新教材苏教版高中数学 选择性必修第一册 同步试题 5

5.1导数的概念

一、单选题

1.已知函数y=/(x)在x=x。处的导数为2,则1向/匕。+©)一/a。)=()

-Ax

A.0B.yC.1D.2

【答案】D

【分析】根据极限与导数的关系直接求解.

【详解】根据极限与导数的关系可知］加/(%+词一〃*。)=/~，%)=2,

-->0AX

故选:D.

2.已知函数/(x)=x3_41lnx+3,则曲线N=/(x)在(e,/(e))处的切线斜率为().

A.e2——B.3e2——C.e2——D.3e2--

2e2eee

【答案】D

【分析】先求导，令x=l，求出/'(1)，再结合导数的几何意义即可求解.

【详解】依题意，/'(X)=3/-T，令X=1,

故广⑴=3-宁，解得/'⑴=2,故/'")=3尤2-/,故/'(e)=3e2——

故选：D.

3.极限理〃x)存在是函数/(幻在点x=x。处连续的()

A.充分而不必要的条件B.必要而不充分的条件

C.充要条件D.既不充分也不必要的条件

【答案】B

【分析】根据函数的连续性与函数极限的关系即可求解.

x,x>0

2,x=0,在x=O处，极限

(-x,x<0

值为0,但/(力在x=0处不连续，

但/(x)在点x=/处连续，可得极限Jim/(x)存在，故极限lim存在是函数/(x)在点x=/处连续的必要

不充分条件,

故选：B

4.曲线/（x）=（2x-l）sinx在点（OJ（O））处的切线方程为（）

A.x+y=OB.x-y=0

C.x+y+l=0D.x-y+\=Q

【答案】A

【分析】求出导函数后计算导数值/'（0），再求得”0）后，由斜截点斜式得直线方程

【详解】f'（x）=2sinx+（2x-1）cosx,所以f'（0）=2sin0+（0-l）cos0=-l,又/（0）=0,

所以切线方程为^=一x，即x+y=0.

故选：A.

5.已知函数/（》）=〃111（》+1）+/，在区间（2,3）内任取两个实数玉，々，且工产々，若不等式丛上史'>1

X\~X2

恒成立，则实数。的取值范围为（）

A.[-9,+oo]B.[-7,+oo]C.[9,-H»]D.[7,+oo]

【答案】A

【分析】根据式子几何意义，可得出斜率恒大于1,根据导数的几何意义，可得出了'（司=*+2》>1在（2,3）

内恒成立，分离参数求解即可.

【详解】因为的几何意义,

西一々

表示点（占J（内））与点（x2,f（x2））连线斜率，

•.,实数为，々在区间。，3）内，

不等式"'）一’仁）>1恒成立，

函数图象上在区间（2,3）内任意两点连线的斜率大于1,

故函数的导数大于1在（2,3）内恒成立，

/'（x）=―+2%>1在（2,3）内恒成立,

由函数的定义域知，x>-\,

所以〃>-2工27+1在（2,3）内恒成立,

由于二次函数y=-2f-x+l在(2,3)上是单调递减函数，

^-2X2-X+1<-2X22-2+1=-9，：.a>-9,

Aae[-9,+a)).

故选：A.

6.设点p是函数/(x)=x3-；/(l)x+r(2)图象上的任意一点，点p处切线的倾斜角为a,则角a的取值

范围是()

A[。^B.闯科兀)C.与沙同喑-

【答案】B

【分析】求出/'(x),令x=l后可求/'(x),再根据导数的取值范围可得tana的范围，从而可得a的取值

范围.

【详解】v/(x)=x3-1r(i)x+r(2)>♦••/'(x)=3x2-g_r⑴，

⑴=3-g/'⑴，.../'(1)=2,.../'(X)=3X2_12T,

tana>-1,0<a<—^―<a<it.

24

故选：B.

7.曲线y=/+ax+b在点”(O,l)处的切线方程为x-y+l=O,则°,。的值分别为()

A.-1,1B.-1,-1C.I,1D.1,-1

【答案】C

【分析】根据切点和斜率求得切线方程.

【详解】依题意，切点为（0,1）,斜率为1，

y=x2+ax+b,y'=lx+a,

02+ax0+/>=l

所以c,,解得a=l,b=l.

2x0n+a=l

故选：C

8.若lim（l---）=1,则常数a,6的值为（）

71_Xl-X

A.a=-2,b=4B.a=2,b=-4

C.a=-2fb=—4D.a=29b=4

【答案】C

ax+a-b

【分析】求极限的代数式通分得Xf1时极限存在且极限为1,则ax+a-6=2(l-x),由恒等

(l+x)(l-x)

式知识可得

【详解】邸自一台咂言法V］，则十一=2,解得-2,I

故选：C.

二、多选题

9.在平面直角坐标系X0中，设曲线C的方程是xy=l,下列结论正确的是()

A.曲线C上的点与定点尸(0,收)距离的最小值是2-&

B.曲线C上的点和定点尸(0,a)的距离与到定直线/：x+y-0=O的距离的比是0

C.曲线C绕原点顺时针旋转45。，所得曲线方程是/-"=1

D.曲线C的切线与坐标轴围成的三角形的面积是2

【答案】ABD

【分析】A选项，设出曲线C任意一点的坐标，根据两点间的距离公式以及基本不等式求得“最小值”：B选

项，结合点到直线的距离公式求得正确答案，C选项，通过求实半轴。来进行判断：D选项，通过求切线方

程来进行判断.

【详解】曲线C的方程是中=1,则'='，所以曲线C是反比例函数y=L对应的图象，即曲线C是双曲线.

XX

A选项，设尸卜是曲线C上的任意一点，

M=)1-闺+g-间=卜+2如+3+4,

令t=X-I,则f2=-+2,

XX

当x>0时，r=x+->2ALV--=2,当且仅当X=1,X=1时，等号成立，

x\xx

当了<0时，/=-(-x)+—<-2^(-xy—=-2,

当且仅当r='>,x=-l时，等号成立，

所以f«v,-2]U[2,+oo).

所以|尸尸仁〃-2"+2=/-V2)'

r-V2e卜8,-2-忘卜12-逝+8),

所以当f=2时，|尸尸|取得最小值为2-JLA选项正确.

B选项，尸卜到直线x+y-正=0的距离为*+=应=/阀,

■^26

所以曲线C上的点和定点的距离与到定直线/：x+y-近=0的距离的比是啦,

B选项正确.

C选项，由上述分析可知曲线C是双曲线，由于曲线C的图象关于少=》对称，

所以V=x是双曲线C实轴所在直线，

y=xx=-l

由I解得

xy=1，=-1

点。,1）与点（-L-1）的距离是正百=2折，所以双曲线C的实轴长2a=2&,°=应,

而双曲线/-/=1的实半轴d=1,所以C选项错误.

D选项，^=—,y,

XX

所以在曲线C上任意一点（外工］处的切线方程为y-L=-」7（X-W）,

VfnJtnm

2

令1=0得^=—；令y=0得x=2〃z,

m

I2

所以曲线C的切线与坐标轴围成的三角形的面积是彳x—x|2同=2,D选项正确.

2m

故选：ABD

10.牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是4（单位：。（3），环境温度

是4（单位：。C）,其中％>仇，则经过t分钟后物体的温度。将满足6=〃。=4+（4-止SeR且4>0）.

现有一杯80'C的热红荼置于20"C的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（）（参

考数值ln2*0.7）

A.若〃3）=50℃,贝

B.若〃=上，则红茶下降到5（TC所需时间大约为7分钟

C.若/'（3）=-5,则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5。（3的速率下降

D.红茶温度从80℃下降至IJ60°C所需的时间比从60。C下降到40℃所需的时间多

【答案】ABC

【分析】由题知9=/（，）=20+60e/，根据指对数运算、以及导数的几何意义，依次讨论各选项求解.

【详解】由题知。=/（0=20+60e"',

A：若〃3）=50空，即50=20+60e』，所以e』=；,

则/（6）=20+60”=20+60（e*/=20+60=35℃,A正确；

11-Lt1

B：若无则20+60-/而'=50，则ei。=5,

两边同时取对数得--^=1J=-In2,所以t=101n2=7,

102

所以红茶下降到5（TC所需时间大约为7分钟，B正确；

C;/'（3）表示，=3处的函数值的变化情况，若f'（3）=-5<0,所以实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大

约以每分钟5。（3的速率下降，故C正确；

D;0=/（，）=优+（4-a）-e-“，设红茶温度从80。（：下降到60笛所需的时间为％,则

e=/（f）=20+60e$=60=e-%=]nr尸设红茶温度从80。（3下降到40。（：所需的时间为与，则

0=/（，）=20+60-e/=40nei=；=4=_mn',则红茶温度从60℃下降到40。（3所需的时间为6）;由于

1（12、13

女》0所以。2Tj—i=芍=_工=_工历7>0,故q

可得红茶温度从80（下降到60笛所需的时间4比从60（下降到40。（：所需的时间G—J少，故D错误.

故选：ABC.

11.在曲线/3=上上切线的倾斜角为:〃的点的坐标为（）

x4

A.（1,1）B.（-L-1）0D.0,g）

【答案】AB

【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，由导数的几何意义，即可得到所求切点

3

【详解】切线的斜率左=tan±〃=-l,

4

设切点为（%,%）,则/缶）=-1,

又/'（*）=-4，

X

所以-4=T,

所以%=1或%=-1,

所以切点坐标为(1,1)或(-1,-1).

故选：AB.

12.若函数y=/(x)的图象上存在两个不同的点尸，Q,使得"X)在这两点处的切线重合，则称函数y=/(x)

为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数''的是()

A.y=sinx+cosxB.y=sin(cosx)

C.y=x+sinxD.j^=x2+sinx

【答案】ABC

【分析】求出导函数，确定切线斜率，选项AB,过图象最高点(或最低点)处的切线是同一条直线，可判

断，选项C,由导函数斜率相等的点有无数组，结合函数单调性，确定斜率为1的切线，可判断结论，百选

项D,导函数是单调增函数，因此不存在斜率相等的两点，这样易判断结论.

【详解】A,f(%)=sinx+cosx=A/2(sinx+cosx)=sin(x+-^),

/'(%)=>/2cos(x+^),x=+fMcZ时，f\x)=0,/(x)取得最大值后,

44

直线y二&是函数图象的切线，且过点(2左〃+£,近),左cZ,函数是“切线重合函数”；

4

B,/(x)=sin(cosx),f\x)=-sinxcos(sinx),%=2左肛左eZ时,f\x)=0,cosx=l,-sinl<f(x)<sinl,

此时/(x)=sinl是函数的最大值，

直线歹=sinl是函数图象的切线，且过点(2人肛sinl),%wZ,函数是“切线重合函数”；

C,/(x)=x+sinx,/r(x)=l+cosx,

x=2k兀+三,keZ时，/(x)=1,filkrc+y)=2k冗+三,

TTTTTTTT

过点(2%乃+?,2左7+万+1),左eZ的切线方程是y-(2%zr+5+l)=x-(2%r+^),即y=x+l,因此该切线过

/(x)图象上的两个以上的点，函数是“切线重合函数”；

D,/(x)=x2+sinx,/'(x)=2x+cosx，令g(x)=/'(x)=2x+cosx，

则g'(x)=2-sinx>0,所以g(x)即/(x)是R增函数，因此函数图象上不存在两点，它们的切线斜率相等,

也就不存在切线过图象上的两点，因此函数不是“切线重合函数

故选：ABC.

三、填空题

13.已知函数/卜)=加+》+1的图象在点(1,〃1))的处的切线过点(3,11),则。=.

【答案】1

【分析】利用导数的几何意义求出点处的切线方程，再根据点(3/1)在切线上，求解即可.

【详解】由/(》)=加+》+1,得/'(x)=3ox2+l,

.•./(1)=3〃+1,又〃1)="+2,

二函数/(x)=tz?+x+l的图象在点(1,/。))的处的切线方程为y=(3a+D(x-l)+a+2,

代入(3,11),得11=(3。+1乂3-1)+。+2,解得a=l.

故答案为：1.

14.若直线ax-y-l=O是曲线"苏-e'在x=l处的切线，则实数a+6=.

【答案】3-e##—e+3

【分析】根据导数的几何意义，结合代入法进行求解即可.

【详解】因为y=6f-e、，所以y'=2法-e”，

把x=]代入ax-y-]=0中，得

于是有a-l=b-e,

由“x-y-l=O可知，切线的斜率为%所以有a=2b-e,

[a-\=b-e[a=2-e

因此有<.,=>\.na+b=3-e,

[a=2o-e[b=1

故答案为：3-e

15.设函数=当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是.

【答案】2.1

【分析】根据平均变化率的定义直接求解即可.

【详解】函数=当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率为

1.12-1-(12-1)0.21「

--------------------------------------=------=2.1,

1.1-10.10.1,

故答案为：2.1.

16.己知函数/(x)=£+lnx,若曲线y=/(x)在点(m,2)处的切线方程为y=-x+3,则实数“的值

【答案】2

【分析】运用代入法进行求解即可.

【详解】把点(口2)代入y=-x+3中，得2=—加+3=根=1,

把(1,2)代入y=N+lnx中，得2=。，即。=2,

X

故答案为：2

四、解答题

17.已知函数/(x)=；x3-x2+ax(aeR).

(1)证明有且仅有两条经过原点的直线与曲线＞=/(x)相切;

(2)记(1)中两条切线为4,加设4，6与曲线N=〃x)异于原点。的公共点分别为48.若。=1,求cos4O8

的值.

【分析】(1)设出切点，结合导数的几何意义求出有两个不同的切点即可证明；

(2)先求出两条切线的方程，联立曲线方程，求出交点，结合向量夹角公式可求答案.

【详解】(1)证明：f\x)=x2-2x+a,设过原点的直线与曲线y=/(x)相切于点&/⑺)，则

t2-2t+a=f^~0=-t2-t+a,整理得2/_/=0,即/=0或t=3：

1-0332

所以有且仅有两条经过原点的直线与曲线y=/(x)相切.

(2)当。=1时，fr(x)=x2-2x+l,由(1)知切点为(0,0),

/，(0)=1,/，(|)=1;

两条切线方程分别知即

♦y=x

联立方程132-得x=3和x=0(舍)，可得4(3,3)；

y=-x—x4-x

[3

同理可求呜刀=(3,3),方=(|,£|,Oi-OS=3x|+3x|=^,

网=3加,同=处，

OAOB5734

所以cos/ZOB=

34

4

18.已知函数/(x)=ax2-1ax+bJ(l)=2J'(l)=l,求/*)的解析式.

【答案】/(x)=|x2-2x+j.

425

【分析1先对函数〃》)=公2-：3+6求导，再利用条件〃1)=2,/⑴=1解得参数。=去6=；,从而得到

fW的解析式.

44

［详解］T/(X)=4X2一^g+6，fr(x)=2ax--a,乂/(I)=2,/'(1)=1,则有

44

/⑴“一§4+6=2①.八1)=2"$=1②

由①②解得：a=13,6=j5

所以/㈤的解析式是/(X)=^X2-2X+|

19.已知函数y=xlnx,求这个函数的图像在点x=l处的切线方程.

【答案】--1

【分析】利用导数的几何意义求解即可.

【详解】由y=xlnx得正=lnx+l,

则当x=1时，切线斜率k-y'|x=l=InI+1=0,

又当x=l时，y=0,所以切点为(1,0),

切线方程为N—0=lx(x-l),

即y=x-L

20.已知函数/(x)=12-f,求曲线y=/(x)的斜率等于-2的切线方程.

【答案】2x+y-13=0

【分析】利用导数求得切点坐标，进而求得切线方程.

【详解】因为/(1)=125,所以八x)=-2x,

设切点为(%/2-君)，则-2x0=—2,即%=1,所以切点为(1,11),

由点斜式可得切线方程为：y-ll=-2(x-l),即2x+y-13=0.