系，构造新数列成等比数列，求解，即可得到答案．【详解】设，从6月份起每月底用于下月进货的资金依次记为，，…，，，同理可得，所以，而，所以数列是等比数列，公比为1.2，所以，，∴总利润为，故选:B．【请完成课时作业（四十一）】

【课时作业（四十一）】一、单选题1．一种预防新冠病毒的疫苗计划投产两月后，使成本降64%，那么平均每月应降低成本（

）A．20% B．32% C．40% D．50%【答案】C【分析】设成本为，平均每月应降低成本，根据题意得解方程可得答案.【详解】设成本为，平均每月应降低成本，所以，解得，平均每月应降低成本.故选：C.2．用分期付款的方式购买一件电器，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元及欠款的利息，月利率为1%，则买这件电器实际花（

）．A．1105元 B．1255元 C．1305元 D．1405元【答案】B【分析】设每月付款数构成数列，计算出，从而得数列是以为首项，为公差的等差数列，利用求和公式计算，即可得答案.【详解】购买时付150元，欠1000元，每月付50元，分20次付清．设每月付款数构成数列，则，，，…∴，∴是以为首项，为公差的等差数列，∴，∴买这件电器实际花元．故选：B3．形如的数被称为费马数，费马完成了,,,,的验证后，于1640年提出猜想：费马数都是质数，但由于及之后的费马数都实在太大了，费马也未能完成验证及证明.直到1732年才被数学家欧拉算出不是质数，从而宣告了费马数的猜想不成立.现设，若任意，使不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A．(1,+∞) B． C．(,+∞) D．【答案】B【分析】由题知，，进而根据裂项求和得，进而根据不等式恒成立即可得答案.【详解】解：因为，，所以，所以，所以，因为，，所以所以，对任意，使不等式恒成立，则.所以，实数的取值范围是.故选：B4．正项数列的前n项和为，，则（

）其中表示不超过x的最大整数.A．18 B．17 C．19 D．20【答案】A【分析】讨论、，根据关系可得且，应用等差数列通项公式求得，利用放缩法有，注意不等式右侧，进而根据的定义求目标式的值.【详解】当时，，整理得，又，故，当时，，可得，而，所以是首项、公差均为1的等差数列，则，又，故，由，即，同理可得且，，，综上，.故选：A【点睛】关键点点睛：首先利用关系及构造法求通项公式，再由放缩法及函数新定义求目标式的值.二、多选题5．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．初始感染者传染个人为第一轮传染，第一轮被传染的个人每人再传染个人为第二轮传染，…．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，初始感染者为1人，则（

）A．第三轮被传染人数为16人 B．前三轮被传染人数累计为80人C．每一轮被传染的人数组成一个等比数列 D．被传染人数累计达到1000人大约需要35天【答案】CD【分析】根据已知条件，可转化为等比数列问题，结合等比数列前项和公式，即可求解．【详解】由题意，设第轮感染的人数为，则数列是首项，公比的等比数列，故C正确；所以，当时，，故A错误；前三轮被传染人数累计为，故B错误；当时，，当时，由，故D正确.故选：CD6．已知数列满足，，前n项和为，则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根据首项判断A，由递推关系式可推出数列为递减数列，据此放缩后可判断D，再由放缩可得，据此可判断BC.【详解】由知，A错；∵，，∴，，∴，时，；时，，D对；，∴，∴，∴，∴，∴；，∴，∴，∴，∴时，，，B对．，C对．故选：BCD三、填空题7．等差数列{an}的公差d≠0满足成等比数列，若=1，Sn是{}的前n项和，则的最小值为________．【答案】4【分析】成等比数列，=1，可得：=，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d．可得an，Sn．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【详解】∵成等比数列，a1=1，∴=，∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d=2．∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．Sn=n+×2=n2．∴==n+1+﹣2≥2﹣2=4，当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故答案为4．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.四、解答题8．已知等差数列满足，且前四项和为28，数列的前项和满足.(1)求数列的通项公式，并判断是否为等比数列；(2)对于集合A，B，定义集合.若，设数列和中的所有项分别构成集合A，B，将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前30项和.【答案】(1)，判断答案见解析(2)1926【分析】（1）根据等数列的前n项和公式和通项公式可求出的通项公式，根据等比数列的定义可判断是否为等比数列；（2）结合等差数列的前n项和，等差数列与等比数列的通项公式可求出结果.(1)∵是等差数列，，且前四项和为28，∴，解得∴.∵，∴当时，，两式相减得，即，又∴∴当时，数列的通项公式为.不是等比数列当时，数列是首项为，公比为3的等比数列，∴.(2)由（1）知，则因为，所以，所以，中要去掉的项最多4项，即3,9,27,81，其中9,81是和的公共项，所以数列的前30项和由的前32项和，去掉9,81，所以数列的前30项和为1926.9．已知数列中，，.(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；(2)若不等式对于恒成立，求实数的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）由条件可得出从而可证，从而可得出的通项公式.(2)将（1）中的代入即得对于恒成立，设，分析出其单调性，得出其最大项，即可得出答案.(1)由，可得，即所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以(2)不等式对于恒成立即对于恒成立即对于恒成立设，由当时，，即即当时，，即即所以最大，所以，故的最小值为10．已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前n项和，且满足，，数列的前n项和为.（1）求数列的通