2023年中考数学总复习专项突破-关于圆的切线的证明题

2023年中考数学总复习专项突破一关于圆的切线的证明题

1.如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,点D在BC边上，0D经过点A和点B且与BC

边相交于点E.

(1)求证：AC是。D的切线；

(2)若CE=2V5,求。D的半径.

2.如图，AB为。。的切线，B为切点，过点B作BC104,垂足为点E,交。。于点C,连接

CO,并延长CO与AB的延长线交于点D,与。0交于点F,连接AC.

(I)求证：AC为。。的切线：

(2)若。0半径为2,OD=4.求阴影部分的面积.

3.如图，AB为。O直径，CD为。O的一条弦，AB与CD交于点M,点E在AD的延长线上，且

ZBED=ZACD.

(1)判断BE与。0的位置关系，并说明理由；

(2)若CD〃BE,AC=4V5,AM=CD,求BD的长.

4.如图，在R3ABC中，ZACB=90°,以直角边BC为直径的。O交斜边AB于点D.点E为边

AC的中点，连接DE并延长交BC的延长线于点F.

(1)求证：直线DE是。O的切线；

(2)若NB=30。，AC=4,求阴影部分的面积.

5.AB是。O的直径，ZDAB=22.5°,延长AB到点C,使得NACD=45。.

(1)求证：CD是。O的切线;

(2)若AB=2近，求BC的长.

6.如图，四边形ABCD内接于。O,BD是。O的直径，过点A作AELCD,交CD的延长线于点

E,DA平分NBDE.

(1)求证：AE是。O的切线;

(2)已知AE=8cm,CD=12cm,求。O的半径.

7.如图，在口ABCD中，ND=60。，对角线ACLBC,。0经过点A,B,与AC交于点M,连接

AO并延长与。O交于点F,与CB的延长线交于点E,AB=EB.

(1)求证：EC是。O的切线；

(2)若AD=2b，求扇形OAM的面积(结果保留兀).

8.如图，在RSABC中，NC=90。，点D,E,F分别在AC,BC,AB边上，以AF为直径的。O

恰好经过D,E,且DE=EF.

(1)求证：BC为。O的切线;

(2)若/B=40。，求/CDE的度数；

(3)若CD=2,CE=4,求。O的半径及线段BE的长.

9.如图，在△ABC中，ZBAC=90°,以点A为圆心作。A与BC相切于D,交AB于点F,在BC

上取点E,使CE=AC,连接EA,EF.

(1)求证：EF是。A的切线；

(2)若BE=5,EF=4,求点C到EA的距离.

10.如图，在AABC中，BC=AC,以BC为直径的00与边AB相交于点D,与边AB

相交于点F，DELAC,垂足为点E,连接。。.

(1)求证：0E与。。相切；

(2)若4E=2,。。的半径R=4,求DE的长.

11.如图，在。。中，AB是直径，弦CD1AB,垂足为H,E为BC上一点，F为弦

DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G,连接AE交CD于点P,若

FE=FP.

(1)求证：FE是。。的切线;

⑵若。。的半径为8,sinF=|,求BG的长.

12.已知：如图，AB为。0的直径，AB1AC,BC交。0于D,E是/C的中点，ED

与AB的延长线相交于点F.

(1)求证：0E为。。的切线；

(2)求证：DF2=BFAF.

13.RtAABC中，ZACB=90°,AC：BC=4：3,O是BC上一点,。。交AB于点D,交BC延

长线于点E.连接ED,交AC于点G,且AG=AD.

(1)求证：AB与。0相切;

(2)设。O与AC的延长线交于点F,连接EF,若EF〃AB,且EF=5,求BD的长.

14.已知：如图，在矩形ABCD中，若CD=5,以。为圆心，DC长为半径作。。交CA

的延长线于E,过。作OF_LAC,垂足为F,且DF=3.

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)求AE的长.

15.如图，在△ABC中，AB=AC,。为BC的中点，AC与半圆O相切于点D.

(1)求证：AB是半圆O所在圆的切线；

(2)若cos/ABC=|,AB=12,求半圆O所在圆的半径.

16.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,以ZC为直径的。O与BC交于点D,DE1

AB,垂足为E,ED的延长线与AC的延长线交于点F.

(I)求证：DE是。O的切线.

(2)若。0的半径为4,zF=30°,求DE的长.

答案解析部分

L【答案】(1)证明：连接AD,

・・'AB=AC,ZBAC=120°,

AZB=ZC=30°,

VAD=BD,

AZBAD=ZB=30°,

/.ZADC=60°,

JZDAC=180°-60°-30°=90°,

JAC是。D的切线；

(2)解：连接AE,

・「AD=DE,NADE=60。，

・・.△ADE是等边三角形，

，AE=DE,NAED=6()。，

・・・NEAC=NAED-ZC=30°,

AZEAC=ZC,

・・・AE=CE=2V3,

・・・G)D的半径AD=2V3.

2.【答案】(1)解：如图，连接OB,

「AB是。。的切线，

：.0B1AB,即乙4BO=90。，

；BC是弦，0ZJ.8C,

/.CE=BE,

'AB=AC

：.AC=AB,在和△AOC中，AO=AO,

BO=CO

：.△AOB三AAOC(SSS),

.•.乙4co=^ABO=90°,即AC1OC,

r•AC是。。的切线；

(2)解：在RMB。。中，

22

由勾股定理得，BD=\/OD-OB=2V3，SAB0D=2x2V3x1=2b,

在RtABOD中，ADB0=90°,

.cccOB21

••cosZ-BOD==4=1，

"BOD=60°,

・r_60°TTX4_27r

,•、扇BOF=360。=T,

:,S阴影=S"OD-S扇BOF=28-竽.

3.【答案】（1）解：BE与。O相切.理由：VZBED=ZACD,NACD=NABD,AZABD=

ZBED.•rAB为。O直径，/.ZADB=90o.ZBED+ZDBE=90°.AZABD+ZDBE=

90°.即：AB1BE.；.BE与（DO相切.

（2）解：VABIBE,CD//BE,AABICD.：AB为。O直径，.*.CM=MD=1CD.：AM=

CD,.,.CM=MD=1AM.设CM=X,则AM=2X.在RsACM中，VAM2+CM2=AC2,Ax2+

（2x）2=（4遮）2.解得：x=±4（负数不合题意，舍去）..・.CM=DM=4,AM=8..\cos/CAM=

则=挛.VZBDM=ZCAM,，cosNBDM=挛.在RsBDM中，VcosZBDM=§^=^I）

AC55DD5

.\BD=2V5.

4.【答案】（1）证明：连接OD、CD,

B

VOC=OD,

/.ZOCD=ZODC,

又•.*（：是。o的直径，

.,.ZBDC=90°,

...△ACD是直角三角形，

又•.•点E是斜边AC的中点，

；.EC=ED,

/.ZECD=ZEDC,

XVNECD+NOCD=NACB=90°,

，ZEDC+ZODC=ZODE=90°,

二直线DE是。0的切线

(2)解；由⑴得NODF=90。,

ZB=30°,

.'.ZDOF=60°,

/.ZF=30o,

;在RtAABC中，AC=4,

；.AB=8,BC=y/AB2-AC2=V82-42=4A/3.OD=^BC=2A/3,OF=2OD=473,

在RtAODF中，DF=>JOF2-OD2=/48-12=6,

阴影部分的面积=S&ODF-S扇脑CD=^X6X28一黑7TX(2>/3)2=一2兀.

5.【答案】(1)证明：连接DO,

VAO=DO,

,ZDAO=ZADO=22.5°.

，NDOC=45。.

又,.•NACD=2/DAB,

.*.ZACD=ZDOC=45O.

.,.ZODC=90°.

又OD是。O的半径，

...CD是。O的切线

(2)解：连接DB,

•.•直径AB=2V2，△OCD为等腰直角三角形,

/.CD=OD=V2,OC=y/cD2+OD2=2，

BC=OC-OB=2-V2.

6.【答案】（1）证明：连结OA.

VOA=OD,

.*.ZODA=ZOAD.

VDA平分NBDE,

.*.ZODA=ZEDA.

.\ZOAD=ZEDA,

，EC〃OA.

VAE±CD,

AOAIAE.

•.•点A在。O上，

.•.AE是。O的切线

（2）解：过点。作OFJLCD,垂足为点F.

；NOAE=NAED=NOFD=90°,

四边形AOFE是矩形.

OF=AE=8cm.

又134口,

/.DF=gCD=6cm.

在RtAODF中，OD=VOF2+DF2=10cm,

即（DO的半径为10cm.

7.【答案】（1）证明：连接OB

四边形ABCD是平行四边形

.•.NABC=ND=60°

.,.ZABE=120°

VAB=EB

，NE=NBAE=30°

VOA=OB

...NABO=NOAB=30°

，ZOBC=30°+60°=90°

AOBICE

VOB是半径

，EC是。O的切线.

(2)解：•.•四边形ABCD是平行四边形

BC=AD=2V3

过O作OH_LAM于H

则四边形OBCH是矩形

/.OH=BC=2V3,OH#EC

.•.ZAOH=ZE=30°

，AH=2,AM=4,OA=4,ZOAH=60°

VOA=OM,ZOAH=60°

/.△AOM是等边三角形

.\ZAOM=60o

7

s_607rx4_8TI

,扇形AOM=360=T

/.ZADF=90°,

而NO9()。，

・・・DF〃BC,

VDE=EF,:•证=炉・・・OEJ_DF,

AOE1BC,

.•.BC为。O的切线

(2)解：VZOEB=90°,ZB=40°,

.,.ZBOE=90°-40°=50°,

NOFE=1(180°-50°)=65。，

ZCDE=ZAFE=65°

(3)解：易得四边形CDHE为矩形，，HE=CD=2,DH=CE=4,设。O的半径为r,则OH=OE-

HE=r-2,OD=r,在RsOHD中，(r-2)2+42=r2,解得厂5,VOH1DF,.*.HF=DH=4,

：HF〃BE,

OHF^AOEB,

AHF：BE=OH：OE,即4：BE=3：5,

BE=冬

9.【答案】（1）证明：连接AD,

・・・OA与BC相切于D,

・・・NADB=90。，

/.ZDAE4-ZAED=90°,

VZBAC=90°,

AZCAE+ZBAE=90°,

ACA=CE,

AZCAE=ZCEA,

AZDAE=ZBAE,

・.,AF=AD,AE=AE,

・,.△AFE^AADE(SAS),

・・・NADE=NAFE=90。，

・・・AF是。A的半径，

JEF是。A的切线；

（2）解：过点C作CGLAE,垂足为G,

A

\/GAJ\/

\F//

BEDC

在RSBFE中，BE=5,EF=4,

，BF=yjBE2-EF2=V52-42=3，

VAAFE^AADE,

/.EF=DE=4,

；.BD=BE+DE=9,

在RSADB中，AD2+BD2=AB2,

.\AD2+81=(AF+3)2,

.♦.AD=AF=12,

；.AE==y/AD2+DE2=V122+42=4m

VCA=CE,CG±AE,

，EG=1AE=2V10,

•.•/ADE=/CGE=90。，/AED=/CEG,

AED^ACEG,

.CG_EG

"AD=ED

•••CG_-2--7--1--0-

124

・・CG=6V10，

.•.点C到EA的距离为6Vio.

10.【答案】（1）证明：连接CD

■:BC为。0的直径，J./.BDC=90°

：.CDLAB

又=4C."1=z2

'：OD=OC.,.Zl=Z3Az2=Z3

：.OD//AC

，乙ODE=Z.AED

'：DELAC：.^AED=90°

:.乙ODE=90。1OD

：.DE与。。相切

(2)解：过。作ONJ.CF于N,

可得四边形ODEN是矩形，

：.EN=OD=R=4,ON=DE

又：独=？，AC=CB=4+4=8,

：.CN=AC-AE-EN=AC-AE-OD=2,

在Rt△ONC中，ON=VOC2-CN2

，ON=2V3，

:.DE=2V3

11.【答案】（1）解：证明：连接0E,如图,

VOA=OE

AZOAE=ZOEA.

VEF=PF,

・•・ZEPF=ZPEF

VZAPH=ZEPF,

/.ZAPH=ZEPF,

AZAEF=ZAPH.

VCD1AB,

・•・ZAHC=90°.

.\ZOAE+ZAPH=90°.

ZOEA+ZAEF=90°

・・・ZOEF=90°

A0E1EF.

YOE是O。的半径

JEF是圆的切线,

(2)VCD±AB

：.AFHG是直角三角形

口3

••s•inF=耳

.GH_3

••FG=5

设G”=3%,则FG=5%

由勾股定理得，FH=4%

由(1)得，AOEG是直角三角形

..OEFH4x

••SinG=0G=FG=5^

•OE_4日JOE_4

,-0G=5'即0ETBG=5

,.,0E=8

,8_4

''8+BG^5

解得，BG=2

12.【答案】(1)证明：连AD,OD,如图所示,

AB为。0的直径，

^ADB=乙40C=90°

•••E是AC的中点,

1

・•・ED=^AC=EA

:.Z-EDA=Z-EAD

・.・OD—OA

:.Z-EDA=/-OAD

•・・Z.EDA+z.ODA=JLEAD+4。40,BP乙EDO=4£71。

vAB1AC,

・・・/.EAO=90°

:.乙EDO=90°

・•・DE为OO的切线

(2)证明：•・・DE为OO的切线，

・•・(ODF=乙FDB+乙ODB=90°

•・•AB为O0的直径，

/.CFAD+乙OBD=90°

・・・OD=OB,

••・Z-ODB=乙OBD

・•・乙FDB=匕FAD

又•••NF为公共角

・•・△FDB—△FAD

''AF^W

：.DF2=BF-AF

13.【答案】（1）证明：连结0D

.,.ZOED+ZEGC=90°,

，OD=OE,

.,.ZODE=ZOED,

VAG=AD,.,.ZADG=ZAGD,

VZAGD=ZEGC,

ZOED+ZEGC=ZADG+ZODE=ZADO=90°,

AODIAB,

：OD为半径，

AAB是。O的切线

(2)解：连接OF.VEF/7AB,AC：BC=4：3,

：.CF：CE=4：3.

又：EF=5,

.,.CF=4,CE=3.设半径=r,贝|OF=r,CF=4,CO=i■—3.

在R3OCF中，由勾股定理，可得r=春.

：EF〃AB,/CEF=/B,

CEF^ADBO,

.CF_CE

''DO~DB，

，BD=等.

14.【答案】(1)证明：