高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第1课时数列的概念及简单表示(原卷版+解析)

第六章数列第1课时数列的概念及简单表示编写：廖云波【回归教材】1.数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列着的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{an}的第n项an通项公式数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和2.数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法3.an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))4.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1>an其中n∈N*递减数列an＋1<an【典例讲练】题型一归纳通项公式【例1-1】写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，，，；(2)，，，；(3)11，101，1001，10001；(4)，，，．【例1-2】观察下列图形中小正方形的个数，则第10个图中小正方形的个数为____________.归纳总结：【练习1-1】写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，(2)，2，，8；(3)9，99，999，9999.【练习1-2】“一朵雪花”是2022年北京冬奥会开幕式贯穿始终的一个设计理念，每片“雪花”均以中国结为基础造型构造而成，每一朵雪花都闪耀着奥运精神，理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1901年研究的一种分形曲线，如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分划向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程.若第一个正三角形（图①）的边长为1，则第5个图形的周长为___________.题型二由与的关系求通项公式【例2-1】已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______．【例2-2】已知数列，满足，则_______.【例2-3】若数列{}的前n项和为＝，=（

）A． B． C． D．归纳总结：【练习2-1】已知数列的前n项和，则的通项公式为______.【练习2-2】已知数列满足：，，则______【练习2-3】记数列的前项和为，若，（为正整数），则数列的通项公式为________．题型三由数列的递推关系求通项公式【例3-1】已知，，求通项________.【例3-2】数列满足：，，则数列的通项________________.【例3-3】已知数列满足，且，则数列__________【例3-4】设数列满足，且，则数列的通项公式为___________.归纳总结：【练习3-1】已知数列中，，，则通项公式____________．【练习3-2】已知数列的各项均为正数，，，则______．【练习3-3】已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．题型四数列的函数性质【例4-1】设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【例4-2】在数列中，，则数列中的最大项的________.【例4-3】已知数列满足，若，恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．归纳总结：【练习4-1】设数列的前项和为，，若为严格增数列，则实数的取值范围为___________.【练习4-2】已知函数，若数列满足（）且是递增数列，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【练习4-3】已知数列的通项公式为，，，则该数列是否有最大项？若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．【完成课时作业（三十七）】

【课时作业（三十七）】A组础题巩固1．已知数列{an}的前四项为1，0，1，0，则下列可作为数列{an}的通项公式的有（

）①an＝[1＋(－1)n＋1]；②an＝[1＋(－1)n＋1]＋(n－1)(n－2)；③an＝sin2；④an＝；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．记数列的前项和为，且，则（

）A． B． C． D．3．在数列中，，则的值为（

）A． B．5 C． D．4．已知数列的前项和为，则（

）A． B． C． D．5．【多选题】已知数列的通项公式为，则（

）A． B． C． D．6．【多选题】下列是递增数列的是（

）A． B． C． D．7．若数列满足：，则第三项_______，它的通项公式_______．8．记数列的前项和为，若，则使得取得最小值时的值为________.9．已知数列满足若数列为递增数列，则实数a的取值范围为___________.10．已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式___________.11．已知正项数列的前项和为，满足.求数列的通项公式；

12．已知数列的前n项和为，且，，．(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式；B组挑战自我1．数列满足，且，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．【多选题】甲､乙两人拿两颗质地均匀的骰子做抛掷游戏.规则如下：由一人同时掷两颗骰子，观察两颗骰子向上的点数之和，若两颗骰子的点数之和为两位数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是两位数，就由对方接着掷.第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为，则（

）A． B． C． D．3．已知数列，满足，，，则___________.4．已知数列满足，则中的最小项的值为__________.第六章数列第1课时数列的概念及简单表示编写：廖云波【回归教材】1.数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列着的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{an}的第n项an通项公式数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和2.数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法3.an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))4.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1>an其中n∈N*递减数列an＋1<an【典例讲练】题型一归纳通项公式【例1-1】写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，，，；(2)，，，；(3)11，101，1001，10001；(4)，，，．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1），观察分子分母与项数的关系可得；（2）观察分子分母与项数的关系可得；（3）观察0的个数与项数的关系可得；（4）观察分子分母与项数的关系同时注意正负号的规律即可得；(1)由题意分子是从1开始的奇数，分母是项的平方，；(2)由题意分子是从2开始的偶数，分母是分子加1、减1所得两数之积，;(3)由题意各项减1后是10的幂，；(4)由题意，奇数项为正，偶数项为负，分子是项数乘以2，分母是3的幂，【例1-2】观察下列图形中小正方形的个数，则第10个图中小正方形的个数为____________.【答案】66【分析】由题图规律写出前5个图正方形个数，可得，应用累加法、等差数列前n项和公式求，即可得结果.【详解】由图知：各图对应正方形个数为所以，故，则，所以.故答案为：66归纳总结：【练习1-1】写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，(2)，2，，8；(3)9，99，999，9999.【答案】(1)an＝，n∈N*.(2)(3)an＝10n－1，n∈N*【分析】（1）先分析符号规律，再根据分子分母规律求解；（2）根据分子分母规律求解；（3）各项加1，即可发现规律求解.(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*.(2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：…，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*.(3)各项加1后，变为10，100，1000，10000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*.【练习1-2】“一朵雪花”是2022年北京冬奥会开幕式贯穿始终的一个设计理念，每片“雪花”均以中国结为基础造型构造而成，每一朵雪花都闪耀着奥运精神，理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1901年研究的一种分形曲线，如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分划向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程.若第一个正三角形（图①）的边长为1，则第5个图形的周长为___________.【答案】【分析】观察“雪花”图形可得其周长之间的关系为，根据等比数列的定义可知{}是公比为、首项为的等比数列，求得，即可求出.【详解】由题意知下一个图形的边长是上一个图形边长的，边数是上一个图形的4倍，则周长之间的关系为，所以{}是公比为的等比数列，而首项，所以，当时，“雪花”状多边形的周长为.故答案为：题型二由与的关系求通项公式【例2-1】已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______．【答案】【分析】利用与关系即得.【详解】因为，当时，，当时，，所以．故答案为：．【例2-2】已知数列，满足，则_______.【答案】【分析】类比于求解．【详解】由题意，，两式相减得，．故答案为：．【例2-3】若数列{}的前n项和为＝，=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件，利用与的关系求得数列的通项公式，利用等比数列前项和公式求解即可.【详解】解：当时，，解得，当时，，即，∴是首项为1，公比为-2的等比数列，∴，所以.故选：B.归纳总结：【练习2-1】已知数列的前n项和，则的通项公式为______.【答案】【分析】根据作差计算可得；【详解】解：因为①，当时，当时②，①②得，经检验当时不成立，所以.故答案为：【练习2-2】已知数列满足：，，则______【答案】【分析】令n=n-1代回原式，相减可得，利用累乘法，即可得答案.【详解】因为，所以，两式相减可得，整理得，所以，整理得，又，解得.故答案为：【练习2-3】记数列的前项和为，若，（为正整数），则数列的通项公式为________．【答案】【分析】当时，，所以两式相减得，所以化简有，又因为，可得数列是以为首项，公比为的等比数列，即可求出数列的通项公式.【详解】因为，，所以当时，，当时，，所以两式相减得：，则，所以，又因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列.所以当时，.所以数列的通项公式为：故答案为：.题型三由数列的递推关系求通项公式【例3-1】已知，，求通项________.【答案】【分析】依题意可得，利用累加法计算可得；【详解】解：，即，，，，，，以上各式相加得，又，所以，而也适合上式，.故答案为：【例3-2】数列满足：，，则数列的通项________________.【答案】【分析】根据，，得到，然后利用累加法求解.【详解】解：因为，，所以，当时，，所以，，，当时，，适合上式，所以数列的通项，故答案为：【例3-3】已知数列满足，且，则数列__________【答案】【分析】由两边取倒数，即可得到数列是等差数列，从而求出的通项公式，即可得解；【详解】解：由两边取倒数可得，即所以数列是等差数列，且首项为，公差为，所以，所以；故答案为：【例3-4】设数列满足，且，则数列的通项公式为___________.【答案】##【分析】化简已知得，再构造数列求通项得解.【详解】解：因为，，，，则，数列是以为首项，为公比的等比数列.，所以，故答案为：归纳总结：【练习3-1】已知数列中，，，则通项公式____________．【答案】【分析】根据题意可得数列是等比数列，从而可求出数列的通项，即可得出答案.【详解】解：因为，所以，因为，所以，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以，所以.故答案为：.【练习3-2】已知数列的各项均为正数，，，则______．【答案】【分析】根据题意得，根据等差数列的特征可求是等差数列，进而可求的通项，即可求解.【详解】由题意可得，，所以数列是以4为首项，4为公差的等差数列，所以，得．故答案为：【练习3-3】已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由再利用裂项相消求和可得答案.【详解】因为，所以，即，则.所以当时，上式成立，故.故选：C.题型四数列的函数性质【例4-1】设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由数列是单调递增数列，可得，从而有恒成立，由，可求得的取值范围.【详解】解：由题意得：由数列是单调递增数列，所以，即，即（）恒成立，又因为数列是单调递减数列所以当时，取得最大值，所以.故选：C.【例4-2】在数列中，，则数列中的最大项的________.【答案】6或##7或6【分析】利用作商法判断数列的单调性即可求出其最大项.【详解】，令，解得，即时，，当时，，所以或最大，所以或.故答案为：6或7.【例4-3】已知数列满足，若，恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析可知数列是递减数列，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为恒成立，所以数列是递减数列，所以，，即，解得.故选：A.归纳总结：【练习4-1】设数列的前项和为，，若为严格增数列，则实数的取值范围为___________.【答案】【分析】利用与的关系可求得数列的通项公式，根据数列的单调性可得出关于的不等式，由此可求得实数的取值范围.【详解】当时，，当时，，因为数列为严格增数列，则，可得，解得.故答案为：.【练习4-2】已知函数，若数列满足（）且是递增数列，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由分段函数的解析式可得，函数在每一段都是单调递增，且，列出不等关系，求解即可．【详解】因为函数，数列满足，且是递增数列，则函数在每一段都是单调递增，且，所以，解得，所以实数的取值范围是．故选：【练习4-3】已知数列的通项公式为，，，则该数列是否有最大项？若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．【答案】有，第4项为最大项．【分析】利用不等式法求出数列的单调性，判断出第4项为最大项.【详解】∵，，．∴当，时，；当，时，．综上，可知在时严格增；在时严格减，所以存在最大项．又所以第4项为最大项．【完成课时作业（三十七）】

【课时作业（三十七）】A组础题巩固1．已知数列{an}的前四项为1，0，1，0，则下列可作为数列{an}的通项公式的有（

）①an＝[1＋(－1)n＋1]；②an＝[1＋(－1)n＋1]＋(n－1)(n－2)；③an＝sin2；④an＝；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】当n＝1，2，3，4分别代入①②③④⑤的通项公式中检验即可．【详解】当n＝1，2，3，4分别代入①②③④⑤的通项公式中，可知①③④符合，对于②当n＝3时不符合，对于⑤显然n＝1时就不符合，故可作为{an}通项公式的有3个．故选：C．2．记数列的前项和为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由列方程组求值即可.【详解】因为，解得.又因为，解得.故选：A.3．在数列中，，则的值为（

）A． B．5 C． D．【答案】C【分析】根据给定的递推公式，探讨数列的周期性即可计算作答.【详解】依题意，，则，，于是得数列是周期数列，其周期是3，由得：，所以.故选：C4．已知数列的前项和为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，结合变形，构造数列，再求数列通项即可求解作答.【详解】因为，则，于是得，因此数列是公差为1的等差数列，首项，则，所以.故选：D5．【多选题】已知数列的通项公式为，则（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由题，由通项求出至，再由定义求出即可判断【详解】由题，，故A错；，故B对；，故C对；，故D错.故选：BC6．【多选题】下列是递增数列的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据递增数列的定义判断．【详解】A．令，则，是递增数列，正确；B．令，则，，不合题意，错；C．令，则，符合题意．正确；D．令，则，，不合题意．错．故选：AC．7．若数列满足：，则第三项_______，它的通项公式_______．【答案】

【分析】对两边取倒数可得，即可得到为首项是公差为的等差数列，求得通项，即可得解.【详解】由可得，所以为首项是公差为的等差数列，所以，所以，所以.故答案为：.8．记数列的前项和为，若，则使得取得最小值时的值为________.【答案】16【分析】根据数列的单调性，即可判断的最小时的值.【详解】由得,当时，单调递减，且，当时，，故当时，，当时，，且，所以当时，最小.故答案为：169．已知数列满足若数列为递增数列，则实数a的取值范围为___________.【答案】【分析】根据数列为递增数列，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，数列为递增数列，则满足，即，解得，即实数a的取值范围为.故答案为：10．已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式___________.【答案】n【分析】先利用累乘法将的通项公式求出，再利用与的关系，求出的通项公式即可.【详解】解：∵，∴当时，，当时，成立，∴，当时，，当时，满足上式，∴.故答案为：n11．已知正项数列的前项和为，满足.求数列的通项公式；【答案】【分析】利用已知求的方法可以直接得出结果.【详解】①；当时，代入①得.当时，②；①-②得，整理得，因为，所以，所以数列为等差数列，公差为1，所以.12．已知数列的前n项和为，且，，．(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式；【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由递推公式可得，即可得证；（2）由（1）利用累加法及等比数列前项和公式计算可得；（3）由（2）可得，参变分离可得恒成立，令，利用作差法判断数列的单调性，即可求出的最大值，从而得解．(1