高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第4课时复数(原卷版+解析)

第3课时复数编写：廖云波【回归教材】1．复数的有关概念(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔a＋bi为虚数⇔a＋bi为纯虚数⇔(2)分类：(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作或，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．2．复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．3．复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).4.【常用结论】（1）；eq\f(1＋i,1－i)=；eq\f(1－i,1＋i)=.（2）．（3）．（4）．（5）模的运算性质：①；②；③.

【典例讲练】题型一复数的概念【例1-1】若复数，当实数m为何值时（1）z是实数；（2）z是纯虚数；（3）z对应的点在第二象限归纳总结：【练习1-1】（多选）下列说法错误的是（

）A．复数不是纯虚数B．若，则复数是纯虚数C．若是纯虚数，则实数D．若复数，则当且仅当时，z为虚数【练习1-2】已知不相等的复数，则下列说法正确的是（

）A．若是实数，则与不一定相等B．若，则C．若，则在复平面内对应的点关于实轴对称D．若，则题型二复数的运算【例2-1】复数的虚部为（

）A．1 B．－1 C．i D．－i【例2-2】计算：________．归纳总结：【练习2-1】若复数满足，则等于（

）A． B． C． D．【练习2-2】已知复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数（

）A． B．C． D．题型三复数的几何意义【例3-1】在复平面内，点对应的复数分别为.(1)求向量及的坐标；(2)若以为邻边作平行四边形，求点对应的复数及的长.【例3-2】已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为．(1)确定点的集合构成图形的形状；(2)求的最大值和最小值．归纳总结：【练习3-1】把复数对应的点向右平移个单位长度得到点，把所得向量绕点逆时针旋转，得到向量，则点对应的复数为_________．【练习3-2】如果复数满足（其中为虚数单位），那么的最大值是___________.【完成课时作业（三十六）】

【课时作业（三十六）】A组础题巩固1．若，则（

）A． B． C． D．2．若复数z满足，则（

）A．1 B．5 C．7 D．253．已知（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．4．已知，且，其中a，b为实数，则（

）A． B． C． D．5．复数（

）A． B． C． D．6．若，则（

）A． B． C．1 D．27．若．则（

）A． B． C． D．8．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在直线上，则（

）A． B． C． D．9．已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限10．平行四边形OABC中，顶点O、A、C在复平面内分别与复数0，，对应，则顶点B对应的复数为（

）A． B． C． D．11．【多选题】下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（

）A．的实部为1 B．C．的共轭复数为 D．的虚部为12．【多选题】欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数之间的关系，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，下列选项正确的是（

）A．复数对应的点位于第三象限 B．为纯虚数C．复数的模等于 D．的共轭复数为13．已知复数，_________.14．设（x，），若，则的取值范围是________．B组挑战自我1．在复平面内，复数对应向量（O为坐标原点），设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则．法国数学家棣莫佛发现棣莫佛定理：，则（

）A． B．C． D．2．【多选题】已知复数，的共轭复数是，，则下列命题一定正确的是（

）A． B．若，则C．若，则或 D．3．【多选题】设复数在复平面内对应的点为，原点为为虚数单位，则下列说法正确的是（

）A．设，则B．若点的坐标为，则对应的点在第三象限C．若复数，则为纯虚数的充要条件是D．若，则点的集合所构成的图形的面积为4．若复数z在复平面对应的点为Z，则下来说法正确的有（

）A．若，则Z在复平面内的轨迹为圆B．若，则Z在复平面内的轨迹为椭圆C．不可能存在复数z同时满足和D．若，则的取值范围为[8，10]第3课时复数编写：廖云波【回归教材】1．复数的有关概念(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(2)分类：(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．2．复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．3．复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).4.【常用结论】（1）；eq\f(1＋i,1－i)=；eq\f(1－i,1＋i)=.（2）．（3）．（4）．（5）模的运算性质：①；②；③.

【典例讲练】题型一复数的概念【例1-1】若复数，当实数m为何值时（1）z是实数；（2）z是纯虚数；（3）z对应的点在第二象限【答案】(1)或：(2)；(3).【解析】(1)是实数，根据虚部为，列方程即可求解；(2)是纯虚数，根据实部为，虚部不为，列方程组即可求解；(3)对应的点在第二象限，根据实部小于，虚部大于，列不等式组即可求解.【详解】解：由题意：(1)或，当或时，是实数.(2)，当时，是纯虚数.(3)当时，对应的点在第二象限.【点睛】本题考查复数概念的运用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.归纳总结：【练习1-1】（多选）下列说法错误的是（

）A．复数不是纯虚数B．若，则复数是纯虚数C．若是纯虚数，则实数D．若复数，则当且仅当时，z为虚数【答案】ACD【分析】根据复数当且仅当时为实数、时为虚数，当且仅当且时为纯虚数判断即可.【详解】时，复数是纯虚数，A错误；当时，复数是纯虚数，B正确；是纯虚数，则即，C错误；复数未注明为实数，D错误．故选：ACD．【练习1-2】已知不相等的复数，则下列说法正确的是（

）A．若是实数，则与不一定相等B．若，则C．若，则在复平面内对应的点关于实轴对称D．若，则【答案】AC【分析】通过举例可判断A,B,D；由共轭复数的的概念判断C.【详解】取，，此时是实数，但共轭复数不相等，故A正确；取，，满足，但，故B错误；若，则的实部相等，虚部互为相反数，则在复平面内对应的点关于实轴对称，故C正确；取，，此时，，满足，但与不能比较大小，故D错误.故选：AC.题型二复数的运算【例2-1】复数的虚部为（

）A．1 B．－1 C．i D．－i【答案】B【分析】根据复数的运算即可化简复数，然后根据虚部的概念即可求解.【详解】，∴虚部为－1．故选：B【例2-2】计算：________．【答案】##i+1【分析】根据求解即得.【详解】因为，所以.故答案为：.归纳总结：【练习2-1】若复数满足，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由复数的四则运算法则计算．【详解】因为，所以故选：A．【练习2-2】已知复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据复数的除法，结合共轭复数的概念求解即可【详解】由已知可得，所以.故选：B.题型三复数的几何意义【例3-1】在复平面内，点对应的复数分别为.(1)求向量及的坐标；(2)若以为邻边作平行四边形，求点对应的复数及的长.【答案】(1),(2),.【分析】（1）根据复数的几何意义及点与向量的坐标关系即可求解；（2）根据复数的几何意义及平行四边形的定义，结合两点间的距离公式即可求解.(1)因为点对应的复数分别为，所以，所以，.(2)由（1）知，，设顶点的坐标为，则，由题意可知，，所以，即，解得，所以.所以点对应的复数为，所以.所以的长为.【例3-2】已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为．(1)确定点的集合构成图形的形状；(2)求的最大值和最小值．【答案】(1)点的集合是以点为圆心，2为半径的圆(2)最大值为7，最小值为3【分析】（1）根据复数模的几何意义确定点的集合构成图形的形状.（2）根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质求得正确答案.（1）设复数在复平面内的对应点为，则，故点的集合是以点为圆心，2为半径的圆，如下图所示．（2）设复数在复平面内的对应点为，则,如下图所示，，则的最大值即的最大值是；的最小值即的最小值是．归纳总结：【练习3-1】把复数对应的点向右平移个单位长度得到点，把所得向量绕点逆时针旋转，得到向量，则点对应的复数为_________．【答案】【分析】根据复数在复平面对应的点的概念并进行平移确定点，进而确定与，进而得解.【详解】因为复数对应的点的坐标为，所以点的坐标为，即向量，所以向量，即点的坐标为，所以点对应的复数为，故答案为：.【练习3-2】如果复数满足（其中为虚数单位），那么的最大值是___________.【答案】##【分析】设，由可得，则表示的是圆上的点到点的距离，在跟圆上的点到定点的距离的最值问题即可得解.【详解】解：设，则，所以，所以复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，因为表示的是圆上的点到点的距离，所以.故答案为：.【完成课时作业（三十六）】

【课时作业（三十六）】A组础题巩固1．若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】故选：C2．若复数z满足，则（

）A．1 B．5 C．7 D．25【答案】B【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．【详解】由题意有，故．故选：B．3．已知（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数相等的条件可求.【详解】，而为实数，故，故选：B.4．已知，且，其中a，b为实数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】由,得,即故选:5．复数（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由复数的乘方化简计算．【详解】．故选：B．6．若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用复数的除法可求，从而可求.【详解】由题设有，故，故，故选：D7．若．则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为，所以，所以．故选：D.8．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在直线上，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化简复数，求得所对应的点为，代入直线即可求解.【详解】复数，所对应的点为，代入直线，可得，解得．故选：A．9．已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】先对复数化简，再求其在复平面对应的点，从而可求得答案.【详解】因为，所以复数z在复平面内对应的点是，位于第三象限．故选：C10．平行四边形OABC中，顶点O、A、C在复平面内分别与复数0，，对应，则顶点B对应的复数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据可求出点坐标，即可求出.【详解】由题可得，设，因为四边形OABC为平行四边形，所以，即，所以，解得，所以点B对应的复数为.故选：A.11．【多选题】下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（

）A．的实部为1 B．C．的共轭复数为 D．的虚部为【答案】BD【分析】由复数除法法则化简复数为代数形式，然后判断各选项．【详解】因为，所以的实部为，故A是假命题；，故B是真命题；的共轭复数为，故C是假命题；的虚部为，故D是真命题．故选：BD．12．【多选题】欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数之间的关系，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，下列选项正确的是（

）A．复数对应的点位于第三象限 B．为纯虚数C．复数的模等于 D．的共轭复数为【答案】BC【分析】根据欧拉公式写出、、，再判断复数所在象限、类型及求模长、共轭复数.【详解】由题知，而，，则复数对应的点位于第二象限，故A错误；，则为纯虚数，故B正确；，则的模为，故C正确；，其共轭复数为，故D错误．故选：BC13．已知复数，_________.【答案】【分析】根据复数的乘法与除法运算法则进行化简，再利用模的公式进行求解【详解】解：所以故答案为：14．设（x，），若，则的取值范围是________．【答案】【分析】根据复数的几何意义可得复数对应的点的轨迹方程为圆，再转化为圆上的点到定点的距离的最值问题即可得解.【详解】解：由，可得，表示在以为圆心，2为半径的圆上，，的几何意义表示复平面内点与点的距离，即圆圆上的点与点的距离，圆心到点的距离为，由圆的几何意义得到范围是．故答案为：.B组挑战自我1．在复平面内，复数对应向量（O为坐标原点），设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则．法国数学家棣莫佛发现棣莫佛定理：，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题目中棣莫佛定理，在根据三角函数的诱导公式，可得答案.【详解】根据复数乘方公式，得．故选：D．2．【多选题】已知复数，的共轭复数是，，则下列命题一定正确的是（

）A． B．若，则C．若，则或 D．【答案】ACD【分析】设，根据复数的乘法运算结合共轭复数和复数的模长的概念，对每一选项进行分析判断，可得答案.【详解】解：设