高中数学题型全面归纳（学生版）：第三节 不等式选讲(选修4-5)

第三节不等式选讲(选修4-5)

考纲解读

1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式

和求最值.

2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位.

3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.

4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式.

命题趋势探究

本节内容为新课标新增内容,是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明

为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档.

知识点精讲

一'不等式的性质

1.同向合成

(1)a>b,b>c=>a>c；

(2)a>b,c>d=>a+c>b+d；

(3)a>b>Q,c>d>Q=>ac>bd.

(合成后为必要条件)

2.同解变形

(1)a>b<=>a+c>b+c；

(2)a>bc>O,ac>beoc<O,ac<bc；

(3)cz>/j>0<^>->—>0<=>Va>V^>0.

ba

(变形后为充要条件)

3.作差比较法

a>b<^>a—b>O,a<b=a-b<0

二、含绝对值的不等式

(1)a>O,\x\<a<=»-a<x<a；a>G,\x\>a<=»x>a,BJU<-a

(2)\a\>\b\<^>a2>b2

(3)|x+a|+|x+b]<c零点分段讨论

三、基本不等式

(1)cr+b2>2ab(当且仅当等号成立条件为。=h)

(2)a>0,b>Q,^->24ab(当且仅当等号成立条件为a=力)；

a>Q,b>0,c>0,a+^+C>\Jabc(当且仅当a=/?=c,时等号成立)

3

(3)柯西不等式

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2(当且仅当ad="c•时取等号)

①几何意义：Ia•切WaII》|o|ad+bc\<yja2+b2\jc2+d~

②推广：(a；+霓H-------------------Fb；)N(。曷+%，+…+a也)？.当且仅

当向量a=(%,。2,…，a“)与向量b=(仇，仇，…,〃)共线时等号成立.

四'不等式的证明

(1)作差比较法、作商比较法.

(2)综合法一一由因到果.

(3)分析法一一执果索因.

(4)数学归纳法.

(5)构造辅助函数利用单调性证明不等式.

(6)反证法.

(7)放缩法.

题型归纳即思路提示

题型201含绝对值的不等式

一、解含绝对值的不等式

思路提示

对于含绝对值的不等式问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去掉绝对值.常用的去绝

对值方法是零点分段法.特别用于多个绝对值的和或差不等式问题.若单个绝对值的不等式

常用以下结论：

If(x)\<g(x)o-g(x)</(x)<g(x);

I/(x)|>g(x)o/(x)>g(x)期(x)<-g(x);

If(x)|>|g(x)|o/2(x)>g2(x)<=>(f(x)+gMXf(x)-g(x))>0.

有时去绝对值也可根据IX『=X2来去绝对值.

例16.14(2015•山东)解不等式|x-l|-Ix-5|<2的解集.

变式1不等式|x-5|+|x+3|N10的解集是()

A.[-5,7]B.[-4,6]C.(^»,-5]UP,+oo)D.(-oo,-4]|J[6,+oo)

变式2已知函数/(x)=|x-2|-|x-5|.

(1)证明：-3W/(x)W3；

(2)求不等式/1(x)Nx2-8尤+15的解集

二、含绝对值不等式恒成立，求参数问题

例16.15若不等式12x—l|+|x+2]2a2+5+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值

范围为.

变式1不等式2|+siny对一切非零实数x,y均成立，求实数”的取

值范围.

变式2若不等式|kx-4|W2的解集为{x|lWxW3},则实数k=.

变式3(2017•石家庄调研)设函数f(x)=|x-3|一|x+l|,xGR.

⑴解不等式f(x)<-l；

(2)设函数g(x)=|x+a|-4,且g(x)Wf(x)在xG[—2,2]上恒成立,求实数a的取值范围.

三'含绝对值(方程)不等式有解，求参数问题

例16.16(2016•深圳模拟)若关于x的不等式|2014-x|+|2015-有解，求d的取值

范围.

,1

变式2已知aeR,关于x的方程无2+》+|〃一一|+|。|=0有实根，求a的取值范围.

4

四、已知含绝对值不等式的解集，求参数的值或范围

例16.17(全国卷I卷(理))已知函数/(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+l|+|x-l|.

(1)当。=1时，求不等式/(x)>g(x)的解集；

(2)若不等式/(x)2g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.

变式1设函数/(x)=|x-a|+3x,其中a>0.

(1)当a=l时，求不等式/(x)N3x+2的解集；

(2)若不等式f(x)40的解集为{x|xW—1},求。的值.

变式2(2017•开封模拟)设函数f(x)=|x—a|,a<0.

(1)证明：f(x)+f(一：)》2；

(2)若不等式f(x)+f(2x)g的解集非空，求a的取值范围.

变式3(2012山东理⑶若不等式|依一4区2的解集为{x|lWxW3},则实数上

题型202不等式的证明

一、比较法（差值法和比值法）

思路提示

将待比较的两个代数式通过作差或作商，与0与1进行比较，得到大小关系.

例16.18（2014・常州期末）已知xNl,y>l,求证：x2j+xy2+1<^2+x+y.

变式1（2015・徐州、连云港、宿迁三检）已知a,h,c都是正数，求证:

a2b2+b2c2+c2a2

a+b+c>abc.

二、利用函数的单调性证明

思路提示

使用对象：在某区间成立的函数不等式、数值不等式的证明通常是通过辅助函数完成

的.

解题程序：(1)移项(有时需要作简单的恒等变形)，使不等式一端为0,另一端为所

作辅助函数/(x).

(2)求/(x)并验证/(x)在指定区间上的单调性.

(3)求出区间端点的函数值(或极限值)，其中至少有一个为0或已知符号，作比较即

得所证.

例16.19已知0cx<1,求证：x-sinx<—%3.

JTZY

变式1证明：当0cxe—时，一<sinx<x.

2H

三'综合法与分析法

思路提示

字母A4,a,,6分别表示一组不等式，其中8为已知不等式，4为待证不等式.

若有…,综合法是由8前进式地推导4,分析法是由A倒退

式地分析到B.用分析法时，必须步步可逆.

1.综合法(由因到果)

例16.20已知a,b,c>0且互不相等，abc=1.试证明：独+怖+/<一+1+-.

v

Y丫abc

变式1已知a,b,c,d均为正数，且ad=)c.

(1)证明：若a+rf>〃+c,贝！J|〃一d|>|〃一c|；

(2"7〃2+)年。2+/=、〃4+。4+1》4+才,求实数t的取值范围.

2.分析法（由果索因）

16.21（2017•沈阳模拟）设a,b,c>0,且ab+bc+ca=l.求证:

⑴a+b+c2木;

⑵#+、/1+小他+小+/）・

必产=a2+b2+c2（当且仅当a=b=c时等号成立）证得.

所以原不等式成立.

⑵#+A/I+/

变式1已知a»>c,且。+8+。=0,求证：y/b2—ac<y/3a.

四'反证法

思路提示

从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结

论是正确的.它的依据是原命题与逆否命题同真假.

例16.22设二次函数+px+q,求证：直3)|中至少有一个不小

于2.

变式1已知a,6,eR,/+/?3=2,求证：a+b<2.

五'放缩法

思路提示

预证A23,可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得

再利用传递性，达到证明目的,

常见的放缩途径有“添舍”放缩、“分母”放缩和“单调”放缩.

例16.23(2015・安徽卷)设〃GN*,X"是曲线产冽+2+1在点([,2)处的切线与x轴交

点的横坐标.

(1)求数列｛★｝的通项公式；

1

(2)记4="'•M-1,求证：Tn>4〃.

变式1证明：/>(〃+1)"T(〃22,"GN*).

变式2若mb^R,求证：11|〃，产1［同+1［例.

例16.24求证：］<y------1---------------1-------------1-------------<2(a,b.c.dGR+).

a+h+cb+c+dc+d+Qd+a+b

例16.25设C,/72£R+,且满足a"'=//"+c'"，问加取何值时，以a/,c为边可构成

三角形，并判断该三角形的形状.

六'三角换元法

思路提示

2

若f+y2=l,/+匕=1等为已知条件，求证不等式时、利用三角换元法较容易,

2

但是务必注意换元前后参数的范围变化.

例16.26(2017江苏卷)己知ahc,d为实数，且〃2+炉=4<2+砂=16,证明ac+bd<S.

变式1设x,yeR,x2+y2=1,求证：|二+工区』.

3412

七'构造法

思路提示

一般说来，用构造法证明不等式，常见的构造方法如下：

(1)构造辅助函数.

(2)构造辅助数列.

(3)构造几何图形.

11

例16.27设元,ywR,若0<。<一,求证：b-b92<----

ba+1

例16.28己知a,〃,c为三角形的三边长，求证：—<—+—

1+o1+/?1+c

|a+b|<1。1।网

变式1证明:

l+\a+b\1+|«|\+\b\

变式2己知x>0且xwl,m>n>0,求证：工"'+二>工"+].

例16.29证明：当且xwO时，有(1+幻〃21+研(neN*).

例16.30设a,/7,ceR+,求证：v«2+b2+\Jb2+c2+yja~+c2>y/2(a+b+c).

变式1设x,yeR+,求证：\jx2-3x+3+s]y2-3y+3+x2-y/3xy+y2>>/6.

八'利用柯西不等式证明不等式

思路提示

柯西不等式不仅具有优美的代数表现形式及向量表现形式，而且有明显的几何意义，它

与基本不等式具有密切的关系，其作用类似于基本不等式可用来求最大（小）值或证明不等

式，不过它的特点更明显应用更直接.

1.二维形式的柯西不等式

设药,孙如%eR，（—+#）（考+父）4（入]、+>]%）2.等号成立=%%=%2%

2.一般形式的柯西不等式

设q,4,…,a"及"打,…,勿为任意实数，

则（4乙+a2b2H---Fa力“<（a；+a；----Fa；）（/?；+H---卜b；）,

当且仅当幺=&=…=&（规定q=0时。=0,i=1,2,…）时等号成立.

b\b2b„

证法一：当令全为0时，命题显然成立.

否则力«,2>0,考查关于x的二次函数=,显然/（X）20恒成立.

/=1i=\

注意到/（尤）=（，>；）彳2-2（£4四口+£#,而/（x）20恒成立，且fa：〉。，

i=li=l/=1Z=1

故/（幻的判别式不大于零，即4=4（象也）2-4%：5母40,

/=1/=1i=l

整理后得2这她）2.

/=1/=1/=1

证法二：向量的内积证法.

令Q=（4，%,・・・,。“），b=①瓦，…也）,。为〃与力的夹角.

因为a・b=|a||〃|cos（勾帅,且为os〈a,b）区1,所以|a/Ra||力||cos〈6〃）|ga||力|

=>|a'b\~^\a\~\b\~,即（44+a2b2+…+a/”）?—（。；+〃£+•,•+〃；）3：+b；+•••+》：）,

等号成立。9=0°或180°oa,力平行。幺=&=…=%.

瓦b2bn

柯西不等式提示了任意两组实数积之和的平方与平方和之间的关系，应用它可以简单地证明

许多复杂的不等式，下面举例说明.

例16.31已知x,y,z均为实数.

（1）若x+y+z=l,求证：（3x+l+M3y+2+y3z+3W3，5；

（2）若x+2y+3z=6,求x2+y2+z2的最小值.

72^

变式1已知大于I的正数X.Z满足x+y+z=3小.求证:遇短十开品+与石

变式2已知a>0,/?>0,c>0,«cos2^+Z?sin20<c.

求证：V«cos2。+指sin?0<y/c.

3

例16.32设实数满足/+2〃+3/=2，求证：3—“+9-“+27”之1.

2

变式1已知〃eN*,且〃22,求证：—<1--+—-—H--1-------

72342/?-12n2

1-3

变式2已知正实数a,仇c满足而c=l,求证:

n3(Z?+c)b\c+a)c3(a+b)2

最有效训练题61（限时45分钟）

1.不等式|2x-l|<2—3x的解集是（）

A.B.C.D.

2.设47,/?,C£(-oo,0),则aH—,bH-,Cd—()

bca

A.都不大于-2B.都不小于-2C.至少有一个不大于-2D.至少有一个不小于-2

3.若P=&+Ja+7,°=Ja+3+Ja+4(a20),则P,。的大小关系是()

A.P>QB.P=QC.P<QD.由a的取值决定

4.用数学归纳法证明某不等式，左边=1—工+1一4+…+二---“从〃=上到

2342/7-12n

〃=%+1”应