【高中数学】指、对数聚首就用对数恒等式-同构的核心思想

【教学相长】指、对数聚首就用对数恒等式同构的核心思

/本Q/X目•I・I・I

高考导数，是很少考查基本初等函数的，都是将一些基本初等函数通过四则运算后，得到稍复杂的

函数，再设计问题。

当然，复合函数也是考试的一种常态了。

在所有的基本函数中，稍高级些的是不是就是指数和对数函数了呢。

所以，还记得高一时的函数，求值域或最值时，涉及到的函数，往往都是指数或对数函数与其它

函数的复合函数。

而高考，导数的客观题压轴，更多的也侧重于指、对数函数与其它函数的综合函数，甚至于发展到

指对数共存的状况。

这篇推文，也想就这种学生最头疼，而且据说一直是优秀生专利的指对函数共存式问题，做一

些探讨，以期达到大众化的解题思路。

当然，要想很从容地跟上我的思路，首先还是要了解并熟悉下几个准备知识的。

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应知六

个函数

高考中的函数，最常见的，就莫过于下面这六种了。

0/(X)=xex

简析：，'(幻=ex[x+1)1

■1

X(-8,-1)-1(-1,4-00)

f(x)—0+

11

/(X)7

e

-1-*\、.」•Jj

则f(x)2

zn/«ZFJ^4

②fM=7

简析：r(x)=竽八

X(一8,0)(0.1)1(1,4-co)►V

——0+

”4)e7

1*1»**

则当x>0时八幻Ne.1

:三,行》寻=

1、-jr，«ZR口

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3/17

Q

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与指对数函数相关的，还有四条切线，据我的经验，在导数综合题中，也是非常有用的。

由曲线与切线的位置关系，得到的几个不等式，常称为切线不等式，是我们在函数中进行放缩

时最常用不等式。

两条切线不等式：①Inx<x-1,②Inx<\

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②y=/的两条常用切线

，i：y=x+1和l2.y=ex

两条切线不等式：①e*Nx+1,②e*T>x.

Q

熟记

一个恒等式

是不是很多同学都熟悉对数的那些公式呢？就比如下面这几个：

lognM+logaN=loga(MN)

/M\

logaMlogaN=logaJ

m

loganb=—logab

甚至是难得用到却很高大上的换底公式：

这些，也确实都是为大家所熟悉的吧。

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可是，你知道又蹶里，还有一真的很重要很重要的恒等式么？我们一

般称它为对数恒等式的：

al09aX=X

也许你还记得课本中曾经出现的这个公式，但相信你一定是很少会用到它的。

原因很简单，我们平时所见的题中，常规方法就好，是很少需要这尊大神出面来解决问题的。

一般来说，只有当指对数出现在同一个式子中，茅盾实在没法调和时，才会请它出面来解决问

题。

而且，它能很轻易的、完美的就解决了你眼中的难题哦。

主要的原因，是因为这个恒等式，可以很轻易地做到对指数或对数进行改造，达到相互转化的

效果。

xex=lnex,ex=tint-（其中…尤.）

其实，网传的同构；如隅野&余特，“婵豌新昆（其朝缰械浮，达到结构的统

从而通过构造函数解决।赢。一—

说白了，同构的作用，其实就是实现常见统一化的思路。

只是，因为对对数恒等式的不熟悉，感觉统一化的方式较为奇特罢了。下面还是

通过几个典型例题，好好地体会一把吧。

0

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例1.设实数入>0,若对任意的X6(0,+8),不等式

e&-与之。恒成立，则入的取值范围是—・

A

稗：由e&-粤20,海入e">Inx,

见>xlnx=Axe^>elnxlnx,

不场全x啊无)>

f(x)=xef/(4f(lnx\

因为/1(%*((),+⑹上策调遒增，

由题意Ax>0,由阳入汇>btx,即入>，，

因为小<；所以人>-.论.家人家言

xee

例2.若对任意意x>0,不等式2Q/X_inx+ina>o

恒成立，则实数。的最小值为.

解：^2ae2x-Inx+Ina>0,

潺2a/x>i_i即Zac2”>In-

nxncLta

-1X.XX

=2e2x>--In—=2xe2x>—,In-

aaaa

xx

=>2xe2x>eln«-In-

a

国为x>0,由/(x)=xe"倏质，潺2x>In-,

即2x>Inx-Ina=Ina>Inx-2x

而(lux-2x)=—2,易售"n%—2,xWIn奈/素百

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例3.已知a<0,不等式无。+1-ex+alnx>0对任意的

实数x>1都成立，则实数。的最小值是.

解：由"+1•ex+alnx>0,5#xa+1-ex>-alnx,

一,Y-

JWe>--a-l-n-x-=---ln-x-0--

~*a+l加+1

11

,ix、Inx1.1ln—t1

=xe>----X-a-——X"In—xa=eIn—xa,

由f(x)-xe"嵯质，粕x>In=-alnx,

因为。<0,啊—>—,

ax

Inx_1一..11_~

又—<一,所以—>-%二素人衰言

xeae>—e.

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例4.设实数m>0,且不等式

x-¥m

mxlnx—(x4-<。对x>0恒成立,

则m的最大值为一.

x+m

薜：由mxlnx-(x+m)e~<0

x+m

博：mxlnx<(x4-m)e~^

.x+m

=>elnxlnx<-------em

m

由/(x)=xe”的性质，39-lnx<上土

/nr—1-o

易知y=—L在X=e?处或将最大值方

阳L>g即m的最大值为e2也豪J衰百

mez

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j例6.若对任意x>0都有。(e"+1)N2(x+：)加x成

立，则实数。的最小值为―.

解：由a(e"+1)221+

海。式054-1)>2(x2+l)lnx

inax(e^4-1)>(x2+l)lnx2.

=>(eax+l)lne^>(x2+l)Znx2......①

9yX1

个/(x)=(x+(x)=Inx+—

=：_*=**，(x)(1)=2>0

故/(五)在(0,+oo)XMMM«,

由①厚：/(e")2/(x2),WeflX>x2

.._2lnx_Jmr,1一一、2

从而Q>----因为---W所以QN

xxee

2

即Q的最小值为品涓

：e

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例/.已知是图数=忏e—+inx-2时等总,

则©2』+仇X。的值为

解：由f(x)=x2ex~2+Inx-2=0

2

2x22e

^xe~=2-Inx=Ine-Inx=In—X

222

xe.eIn—,e

Ppxe=—XIn—X=Xe*In—

个虱X)=xe",则g(x)=g(仇9)，

因为g(x)在(0,+8)上单,递增，

2

所以x=In—e=2-即e^T=

Xx

出题甩/T。=XQ,

所以、七录人奇百

e2ro+lnx0=x0+lnx0=2.

例8.函数ro)=xc”一九一Ex的最小值为_.

解.f(x)=xex-x-Inx=e,nx+r-x-Inx

由切线不等式e*>x+1,i^ex+lnx>x4-/nx+1,

所以/(x)=xex-x-Inx=elnx+x-x-Inx>1.

有且IX直x+Inx=0时双号号.

所以ro)的最小值为i.港素木

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j例9.已知函数fO)=aex-Inx-1,若，(x)>0恒成

立，则实数。的取值范围为.

薜：由/(%)>0,

盯海。铲>Inx+1=ln(ex),

=>ae-xex>ex-ln(ex)

=ae•>e,n(ex)/n(ex).....©

宙切或不¥或，海!n(ex)=Znx+1<x,

由y=xexKtBt,^ax-1>/n(ex)-e/n(cx)

敢由①夫慎成五，谬ae21,%Q2乙系/套高

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例10.证明：彳一丝空立一W+1N0.

e*x+1x+1

证明：土一蛇乂一3+

e*x+1x+1

(x2+x)-2exln(x2+x)

ex(x+1)x+1

—^-^-Zn(x2+x)+x-l

x+1[ex''

1Fg/nf^+x)

——-——-------/n(x2+x)+x-1

x+1ex

=[g/n^+xj-x_/n(x2+%)+为_1]

>-----[ln(x2+x)-x+1-ln(x2+x)+x-1]

AC1

大;崇人家百

=0n

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洌彳［巨如函数a1nx二若示相£......

f(x4-1)>ax-2e”在xG(0,+8)上恒成立,

则实数。的取值范围是—・

解：jy/(x+1)>ax-2ex,

J*：a!n(x+1)-2(x4-1)>ax-2ex

IFaln(x4-1)-2e,n(x+1)>ax-2ex

|=ax-2e。则g(ln(%+1))>g(x)......①

由切线不*或bi(%+1)<茗

阳由①将：g(x)在%E(o,+8)上单词遂取，

放g，(x)-a-2ex<0,

IB0x