八年级下册数学旋转压轴题（学生版+解析版）

八下旋转压轴题

一.等腰的旋转应用（共6小题）

1.如图，在凸四边形ABCQ中，NBAQ=NBCQ=120°,BC=CD=12的，则线段AC的长等于cm.

2.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，Oi，02是其中两个正方形的对角线交点，若把这样的"

个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为.

3.如图，四边形A8CO中，AC,8。是对角线，△ABC是等边三角形，/A3C=30°,AD=4,BD=5,

则CD的长为.

25-73

4.如图'点/）为等边AABC外一点，2亦=6。。,连接即，若43=8,△88的面积为不一‘则

BD的长为.

♦D

B

5.如图，在RtZVlBC中，ZC=90°,NA=30°，点P在AC边上，以点P为中心，将AABC顺时针旋

转90°,得到△OEF,OE交边AC于G,当P为中点时，AG：CG的值为

6.如图，点P为定角NAOB的平分线上的一个定点，且NMPN与NAOB互补，若NMPN在绕点P旋转

的过程中，其两边分别与。4OB相交于M、N两点，则以下结论：(1)恒成立；

(2)OM-ON的值不变；

(3)ZSOMN的周长不变；

(4)四边形PMON的面积不变，

其中正确的序号为-

7.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(1,0),B(3,0),点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段抬

为边在PA的右上方作等边△4PQ,连接QB,在点P运动的过程中，线段QB长度的最小值为.

8.如图，△ABC中，AB=8,AC=5,8C=7,点。在AB上一动点，线段CO绕点C逆时针旋转60°得

到线段CE,则线段BE的最小值为

9.如图，在△48C中，ZACB=90°,BC=2,NA=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转120°,若P为

4B上一动点，旋转后点P的对应点为点P,则线段P产长度的最小值是（）

C.3D.2V3

10.已知等边△ABC的边长为4,点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ,

点。是AC边的中点，连接OQ,则。。的最小值是.

,NACB=90°,BC=2,。是A8上的动点，将线段CC绕点C逆时针

旋转90°,得到线段CE,连接BE,则BE的最小值是（)

C.V3D.2

12.如图，正方形A8CD的边长为2,E为8C上一点，且8E=1,广为AB边上的一个动点，连接E几

以E尸为底向右侧作等腰直角△EFG,连接CG,则CG的最小值为.

13.如图所示，RtZ\4BC中，N8=30°,AC=6，点M为8C中点，将△ABC绕点C旋转，N为AB

中点，则线段的V的最小值为（）

1-31V3-1

A.—B.V3—~C.一D.-------

2252

14.如图，等边△A8C中，BC^12,。为8c的中点，E为△ABC内一动点，DE=2,连接AE,将线段

AE绕点4逆时针旋转60°得AF,连接£＞尸，则线段。尸的最小值为.

BD

15.在RtZ\ABC中，NACB=90°,将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△4'B'C,点M是8C的中

若BC=2,ZA=30°,线段PM长度的最大值是.

16.如图，△ABC是等边三角形，且A8=l,点M为直线8c上的一个动点，连接AM,将线段4M绕4

点顺时针旋转60°至AQ,点N为直线AC上的一个动点，则。、N两点间距离的最小值为.

17.如图，在平面直角坐标系中，4(-3,0),点8是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作

等边△ABP,点8在y轴上运动时，连接OP,求OP的最小值.

18.如图，RtAABC中，4B=4C=8,BO=点例为BC边上一动点，将线段0M绕点。按逆时针

方向旋转90°至ON,连接AMCN,则周长的最小值为.

BMC

19.如图，已知线段A8=4,。为48的中点，P是平面内的一个动点，在运动过程中保持OP=1不变,

连接BP,将PB绕点P逆时针旋转90°到PC,连接BC、AC,则线段AC长的最大值是.

三.类费马点问题（共8小题）

20.如图，点尸是等边三角形ABC内一点，且抬=3,PB=4,PC=5,若将△APB绕着点B逆时针旋转

后得到△CQ8,则NAP8的度数.

21.已知，P为等边三角形ABC内一点，PA=3,PB=4,PC=5,则SzviBC=

22.如图，P是等边三角形ABC内一点将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ,连接BP若见=2,

PB=4,PC=2V1则四边形AP8Q的面积为.

23.如图，P是等边△ABC内一点，PA=4,PB=2®PC=2,则aABC的边长为

A

B'

24.如图，点P是正方形ABC。内一点，且点尸到点4、B、C的距离分别为2次、或、4,则正方形ABCO

的面积为

25.问题探究

将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换.旋转变换是几何变换的一

种基本模型.经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现.题设和结论中的元素由分散变为集中，相

互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化.

问题提出：如图是边长为1的等边三角形,P为aABC内部一点，连接以、P8、PC,求出+P8+PC

的最小值.

图1图2图3图4图5

方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为

折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）.

问题解决：如图2,将48以绕点8逆时针旋转60°至连接尸P、A'C,记A'C与A8交于点

D,易知ft4'=R4=BC=l,ZA'BC^ZA'BA+ZABC=nO°.BP'=BP,NPBP=60°,可知△P'BP

为正三角形，有PB=P'P.

故P4+PB+PC=P,A+P,P+PC>A,C=y/3.因此，当P\P、C共线时，PA+PB+PC有

最小值是火.

学以致用：（1）如图3,在△ABC中，/8AC=30°,AB=4,C4=3,P为△ABC内部一点，连接力、

PB、PC,则%+P8+PC的最小值是.

（2）如图4,在△ABC中，ZBAC=45Q,AB=20,CA=3,P为△ABC内部一点，连接以、PB、

PC,求夜PA+PB+PC的最小值.

（3）如图5,P是边长为2的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点,连接PA.PD、PQ,求PA+PD+PQ

的最小值.

26.如图，P为正方形ABCD内的动点，若48=2,则附+P8+PC的最小值为.

27.如图，ZvlBC中，乙4BC=30°,AB=5,BC=6,P是△ABC内部的任意一点，连接以、PB、PC,

则PA+PB+PC的最小值为.

A

八下旋转压轴题

参考答案与试题解析

等腰的旋转应用（共6小题）

1.如图，在凸四边形A3C。中，ZBAD=ZBCD=12O°,BC=CD=l2cm,则线段AC的长等于12cm.

【解答】解：连接AC,

VZBAD=ZBCD=120°,BC=CD,

・••把△AC。绕点。按逆时针方向旋转120。得到△EC3,使8与3c重合，连接AEBD,

：.AACD^AECB,ZACE=120°,

：.AC=EC,BE=AD,/CBE=ND,

t：ZBAD=ZBCD=nO°,

AZABC+ZD=\20°,

ZABC+ZCBE=l20°,即NABE=120°,

・•・NABE=NBAD.

在△ABE和△BA。中，

AB=BA

Z-ABE=乙BAD,

BE=AD

：.(SAS),

・•・NBAE=ZABD；

•:BC=CD,ZBCD=nO°,

：.ZCBD=ZCDB=30°,

VAC=EC,ZACE=120°,

・・・NCAE=NCE4=30°,

ZABC=ZABD+30°,ZBAC=ZBAE+300,

:.ZABC=ZBAC,

••AC=BC—12(777.

E

故答案为：12.

2.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，。|,。2是其中两个正方形的对角线交点，若把这样的〃

个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为〃-1.

【解答】解：连接。山、O1G如图：

•••N801F+N尸。。=90°,ZFOiC+ZCOiG=90°,

：.ZBO\F=ZCO}G,

四边形ABCD是正方形，

：.ZO\BF=ZO\CG=45Q,

在aoiB/和aoiCG中，

(40道=ZTO1G

］幽=CO1，

(4FBOi=乙GCO、

.,.△OiBF^AOiCG(ASA),

1

・・・O1、。2两个正方形阴影部分的面积是7s正方形=1,

4

1

同理另外两个正方形阴影部分的面积也是一S防彩=1,

4

.♦•把这样的〃个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为(n-1).

故答案为：n-1

3.如图，四边形ABC。中，AC、8。是对角线，ZVIBC是等边三角形，ZADC=30°,AD=4,BD=5,

则CD的长为3

【解答】解：如图所示，将△BC。绕点C顺时针旋转60°得到△4CE,连接CE,DE,

由旋转的性质知。C=EC,ZDCE=ZACB=f>0°,BD=AE=5,

则△£>CE为等边三角形，

VZADC=30°,

：.ZADE=90°,

.\42+Z)E2-52,

：.DE=CD=3.

故答案为3.

*7二/Q

4.如图’点。为等边△4区外一点，ZADC=60»,连接m若短=8'谶。的面积为丁’则

BD的长为_"^_.

【解答】解：将△88顺时针方向旋转60°至△ACE,连接OE,过点E作EF_LA。，交A£）的延长线

于点F,

:,CD=CE,NECD=60°,

・・・△COE为等边三角形，

/.ZCDE=ZCED=ZECD=60°,

VZADC=60°,

:./ADC=/ECD,

J.AD//CE,

•・•将△88顺时针方向旋转60°至△ACE,

S/\BCD=S/\ACEf

_c_25总

,•3ACDE—、4BCD—―-»

VZADC=ZCD£=60",

/.ZEDF=60°,

在RtZXFDE中，设。尸=a,RiJEF=y/3a,DE=CE=2a,

SACDE=x2axV3a=

解得：a=£

.•.EF=学,

■：AD=S,

・・・AF=8+/5长21,

：.AE=>JAF2+EF2=V129,

：.BD=AE=V129.

故答案为：AA129.

5.如图，在RtZVlBC中，ZC=90°,NA=30°，点P在AC边上，以点P为中心，将AABC顺时针旋

V3-1

转90°,得到△£>£下,OE交边AC于G,当P为中点时，AG：QG的值为.

D

【解答】解：设BC=x,

在RtZXABC中，乙4=30°,

.'.AB=2x,AC=A/SJC,

•.•点尸是AC中点，

/.PC=PA=^-x,

由旋转得，DP=1DF=1AC=^X,DG=^DE=^AB^X,

根据勾股定理得，PG=勾DG2—DP2=Jx2—（当1尸=%,

：.AG=AP-PG=堤-%，

DGX22

上心心以“V3-1

故答案为~~~•

6.如图，点P为定角NAOB的平分线上的一个定点，且NMPN与NA08互补，若NMPN在绕点P旋转

的过程中，其两边分别与OA、0B相交于M、N两点，则以下结论：(1)RW=PN恒成立；

(2)0M-ON的值不变：

(3)△OMN的周长不变；

(4)四边形PMON的面积不变，

其中正确的序号为(1)(4).

【解答】解：如图作PE_LOA于E,PF_LOB于F.

•.•/PEO=/PBO=90°,

：.ZEPF+ZAOB=]SOC,,

'：ZMPN+ZAOB=\W°,

NEPF=NMPN,

：.NEPM=ZFPN,

,：OP平分乙408,PELOA于E,PFLOB于F,

：.PE=PF,

在△POE和△POF中，

(OP=OP

(PE=PF'

ARtAPOE^RtAPOF(HL),

：.OE=OF,

在APEM和△PFN中，

(/MPE=/NPF

IPE=PF>

3PEM=乙PFN

：./\PEM^/\PFN(ASA),

:.EM=NF,PM=PN,故(1)正确,

：，SAPEM=S/\PNF，

四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故（4）正确，

,：OM-ON=OE+EM-（OF-FN）=2EM,不是定值，故（2）错误，

,：OM+ON=OE+ME+OF-NF=20E=定恒,

在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是

变化的，所以△OWN的周长是变化的，故（3）错误，

故答案为（1）（4）.

二.瓜豆原理（共13小题）

7.如图，在平面直角坐标系X。），中，A（1,0）,B（3,0）,点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段布

为边在用的右上方作等边△APQ,连接QB,在点P运动的过程中，线段。3长度的最小值为2.

【解答】解：如图，将△ABQ绕点A逆时针旋转60°到△ACP,连接8C,

：.AB=AC,BQ=PC,ZPAQ=ZBAC,

,/△ABC是等边三角形

.•./B4Q=/BAC=60°,

ZVIBC是等边三角形，

(1,0),B(3,0),

/.AB=3-1=2,

：.C(2,V3),即点C是定点，

.•.当PC最小时，8Q最小，

.•.当轴时，PC最小，最小值是2,

线段QB长度的最小值为2.

故答案为：2.

8.如图，△ABC中，AB=8,AC=5,BC=7,点。在A8上一动点，线段CZ）绕点C逆时针旋转60°得

3V3

到线段CE,则线段BE的最小值为十.

【解答】解：如图，以BC为边作等边△BC7',过点T作TH±AB于H,过点C作CK1AB于K,设

CT交AB于点J.

ZECD=ZBCT=60°,

:.NECB=NDCT,

"：CE=CD,CB=CT,

：./\ECB^/\DCT(SAS),

：.BE=DT,

当点。与H重合时，OT的值最小，此时BE的值最小，最小值=777的长,

"：CKLAB,

：.CK2=AC2-Ad=Bd-8K2,

A52-A^2=72-(8-AK)2,

；.AK=|,

：.AC=2AK,

c/o

AZACK=30°,NA=60°,CK=^AK=签,

ZBCJ=ZA=60°,/CBJ=/ABC,

BCBJ

BA-BC

49

：.BJ=豆’

■:BK=AB-AK=苛,

…一4911_5

••©=JCK2+JK2=J(岁)2+($2=率

3521

：.JT=CT-CJ=7-詈=全

•：THLAB,CK_LA3,

J.TH//CK,

.THTJ

••~，

CKC]

21

・TH~8

‘研二宜

~2~8

A777=

•BE的最小值为

解法二：如图，过点。作于“，在C”的右侧作等边△C”G,连接EG,延长EG交AB于尸.

VZECD=ZHCG=60°,

:・/ECG=/DCH,

■:CE=CD,CG=CH,

・••△CGEqdCHD(SAS),

:・NCGE=NCHD=9C,

；・/FHG=NFGH=30°,

:・/EFB=NFHG+NFGH=60°,

・••点E在直线E尸上运动，当BELEF时，3E的值最小,

设A"=x,则有52-/=72-(8-x)2,

._5

••八一之，

：.AH=BH=S，CH=挈,HF=&,

：.BF=AB-AH-HF=3,

：.BE的最小值=BF・sin60°=等.

9.如图，在△48C中，ZACB=90°,BC=2,NA=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转120°,若P为

4B上一动点，旋转后点P的对应点为点P,则线段PP'长度的最小值是（）

C.3D.2V3

【解答】解：如图，过点C作C7/LPP于”,

,/将△ABC绕点C顺时针旋转120°,

；.NPCP=120°,CP=CP',

：.ZCPP'=30°,

■:CHLPP',

:.CH=；PC,PH=P'H=y/3CH=字PC,

：.PP'=6PC,

.•.当PC_LA8B寸，PC有最小值，即PP有最小值,

此时，PC=\[3PB=^BC=V3,

线段尸P长度的最小值=V3xV3=3,

故选：c.

10.已知等边△ABC的边长为4,点P是边BC上的动点，将△A8P绕点4逆时针旋转60°得到△4C。,

【解答】解：如图，由旋转可得N4CQ=N8=60°,

又,../ACB=60°,

.•./2CQ=120°,

♦.•点。是AC边的中点，

：.CD=2,

当。QLCQfl寸，。。的长最小，

此时，ZCDQ=3Q°,

；.CQ=|CD=1,

：.DQ=V22-I2=V3,

二。。的最小值是遍，

故答案为K.

11.如图，△ABC中，/A=30°,/ACB=90°,BC=2,。是AB上的动点，将线段CC绕点C逆时针

【解答】解：如图，过点C作CKL4B于K,将线段CK绕点C逆时针旋转90°得到C“，连接”E,

延长HE交AB的延长线于J.

■:NDCE=NKCH=90°,

NDCK=ZECH,

,:CD=CE,CK=CH,

：./\CKD^/\CHE(SAS),

；.NCKD=NH=90°,

〈NCKJ=NKCH=/H=90°,

四边形CKJH是矩形，

"：CK=CH,

四边形CKJH是正方形，

.•.点E在直线HJ上运动，当点E与1/重合时，8E的值最小，

在RtZXCBK中，•:BC=2,/ABC=60°,

.*.CK=BC.sin60°=V3,BK=BC・cos60°=1,

：.KJ=CK=y/3

：.BJ=KJ-BK=>/3-l,

的最小值为V5-1,

补充方法：4c上截取C尸=2,得三角形CFO全等于三角形C8E,。尸在。尸垂直AB时最小.

故选：A.

12.如图，正方形ABCD的边长为2,E为8c上一点，且8E=1,尸为AB边上的一个动点，连接E凡

以EF为底向右侧作等腰直角△EFG,连接CG,则CG的最小值为

【解答】解：如图1,过点G作GPL4B于点P,GQLBC于点Q,连接

D

根据题意知，ZABC=90°,NPGQ=90°.

.・・ZPGF+ZFGQ=ZQGE+ZFGQ=90°.

：.ZPGF=ZQGE.

又•••△EFG是等腰直角三角形，且NFGE=90°,

:・GF=GE.

在AGPF与AGQE中,

(ZGPF=ZGQE=90"

JZ.PGF=乙QGE'

IGF=GE

：./\GPF^/\GQE(AAS).

1

GP=GQ,NGBP=NGBE=今/ABC.

.•.点G在B。所在的直线上运动.

为A8边上的一个动点，如图2,

图2

当点尸与点B重合时，点G的位置如图所示.

当点尸与点A重合时，记点G的位置为G".

点G的运动轨迹为线段GG”.

过点C作CG'LBD于点、G'.

：.\CG\min=CG'=±BD.

•.•正方形ABC。的边长为2,

：.BD=2yf2.

\CG\min=V2.

故答案是：V2.

13.如图所示，RtZ\A5C中，N3=30°,AC=遍，点M为BC中点，将△ABC绕点C旋转，N为AiBi

中点，则线段MN的最小值为（）

1

【解答】解：如图，连接CM

在Rt^ABC中，VAC=4,/8=30°,；.AB=24C=2V5,BC=V14C=3,

13

•；CM=MB=扣。=热

■:AiN=NBi，：.CN=^A\B\=V3,

■:MN-CN-CM,

AW>V3-|,即MA々百一I，

MN的最小值为百一I，

故选：B.

14.如图，等边△ABC中，8c=12,D为BC的中点，E为AABC内一动点，DE=2,连接AE,将线段

AE绕点A逆时针旋转60°得AF,连接。F,则线段QF的最小值为.6V3-2

「△ABC是等边三角形，点。是BC中点，

BO=CO=6,ADLBC

：.AD=7AB2-BD2=6V3,

..,将线段AE绕点4逆时针旋转60°得AF,

：.AE=AF,ZE4F=60°,

，/\AEF是等边三角形，

：.AE=EF,ZAEF=6Qa,

•:ADEG是等边三角形

：.DE=EG=3,NGED=60°=NAEF

NAEG=NFED,

在△AEG和△FED中，

(EA=EF

\z.AEG=乙FED,

(EG=ED

：./\AEG^/\FED(SAS'),

：.DF=AG,

'：AG^AD-DG,

当点A,点G,点。三点共线时，AG值最小，即。尸值最小,

DF最小值=4。-DG=6V3-2,

故答案为：6V3-2.

15.在RtZXABC中，NACB=90°,将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△4'B'C,点M是8C的中

点，点P是A'B'的中点，连接PM.若BC=2,ZA=30°,线段PM长度的最大值是3.

：.AB=A,

根据旋转不变性可知，A'B'=A8=4,

.♦.A'P=PB',

：.PC=^A'B'=2,

•：CM=BM=T,

又；PMWPC+CM,即PMW3,

...PM的最大值为3（此时P、C、M共线）.

故答案为：3.

16.如图，△ABC是等边三角形，且AB=1,点”为直线BC上的一个动点，连接AM,将线段AM绕A

点顺时针旋转60°至AO,点N为直线AC上的一个动点，则。、N两点间距离的最小值为

2

【解答】解：如图，过点B作于”，连接。M,DB,

1

：.AH=HC=AB=AC,N8AC=60。,

：.BH=yjAB2-AH2=1另=g,

y42

,/将线段AM绕A点顺时针旋转60°至AD,

：.AD=AM,ND4M=60°=NBAC,

.".ZMAC^ZDAB,S.AB=AC,AD^AM,

：./\ABD^AACM(SAS)

...NABC=NACB=60°,

点D在/A8c的外角的平分线上，

VZABD=ZBAC=60°,

：.AC//BD,

.,.当ONLAC时，I)、N两点间距离的最小值为BH=停，

故答案为：三.

17.如图，在平面直角坐标系中，A(-3,0),点B是)，轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作

等边△A8P,点B在y轴上运动时，连接OP,求OP的最小值.

【解答】解：如图，以OA为对称轴作等边△AOE,连接EP,并延长EP交x轴于点凡

y

ZAED=60°,

：.A0=V3OE=3,

0E=V3,

AADE和△A3P是等边三角形，

：.AB=AP,AD=AE,NBAP=NDAE=60°,

：.ZBAD=ZPAEt

在aAOB和△4£P中，

AB=AP

Z-BAD=/-PAE

AD=AE

：./\AEP^/\ADB(SAS),

ZAEP=ZADB=\2Q0,

AZOEF=60°,

：・OF=WOE=3,NO尸E=30。,

・•・点尸在直线E尸上运动，

当OP_LE/时,。尸最小，

13

：.OP=^OF=^

则OP的最小值为|,

18.如图，Rt/VLBC中，AB=AC=8,2。=点M为BC边上一动点，将线段0M绕点。按逆时针

方向旋转90°至ON,连接AN、CN,则△CAN周长的最小值为8+4/1U.

【解答】解：如图，作8c于H,NJLOH于J.

"：AB=AC,NBAC=90°,

AZABC=45°,

,/于”，

：.OH=BH,

'：0B=^AB,AB=8,

：.OB=2,

：.0H=BH=y/2,

•：OM=ON,NOHM=NNJ0=9G°,ZNOJ=ZOMH,

：./\OHM^/\NJO(AAS),

：.JN=OH=V2,

.••点N的运动轨迹是直线（该直线与直线O"平行，在。〃的右侧，与0〃的距离是近，

作点C关于该直线的对称点C',连接AC'交该直线于N',连接CN',此时△ACN'的周长最小,

作AG_LBC于G.

在Rt^AGC'中，AC=J(4V2)2+(8V2)2=4710,

△ACN的周长的最小值为8+4V10.

故答案为8+4-/10.

19.如图，已知线段AB=4,。为AB的中点，P是平面内的一个动点，在运动过程中保持OP=1不变,

连接BP,将PB绕点P逆时针旋转90°到PC,连接BC、AC,则线段AC长的最大值是泛

【解答】解：如图所示：过点C作。。J_y轴，垂足为。，过点P作PEJ_£>C,垂足为E,延长EP交X

轴于点F.

•・・AB=4,。为A3的中点，

・"(-2,0),B(2,0).

设点P的坐标为(x,y),则/+尸=1.

•；NEPC+NBPF=90°,/EPC+/ECP=9G°,

：.ZECP=ZFPB.

由旋转的性质可知：PC=PB.

/ECP=ZFPB

在△ECP和△尸PB中，乙PEC=乙PFB，

、PC=PB

:・XECP义XFPB(A4S).

：.EC=PF=yfFB=EP=2-x.

AC(x+y,>H-2-x).

9：AB=4,。为A3的中点，

/.i4C=J(x+y+2)2+(y+2—=^2x2+2y2+8y4-8.

,.，X2+/=1,

：.AC=710+8y.

Y-0W1,

：.y/2SACW3V2.

线段AC长的最大值是3位，

当故答案为：3V2.

三.类费马点问题（共8小题）

20.如图，点尸是等边三角形ABC内一点，且布=3,PB=4,PC=5,若将△APB绕着点B逆时针旋转

后得到△CQ8,则NAP8的度数150°

【解答】解：连接PQ，由题意可知aABP丝△CBQ

则QB=P8=4,ft4=QC=3,NABP=NCBQ,

AABC是等边三角形，

AZABC=ZABP+ZPBC=60°,

:.NPBQ=NCBQ+/PBC=60°,

：./\BPQ为等边三角形，

：.PQ=PB=BQ=4,

又."。=4,PC=5,QC=3,

：.PQ2+QC2=PC2,

：.ZPQC=90°,

:ABPQ为等边三角形,

ZBQP=60°,

ZBQC=ZBQP+ZPQC=150°

ZAPB=ZBQC=\50Q

C

25V3+36

21.己知，P为等边三角形ABC内一点，以=3,PB=4,PC=5,则SAABC=

------4------

【解答】解：♦.•△ABC为等边三角形，

：.BA=BC,

可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA,

连EP,且延长8P,作AFJ_BP于点F.如图,

：.BE=BP=4,AE=PC=5,NPBE=60°,

...△BPE为等边三角形，

：.PE=PB=4,ZBP£=60°,

在AAEP中，AE=5,AP=3,PE=4,

：.AE1=PE2+PA2,

.♦.△APE为直角三角形，且NAPE=90°,

AZAPB=90Q+60°=150°.

AZAPF=30°,

,在直角AAP尸中，AF=^AP=I，PF=^AP=

ofo23

・・.在直角族中‘盘=8产+婚=(4+4)+(-)2=25+12叵

二AABC的面积=冬482=字（25+12g）=25^+36

25^+36

故答案为:

4

22.如图，P是等边三角形ABC内一点将绕点4顺时针旋转60°得至连接8P若以=2,

PB=4,PC=2®则四边形APB。的面积为3次.

【解答】解：如图，连接P。.

△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ,

：.AP=AQ=2,PC=BQ=26,ZPAQ=6Q°,

是等边三角形，

：.PQ=PA^2,

•；PB=4,

：.PB2=BQ^+PQ1,

...NPQB=90°,

；.S1M形APBQ=SAPBQ+SAAPQ="。3+空•A=|x2X2V3+^x4=3遮，

故答案为3V3.

23.如图，P是等边△4BC内一点，PA=4,PB=2^3,PC=2,则△ABC的边长为2币.

【解答】解：作B4LPC于H,如图,

:△ABC为等边三角形，

J.BA^BC,N4BC=60°,

.•.把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD,连接PD,如图,

：.CD=AP=4,BD=BP=2®ZPBD=60°,

:./\PBD为等边三角形,

：.PD=PB=2y/3,ZBPD=60Q,

在△POC中，PC=2,PD=2®CD=4,

：.PC2+PD2=CD2,

...△PCD为直角三角形，ZCPD=90°,

：.ZBPC^ZBPD+ZCPD=\50Q,

；.NBPH=30°,

在中，ZBPH=30°,PB=28，

:.BH=3PB=痘,PH=V3BH=3,

：.CH=PC+PH=2+3=5,

在中，Bd=BH2+CH2=（V3）2+52=28,

：.BC=2y/7,

故答案为：2v7

24.如图，点P是正方形A8CO内一点，且点尸到点A、B、C的距离分别为2次、鱼、4,则正方形48CZ)

【解答】解：如图，将△4BP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM,连接PM,过点B作于H.

DC

♦:BP=BM=a,NPBM=90°,

，PM=42PB=2,

VPC=4,PA=CM=25

：.PC2=CM2+PM2,

：.ZPMC=90Q,

•・・NBPM=NBMP=45°,

AZCMB=ZAPB=135°,

；・/APB+NBPM=180°,

AA,P,M共线，

■:BH1PM,

:・PH=HM,

:・BH=PH=HM=1,

・"H=2次+1,

：.AB2=AH2+BH2=(2>/3+1)2+l2=14+4V3,

・•・正方形ABC。的面积为14+4^3.

解法二：连接AC,利用勾股定理求出AC即可.

故答案为14+4V3.

25.问题探究

将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换.旋转变换是几何变换的一

种基本模型.经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现.题设和结论中的元素由分散变为集中，相

互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化.

问题提出：如图lAABC是边长为1的等边三角形,P为△4BC内部一点，连接以、P8、PC,求力+PB+PC

的最小值.

B

图1图2图3图4图5

方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为

折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）.

问题解决：如图2,将43%绕点8逆时针旋转60°至△3P4,连接PP、A