高一数学课堂抄重点讲义(人教A版2019必修第二册)6.4.3.2正弦定理(讲义+例题+小练)(原卷版+解析)

6.4.3.2正弦定理一、正弦定理及其变形变式：题型一：已知两角及任意一边解三角形例1．在中，B=60°，，，则AC边的长等于（）A． B． C． D．举一反三1．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，，，则________．2．如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，已知a=6，A=60°，B=75°.(1)求角C；(2)求边c.题型二：已知两边及一边对角解三角形例2．在中，角分别对应边，已知，．角，求角．举一反三1．在中，内角，，所对的边分别是，，.若，，，则（）A． B． C．或 D．或2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，C＝30°，解此三角形．2．在中，根据下列条件求相应的值.（1）已知，，，求；（2）已知，，，求.题型三：正弦定理边角互化例3．在中，下列等式中总能成立的是（）A． B． C． D．举一反三1．在△ABC中，若，则B＝（）A． B． C．或 D．或2．已知，则________．二、常用的三角形面积公式（1）；（2）（两边夹一角）；例4在△ABC中，acosB＝bsinA．（1）求∠B；（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．举一反三已知在中，，分别是角所对的边.（1）求；（2）若，，求的面积.三、正弦定理判断三角形解得个数已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:（多解情况）eq\o\ac(○,1)若A为锐角时:eq\o\ac(○,2)若A为直角或钝角时:例5．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则此三角形解的情况为（）A．无解 B．只有一解 C．有两解 D．解的个数不确定举一反三1．在中，，，是角，，所对的边，且，，，则等于（）A．60° B．120° C．60°或120° D．135°2．已知中，内角、、所对的边分别，，，，，，那么满足条件的（）A．有一种情形 B．有两种情形C．不可求出 D．有三种以上情形3．在中，角，，所对的边分别为，，，，，若满足条件的三角形有且只有两个，则边的取值范围为（）A． B．C． D．拓展创新①判断三角形形状例6．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状一定为（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形举一反三1．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状一定为（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形②三角形的周长例7.的内角，，的对边分别为，，，且满足：.（1）求；（2）若面积为，外接圆直径为4，求的周长.举一反三在中，角，，的对边分别为，，，满足.（1）求角；（2）若，的面积为，求的周长.基础题.③求三角形外接圆半径例8．若中，，则的外接圆半径为（）A．1 B．2 C．3 D．4举一反三在中，，，的外接圆半径为，则边c的长为______.④求三角形最值或取值范围例9．（1）在中，角，，的对边分别是，，，已知．（1）求角；（2）若是的中点，且，求的最大值．（2）在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（1）求；（2）若是锐角三角形，且的面积为，求边的取值范围.举一反三1．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，求面积的最大值.2．的内角，，对应边分别为，，，且．（1）求的大小；（2）若为锐角三角形，求的取值范围．3．在中，角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）若，求周长的取值范围.巩固提升一、单选题1．在中，角所对的边分别为.若，则等于（）A． B． C． D．2．在中，“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则的面积为（）A． B． C． D．4．已知在中，、、分别为角、、的对边，则根据条件解三角形时恰有一解的一组条件是（）A．，， B．，，C．，， D．，，二、多选题5．在中，下列式子与的值相等的有（）A． B．C． D．(R为ABC的外接圆半径)6．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形三、填空题7．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，的面积为，则的周长是______．8．在中，已知向量，且，记角的对边依次为.若，且是锐角三角形，则的最大值为______________.四、解答题9．在锐角中内角，，的对边分别为，，，且.(1)求角；(2)若，，求的值.10．已知的内角A，，的对边分别为，，，且．(1)求；(2)若的面积为，角的平分线交于，且，求．11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求角C的大小；(2)若的面积，求ab的最小值.12．如图，在中，已知，A为锐角，边上的两条中线相交于点P，的面积为.(1)求的长度；(2)求的余弦值.6.4.3.2正弦定理一、正弦定理及其变形变式：题型一：已知两角及任意一边解三角形例1．在中，B=60°，，，则AC边的长等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理直接计算可得答案.【详解】由正弦定理，,得,故选：B.举一反三1．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，，，则________．【答案】【解析】【分析】由正弦定理直接求解可得.【详解】由正弦定理可得，则．故答案为：2．如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，已知a=6，A=60°，B=75°.(1)求角C；(2)求边c.【答案】(1)C=45°(2)【解析】【分析】（1）根据三角形三个内角和等于180°即可求解；（2）结合已知条件，根据正弦定理即可求解.(1)解：在△ABC中，因为A=60°，B=75°，所以角；(2)解：在△ABC中，因为a=6，A=60°，又由（1）知C=45°，所以由正弦定理有，即，解得.题型二：已知两边及一边对角解三角形例2．在中，角分别对应边，已知，．角，求角．1．【分析】先通过正弦定理求出，再根据三角形的内角和为求出.【详解】解：由正弦定理得，即，解得，因为，则必为锐角，，.【点睛】本题考查正弦定理的应用，是基础题.举一反三1．在中，内角，，所对的边分别是，，.若，，，则（）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】【分析】根据题意和正弦定理求出，结合即可求出角B.【详解】由正弦定理可得，则，故或.因为，所以，所以.故选：A2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，C＝30°，解此三角形．【答案】B=60o时，A=90o，a=；B=120o时，A=30o，a=c=【解析】【分析】利用正弦定理即可求解.【详解】在△ABC中，由正弦定理可得，即，解得，又因为，所以或，当时，，.当，，所以△ABC为等腰三角形，所以.2．在中，根据下列条件求相应的值.（1）已知，，，求；（2）已知，，，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理可求.（2）求出后利用正弦定理可求.【详解】（1）由余弦定理可得，故.（2），由正弦定理可得，解得.题型三：正弦定理边角互化例3．在中，下列等式中总能成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理辨析即可.【详解】对于A，由可得，，不一定成立，故A错误；对于B，由可得，，不一定成立，故B错误；对于C，由可得，，即，不一定成立，故C错误；对于D，由正弦定理可得，，即一定成立，故D正确.故选：D．举一反三1．在△ABC中，若，则B＝（）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】【分析】由正弦定理化边为角，再由诱导公式，两角和的正弦公式变形可得．【详解】因为，由正弦定理得因为，所以因为，所以，所以，而B为三角形内角，故．故选：A．2．已知，则________．【答案】2【解析】【分析】由题意结合正弦定理可得，即可得解.【详解】，，.故答案为：.二、常用的三角形面积公式（1）；（2）（两边夹一角）；例4在△ABC中，acosB＝bsinA．（1）求∠B；（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．（1）；（2）．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解tanB，进而可求B；（2）由余弦定理及已知条件可求a，c的值，然后结合三角形的面积公式可求．【详解】解：（1）在△ABC中，由正弦定理，因为，所以，因为sinA≠0，所以，所以tanB，因为0＜B＜π，所以，（2）因为b＝2，c＝2a，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得，所以a，c，所以．【点睛】此题考查正、余定理的应用，考查三角恒等变换有应用，考查三角形面积公式的应用，属于中档题举一反三已知在中，，分别是角所对的边.（1）求；（2）若，，求的面积.（1）；（2）.【分析】（1）因为且，可得：，代入正切的倍角公式即可得解；（2）由题意可得：，所以，，由正弦定理，得，代入面积公式即可得解.【详解】（1）因为且，∴∴（2）由，得，由，所以，则，由正弦定理，得，∴的面积为.【点睛】本题考查了三角恒等变换和解三角形，考查了正弦定理和面积公式，是对三角形基本量的计算，该类题型只需正确应用公式即可得解，属于常规考查，是基础题.三、正弦定理判断三角形解得个数已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:（多解情况）eq\o\ac(○,1)若A为锐角时:eq\o\ac(○,2)若A为直角或钝角时:例5．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则此三角形解的情况为（）A．无解 B．只有一解 C．有两解 D．解的个数不确定【答案】B【分析】由正弦定理可得，进而判断解的情况.【详解】因为，，，所以由正弦定理可得，，所以或，当时，，满足题意；当时，，不能构成三角形，舍去.综上，，即三角形的解只有一个.故选：B．举一反三1．在中，，，是角，，所对的边，且，，，则等于（）A．60° B．120° C．60°或120° D．135°【答案】C【分析】利用正弦定理求得，根据大边对大角确定的范围，得到的值.【详解】，，，由正弦定理得,,，45或，故选：C.【点睛】本题考查正弦定理，在已知两边一对角时，利用正弦定理解三角形，注意大边对大角，对另一个对角的范围进行限定，从而做出正确选择.2．已知中，内角、、所对的边分别，，，，，，那么满足条件的（）A．有一种情形 B．有两种情形C．不可求出 D．有三种以上情形【答案】B【分析】由正弦定理，求得角的值，进而做出判定，得到答案.【详解】由题意，因为，由正弦定理，可得，因为，可得，且，所以或，所以满足条件的有两种情形.故选：B.3．在中，角，，所对的边分别为，，，，，若满足条件的三角形有且只有两个，则边的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出图形（如图），计算出到角另一边的距离，由可得结论．【详解】如图，作于，，．若有两解，则，故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理解三角形，只有在已知两边和一边对角解三角形时才可能出现两解情形，而这种情形可能通过作图判断，由图也可得出有两解的条件．拓展创新①判断三角形形状例6．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状一定为（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形1．B【分析】先由正弦定理化简得到，再求出，最后判断三角形形状.【详解】解：因为，所以由正弦定理有，整理得，又因为，所以，故为直角三角形.故选：B【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角形的形状，是基础题.举一反三1．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状一定为（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形1．B【分析】先由正弦定理化简得到，再求出，最后判断三角形形状.【详解】解：因为，所以由正弦定理有，整理得，又因为，所以，故为直角三角形.故选：B【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角形的形状，是基础题.②三角形的周长例7.的内角，，的对边分别为，，，且满足：.（1）求；（2）若面积为，外接圆直径为4，求的周长.（1）；（2）.【分析】（1）首先将已知等式化简，再利用正弦定理将边化角，即可求出结果；（2）根据三角形面积公式可得，再正弦定理可求，再利用余弦定理可求，由此即可求出结果.【详解】（1），得，∴.（2）的面积，由正弦定理可知，由，则，∴的周长为.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.举一反三在中，角，，的对边分别为，，，满足.（1）求角；（2）若，的面积为，求的周长.（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理可得，结合运算即可；（2）由余弦定理结合三角形的面积公式可得解.【详解】解：（1）由正弦定理可得，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，则；（2）由余弦定理可得，得，化简得，又，则，解得，或，，所以三角形周长为.【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了三角形的面积公式，属基础题.③求三角形外接圆半径例8．若中，，则的外接圆半径为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】直接利用正弦定理，结合题目数据进行运算，即可求出的值.【详解】解：根据题意，可知，由正弦定理得，即，解得：，所以的外接圆半径为1.故选：A.举一反三在中，，，的外接圆半径为，则边c的长为______.【答案】3【解析】【分析】根据可求出，再根据正弦定理即可求出边c的长．【详解】因为，所以由可得，．根据正弦定理可得，，所以．故答案为：3．④求三角形最值或取值范围例9．（1）在中，角，，的对边分别是，，，已知．（1）求角；（2）若是的中点，且，求的最大值．（1）；（2）.【分析】（1）利用正余弦定理将进行边角互化可得答案；（2）在中，设，，则，然后由正弦定理可得，然后，利用三角函数的知识可求得答案.【详解】（1）因为所以由正弦定理可得，即所以由余弦定理可得，所以因为，所以，即因为，所以（2）在中，设，，则所以所以（其中）因为，所以，即的最大值为【点睛】方法点睛：在解决三角形中的最值问题时，常有两种思路：①转化为边，利用基本不等式求（2）在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（1）求；（2）若是锐角三角形，且的面积为，求边的取值范围.（1）；（2）.【分析】（1）根据，利用正弦定理化简得，然后在中，由余弦定理求解.（2）根据是锐角三角形，求得，然后由的面积为求得，则，然后由，利用正切函数的性质求解.【详解】（1）因为，所以，即，在中，由余弦定理得，又，所以，所以.（2）因为是锐角三角形，所以，所以.因为，所以.设的外接圆半径为，则，所以，所以，，.因为，所以，所以，所以，所以，所以.【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．举一反三1．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，求面积的最大值.（1）；（2）.【分析】(1)由正弦定理对已知式子进行边角互化后得，结合余弦定理即可求出角C的大小.(2)由（1）可知，从而可求出，结合三角形的面积公式即可求出面积的最大值.【详解】（1），，，.又，.（2）据（1）求解知，.又，.又，当且仅当时等号成立，，，此时.【点睛】方法点睛：在解三角形时，若已知的式子中既有边又有角的正弦值，此时常考虑用正弦定理将角的正弦值用边来代替。若已知式子中含有边的平方，此时常采用余弦定理进行化简.2．的内角，，对应边分别为，，，且．（1）求的大小；（2）若为锐角三角形，求的取值范围．（1）；（2）.【分析】（1）由，利用余弦定理化简得，再结合余弦定理，即可求解；（2）由（1）和为锐角三角形，

求得，利用三角恒等变换的公式，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）因为，由余弦定理，可得，整理得，又由，因为，所以.（2）因为为锐角三角形，

可得，，因为，所以，可得，又由，因为，可得，所以的取值范围为.【点睛】对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，结合正、余弦定理求解.3．在中，角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）若，求周长的取值范围.（1）；（2）.【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系及正弦定理将角化边，再利用余弦定理计算可得；（2）利用正弦定理将边化角，再根据三角函数的性质计算可得；【详解】解：（1）由题意知，即.由正弦定理，可得.则由余弦定理，可得.又因为，所以.（2）由正弦定理，，所以，.则的周长.因为，所以，所以，所以，所以周长的取值范围是.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.巩固提升一、单选题1．在中，角所对的边分别为.若，则等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理进行求解.【详解】由正弦定理得：，即，解得：.故选：A2．在中，“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用余弦函数的单调性、大边对大角定理以及正弦定理判断可得出结论.【详解】因为、，且余弦函数在上为减函数，在中，.因此，“”是“”的充要条件.故选：C.3．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则的面积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由余弦定理得出，再求的面积.【详解】由，得．因为，，，所以，故的面积．故选：D4．已知在中，、、分别为角、、的对边，则根据条件解三角形时恰有一解的一组条件是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理求出的值，结合大边对大角定理可判断各选项.【详解】对于A选项，由正弦定理可得，且，故有两解；对于B选项，由正弦定理可得，且，故只有一解；对于C选项，由正弦定理可得，故无解；对于D选项，因为，则角为的最大内角，且，故无解.故选：B.二、多选题5．在中，下列式子与的值相等的有（）A． B．C． D．(R为ABC的外接圆半径)【答案】CD【解析】【分析】利用正弦定理对选项进行一一验证，即可得答案；【详解】对A，取，显然，故A错误；对B，取，，故B错误；对C，D，，，故C，D正确；故选：CD6．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】AC【解析】【分析】根据正弦定理和二倍角公式进行求解.【详解】∵∴由正弦定理得，∵∴，即∴或，即该三角形为等腰三角形或直角三角形.故选：AC.三、填空题7．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，的面积为，则的周长是______．【答案】##【解析】【分析】由题得,结合正弦定理及面积公式可求a,c，进而利用余弦定理可求b，即得.【详解】∵在中，，由正弦定理得，又，的面积为，∴，∴，由余弦定理,可得:，解得，故的周长是.故答案为：.8．在中